WikiDer > * -avtonom kategoriya - Vikipediya

Yilda matematika, a *-avtonom ("yulduz-avtonom" o'qing) toifasi C a nosimmetrik monoidal yopiq kategoriya dualizatsiya ob'ekti bilan jihozlangan ${ displaystyle bot}$. Kontseptsiya, shuningdek, deb nomlanadi Grothendieck - Verdier toifasi tushunchasiga aloqadorligini hisobga olgan holda Verdier ikkilik.

Ta'rif

Ruxsat bering C nosimmetrik monoidal yopiq kategoriya bo'ling. Har qanday ob'ekt uchun A va ${ displaystyle bot}$, morfizm mavjud

${ displaystyle kısalt _ {A, bot}: A dan (A Rightarrow bot) Rightarrow bot}$

monoidal yopilishni belgilaydigan bijection tomonidan tasvir sifatida aniqlanadi

${ displaystyle mathrm {Hom} ((A Rightarrow bot) otimes A, bot) cong mathrm {Hom} (A, (A Rightarrow bot) Rightarrow bot)}$

morfizmning

${ displaystyle mathrm {eval} _ {A, A Rightarrow bot} circ gamma _ {A Rightarrow bot, A} :( A Rightarrow bot) otimes A to bot}$

qayerda ${ displaystyle gamma}$ bo'ladi simmetriya tensor mahsulotining. Ob'ekt ${ displaystyle bot}$ toifadagi C deyiladi dualizatsiya bog'liq morfizm bo'lganda ${ displaystyle kısalt _ {A, bot}}$ har qanday ob'ekt uchun izomorfizmdir A toifadagi C.

Teng ravishda, a * - avtonom kategoriya nosimmetrik monoidal toifadir C funktsiya bilan birgalikda ${ displaystyle (-) ^ {*}: C ^ { mathrm {op}} dan C} gacha$ har bir ob'ekt uchun shunday A tabiiy izomorfizm mavjud ${ displaystyle A cong {A ^ {**}}}$va har uchta ob'ekt uchun A, B va C tabiiy biektsiya mavjud

${ displaystyle mathrm {Hom} (A otimes B, C ^ {*}) cong mathrm {Hom} (A, (B otimes C) ^ {*})}$.

Ning dualizatsiya ob'ekti C keyin tomonidan belgilanadi ${ displaystyle bot = I ^ {*}}$. Ikkala ta'rifning tengligi aniqlash orqali ko'rsatiladi ${ displaystyle A ^ {*} = A Rightarrow bot}$.

Xususiyatlari

Yopiq toifadagi toifalar monoidal birlik dualizatsiya ob'ekti bo'lgan * -avtonomdir. Aksincha, agar * -avtonom toifadagi birlik dualizatsiya ob'ekti bo'lsa, u holda kartonlarning kanonik oilasi mavjud

${ displaystyle A ^ {*} otimes B ^ {*} to (B otimes A) ^ {*}}$ .

* * Avtonom toifasi ixcham yopiq bo'lsa, bularning barchasi izomorfizmdir.

Misollar

Tanish misol - har qanday soha bo'yicha cheklangan o'lchovli vektor bo'shliqlari toifasi k odatdagidek monoidal qildi tensor mahsuloti vektor bo'shliqlari. Dualizatsiya ob'ekti k, bir o'lchovli vektor maydoni va dualizatsiya transpozitsiyaga to'g'ri keladi. Barcha vektor bo'shliqlarining toifasi tugagan bo'lsa-da k * -avtonom emas, toifalariga mos kengaytmalar topologik vektor bo'shliqlari amalga oshirilishi mumkin * -avtonom.

Boshqa tomondan, topologik vektor bo'shliqlari toifasi juda keng to'liq subkategiyani o'z ichiga oladi Sht ning stereotip bo'shliqlari, bu dualizatsiya ob'ekti bilan * -avtonom kategoriya ${ displaystyle { mathbb {C}}}$ va tensor mahsuloti ${ displaystyle circledast}$.

