WikiDer > ABC-Vermutung

Es abc Verdacht ist ein Verdacht (d. h. eine vermutete, aber nicht als wahr bewiesene Aussage) von der Zahlentheorie. Die Vermutung wurde formuliert von Joseph Oesterle und David Masser 1985.

Im August 2012 wurde die japanisch Mathematiker Shinichi Mochizuki des Universität Kyoto Beweis der Vermutung, der inzwischen von Mathematikerkollegen auf seine Richtigkeit überprüft wurde. Die Beweise werden aufgrund der guten Erfolgsbilanz von Mochizuki sehr ernst genommen.^[1][2]

Die Vermutung, plus einige Implikationen

Definitionen

Das Trio der positiven ganze Zahlen${Anzeigestil (a,b,c)}$ heißt a abc flotter Dreier, wenn ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ relativ prim sein und ${Anzeigestil c=a b}$.

Unter dem Qualität${Anzeigestil q}$ eines Trios ${Anzeigestil (a,b,c)}$ man versteht:

${displaystyle q(a,b,c)={frac {log c}{log(operatorname {rad} (abc))}}}$.

Darin ist ${displaystyle mathrm {rad} (n)}$ es Radikale von ${displaystyle n}$, d.h. das Produkt all der verschiedenen Primzahlen bei der Auflösung von ${displaystyle n}$.

Eine Konsequenz ist, dass ${displaystyle c=left(Operatorname {rad} (abc)ight)^{q(a,b,c)}}$

Die ABC-Vermutung

Die abc-Vermutung ist eine Aussage über abc-Triolen ${Anzeigestil (a,b,c)}$ die lautet:

Für jedes ${Displaystil-Varepsilon >0}$ es gibt nur endlich viele Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ so dass ${displaystyle q(a,b,c)geq 1 varepsilon}$.

Erklärung plus Implikationen

Beachten Sie, dass wir feststellen müssen, dass ${displaystyle mathrm {ggd} (a,b)=1}$ sonst können wir alles machen ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c}$ multiplizieren von einem Tripel mit 2 und wird zu ${Anzeigestil c}$ doppelt so groß, ohne sie radikal zu erhöhen, sodass wir Tripel beliebig hoher Qualität konstruieren können.

Die ABC-Vermutung ist vorerst nur eine Vermutung, solange die vorgelegten Beweise nicht verifiziert wurden.

Es gibt eine Folge von Datensätzen, bei denen der größte bekannte Wert von ${Anzeigestil q}$ ist entscheidend. Aktuell (Mai 2013) ist der Rekord

${displaystyle q=1{,}62991}$ für den abc-dreier ${displaystyle (a,b,c)=(2, 3^{10}!imes !109, 23^{5})=(2, 6436341, 6436343)}$.

Dass die abc-Vermutung eine starke Aussage ist, zeigt sich zum Beispiel daran, dass sie ganz einfach de Fermats letzter Satzmat beweist. Angenommen, es wäre bewiesen, dass es keine Zahlen gibt ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ mit jemanden sein ${displaystyle q>2}$. Dann wäre das für Zahlen ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c}$ mit

${Anzeigestil a^{n} b^{n}=c^{n}}$ und ${displaystyle mathrm {ggd} (a,b)=1}$

bedeuten, dass der Dreier ${Anzeigestil (a^{n},b^{n},c^{n})}$ ist ein abc-Tripel, und damit

${displaystyle c^{n}<(Operatorname {rad} (a^{n}b^{n}c^{n}))^{2}=(Operatorname {rad} (abc))^{2}leq (abc)^{2}$

Das würde bedeuten, dass die Lösungen von Fermat nur möglich sind für ${Anzeigestil n<6}$. Vor dem ${Anzeigestil n<6}$ Der letzte Satz von Fermat ist jedoch seit 1825 bewiesen, daher folgt, dass der letzte Satz von Fermat wahr ist.

