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EIN abelsche Gruppe, ebenfalls kommutativ eine Gruppe genannt, ist a Gruppe was die zusätzliche Anforderung erfüllt, dass das Produkt von zwei Elemente hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der Gruppenbetrieb ausgeführt wird (dieser Vorgang ist kommutativ). Abelsche Gruppen sind nach dem norwegischen Mathematiker benannt Niels Henrik Abel.

Das Konzept einer abelschen Gruppe ist eines der ersten Konzepte, die in der abstrakte Algebra. Module und Vektorräume kann als Verfeinerung abelscher Gruppen angesehen werden. Die Theorie der abelschen Gruppen ist im Allgemeinen einfacher als die der nicht-abelschen Gruppen. endlich abelsche Gruppen sind gut bekannt. Die Theorie der unendlich Abelsche Gruppen sind jedoch ein Gebiet, in dem noch viel Forschung betrieben wird.

Definition

EIN Gruppe${Anzeigestil(G,*)}$ heiß abels oder kommutativ wie bei allen Elementen ${displaystyle a,bin G}$ gilt:

${Anzeigestil a*b=b*a}$.

Beispiele

Abelsche Gruppen

Viele Beispiele für abelsche Gruppen finden sich in der elementaren Mathematik, wie zum Beispiel:

• Die additive Gruppe der ganzen Zahlen ${displaystyle (mathbb {Z} , )}$, sowie die additiven Gruppen ${displaystyle (mathbb {Q} , )}$, ${displaystyle (mathbb {R} , )}$ und ${displaystyle (mathbb {C}, )}$.
• Die multiplikative Gruppe ${displaystyle (mathbb {Q} _{0},*)}$ der rationalen Zahlen ohne Null ist abel. Das gleiche gilt für die Gruppen ${displaystyle (mathbb {R} _{0},*)}$, ${displaystyle (mathbb {C} _{0},*)}$.
• Die endlichen Gruppen ${displaystyle (mathbb {Z} _{n}, )}$, das zyklische Gruppen außer Betrieb nein, sind Abels.

Nicht-abelsche Gruppen

Die folgenden Gruppen sind nicht abelsch:

• Das Permutationsgruppe auf drei Elementen ist eine Gruppe, die aus sechs Elementen besteht. Diese Gruppe ist nicht abelsch, ebenso wie die Permutationsgruppen auf mehr als drei Elementen.

• Die Sammlung aller echten, dh ${Anzeigestil n>1}$, invertierbar ${Anzeigestil n imes n}$-Matrizen, versehen mit der Matrixmultiplikation, ist eine Gruppe mit as neutrales Element das Einheitenmatrix. Diese Gruppe ist nicht abelsch, die einzigen Elemente, die mit allen anderen Elementen kommutieren, sind die Umskalierungen der Einheitsmatrix.

• Die Gruppe der euklidischen Transformationen der Ebene ist nicht abelsch; im Allgemeinen, zum Beispiel die Übersetzungen (schaltet) nicht mit dem Drehungen (wendet sich). Beachten Sie, dass die Gruppe der Drehungen und die Gruppe der Translationen Gut abelsch sein.

Besondere Eigenschaften abelscher Gruppen

• Untergruppen einer abelschen Gruppe sind auch Abels.
• Untergruppen einer abelschen Gruppe sind immer a normales sub dieser Gruppe.
• Alle Faktorgruppen einer abelschen Gruppe sind auch Abels. Insbesondere das homomorphe Bild einer abelschen Gruppe ist auch abelsch.
• Das direkte Summe von abelschen Gruppen ist auch abelsch.
• Gestell: Alle endlichen abelschen Gruppen sind a zyklische Gruppe oder die direkte Summe einer Anzahl von zyklischen Gruppen.

Die endlich erzeugten abelschen Gruppen

Eine allgemeinere Klasse abelscher Gruppen sind die endlich erzeugten abelschen Gruppen, kurz abelsche Gruppen, die aus endlich vielen Elementen gebildeten abelschen Gruppen, die, Generatoren, werden produziert.

• Die zyklischen Gruppen sind die Gruppen, die von einem einzelnen Element erzeugt werden können.
• Kleins Quadrupel ist eine e.v.-Gruppe, die durch zwei Elemente erzeugt werden kann, aber nicht durch weniger.
• Die Gruppen ${displaystyle (mathbb {Q} , )}$, ${displaystyle (mathbb {R} , )}$ und ${displaystyle (mathbb {C} , )}$ werden jedoch nicht endlich hergestellt.

Genau wie bei den zyklischen Gruppen gibt es also zählbar viele abelsche Gruppen, sie sind alle bekannt und haben eine relativ einfache Struktur.

Übersetzung

Eine Übersetzung ${displaystyle T_{g}}$ eines Elements ${displaystyle h}$ einer abelschen Gruppe ist gegeben durch ${Anzeigestil T_{g}(h)=gh}$.

Eine Übersetzung ${displaystyle T_{g}}$ einer Teilmenge einer abelschen Gruppe ist durch die jeweilige Bildmenge gegeben.

Siehe auch

• Gruppen und Gruppentheorie für eine allgemeinere Theorie.
• Der Grad, in dem eine gegebene Gruppe nicht abelsch ist, wird durch die Kommutator-Untergruppe angezeigt.
• nilpotent und lösliche Gruppen, natürliche Verallgemeinerungen von Gruppen mit einer kommutativen Gruppenoperation. In der Theorie der Lügenalgebras die abelsche, nilpotente und lösbare Lie-Algebren spielen eine analoge Rolle.
• Der Hauptsatz von endlich erzeugtem Module Über Hauptidealbereiche.