Ning turli xil modellari chiziqli mantiq shakli * - avtonom toifalar, ularning eng qadimgi qismi edi Jan-Iv Jirarduyg'unlik bo'shliqlarining toifasi.

Toifasi to'liq semilattices barcha birikmalarni saqlaydigan morfizmlar bilan, lekin birlashishi shart emas * - ikkita element zanjiri dualizator bilan avtonomdir. Degeneratsiyalangan misol (eng asosiysi barcha kardinallik uyg'unliklari) har qanday biri tomonidan keltirilgan Mantiqiy algebra (kabi qisman buyurtma qilingan to'plam) tensor mahsuloti uchun birikma yordamida monoidal qildi va 0 ni dualizatsiya ob'ekti sifatida oldi.

Ning rasmiyligi Verdier ikkilik * -avtonom toifalarga qo'shimcha misollar keltiradi. Masalan, Boyarchenko va Drinfeld (2013) konstruktivning cheklangan olingan toifasi haqida eslatib o'ting l-adik shamchalar bo'yicha algebraik xilma ushbu xususiyatga ega. Keyingi misollarga har xil topologik bo'shliqlarda konstruktiv qatlamlarning olingan toifalari kiradi.

* - avtonom bo'lmagan o'z-o'zini o'zi boshqaradigan toifaga misol, cheklangan chiziqli buyruqlar va uzluksiz funktsiyalar bo'lib, ular * ga ega, ammo avtonom emas: uning dualizatsiya ob'ekti ikki elementli zanjir, ammo tensor mahsuloti yo'q.

To'plamlar toifasi va ularning qisman in'ektsiyalari o'z-o'zidan ishlaydi, chunki ikkinchisining teskarisi yana qisman in'ektsiya.

* - avtonom kategoriya tushunchasi tomonidan kiritilgan Maykl Barr 1979 yilda ushbu nomdagi monografiyada. Barr umumiy vaziyat uchun tushunchani aniqladi V- nosimmetrik monoidal yoki avtonom toifada boyitilgan toifalar, toifalar V. Yuqoridagi ta'rif Barrning ish bo'yicha ta'rifiga ixtisoslashgan V = O'rnatish oddiy kategoriyalar, homobektlari to'plamlarni (morfizmlar) tashkil etadiganlar. Barr monografiyasida uning talabasi Po-Syan Chu tomonidan Barr tufayli qurilishning tafsilotlarini ishlab chiqadigan, noan'anaviy * -avtonom mavjudligini ko'rsatuvchi ilova mavjud. V- barcha nosimmetrik monoidal toifalar uchun toifalar V O'n yil o'tgach, ob'ektlari ma'lum bo'lgan orqaga qaytish bilan Chu bo'shliqlari.

Nosimmetrik bo'lmagan holat

A ikki qavatli monoidal toifa C, albatta, nosimmetrik emas, ikkilanuvchi ob'ektni aniqlash va keyin * -tonom kategoriyani dualizatsiya ob'ekti bilan ikki qavatli monoidal kategoriya sifatida aniqlash mumkin. Ular nosimmetrik holatdagi kabi ekvivalent ta'riflardir.

Adabiyotlar

• Maykl Barr (1979). * - avtonom toifalar. Matematikadan ma'ruza matnlari. 752. Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0064579. ISBN 978-3-540-09563-7.
• Maykl Barr (1995). "Nosimmetrik bo'lmagan * - avtonom toifalar". Nazariy kompyuter fanlari. 139: 115–130. doi:10.1016/0304-3975(94)00089-2. S2CID 14721961.
• Maykl Barr (1999). "* - avtonom toifalar: trek atrofida yana bir bor" (PDF). Kategoriyalar nazariyasi va qo'llanilishi. 6: 5–24.
• Boyarchenko, Mitya; Drinfeld, Vladimir (2013), "Grothendieck va Verdier ruhidagi ikkilangan rasmiyatchilik", Kvant topologiyasi, 4 (4): 447–489, arXiv:1108.6020, doi:10.4171 / QT / 45, JANOB 3134025

• yulduz-avtonom + toifasi yilda nLab