Offene Punkte

Es gibt noch viele ungelöste Fragen rund um die ABC-Vermutung. Nachfolgend eine Auswahl:^[3]

• Gibt es eine Obergrenze ${Anzeigestil H}$, so dass ${Anzeigestil q(a,b,c)$ für alle abc-Drillinge? Dies wird auch als bezeichnet schwache Version der ABC-Vermutung.
• Es ist bekannt, dass für jeden ${displaystyle n}$ ein ${Anzeigestil c}$ kann so gefunden werden, dass dies ${Anzeigestil c}$ im ${displaystyle n}$ abc verdreifacht. Aber was das kleinste ist, ist noch nicht bekannt ${Anzeigestil c}$ ist das in ${displaystyle n}$ Tripel auftreten.
• Welche Werte sind das? ${Anzeigestil b{-}a}$ nehmen kann. Kann der Unterschied einen Wert annehmen? Und gibt es Werte, die häufiger oder seltener vorkommen?
• Mit einem ABC-Dreier ${Anzeigestil a,b,c}$ (also mit ${displaystyle q>1}$) ist immer eine der durch 2 teilbaren Zahlen, da zwei ungerade Zahlen addiert immer gerade sind. Aber ist für alle da ${displaystyle n}$ ein Dreier mit ${displaystyle q>1}$, bei welchem ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c}$ sind nicht teilbar durch ${displaystyle 3,4,5,ldots,n}$?
• Gibt es unendlich viele ABC Zwillinge, d. h. zwei Tripletts mit gleichem ${Anzeigestil c}$ und gleiche Qualität?

Große Anzahl von abc-Triolen mit gleichem b

Für jeden ${displaystyle n}$ Ist da ein ${displaystyle b}$ das in ${displaystyle n}$ abc-Tripel können gefunden werden, also mit ${displaystyle q>1}$, wobei die Tripel auch genügen ${Anzeigestil a$.^[4]

Nämlich nehmen ${Displaystil b=3^{42m 27}}$ mit ${displaystyle m}$ so dass ${displaystyle b>2^{21n 18}}$ und nimm die Zahlen ${Anzeigestil a}$ die nächste reihe ${displaystyle n}$ Zahlen: ${Displaystil 2^{21k 18},k=0,ldots,n-1}$.

Dann für jeden der ${displaystyle n}$ Paare ${Anzeigestil (a,b)}$:

${Displaystyle-Operatorname {rad} (a,b)=6}$

Die Zahlen ${Anzeigestil c}$ sein

${Displaystil 2^{21k 18} 3^{42n 27},k=0,ldots,n-1}$

Und da ist

${displaystyle c=2^{21k 18} 3^{42n 27}=(2^{21})^{k}cdot 2^{18} (3^{42})^{n}cdot 3^{27 }=1^{k}cdot 43 1^{j}cdot 6=0{pmod {49}}}$

der Radikale ${Displaystyle-Operatorname {rad} (a,b,c)}$ ist daher maximal ${displaystyle { frac {6}{7}}c}$ dafür ${displaystyle n}$ Drillinge, machen ${Anzeigestil q(a,b,c)>1}$.

Andere Definition von Qualität

Neben der Standarddefinition von Qualität ist es auch möglich, das Produkt von ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c}$, statt nur c.^[5] Es ist jetzt definiert:

${displaystyle ho (a,b,c)={frac {log abc}{log(operatorname {rad} (abc))}}}$

Zahlen ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c=a b}$ mit hohem Wert für ${Anzeigestil ho}$ werden Szpiro-Triolen genannt.

Die beste Qualität gefunden ${Anzeigestil ho}$ von einem Szpiro-Dreier ist 4.41901, denn

${displaystyle 13imes 19^{6} 2^{30}imes 5=3^{13}imes 11^{2}imes 31}$

Externer Link

• Die ABC-Vermutungs-Homepage
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Fußnoten