WikiDer > Andersons teoremasi - Vikipediya

Yilda matematika, Andersonniki teorema natijasi haqiqiy tahlil va geometriya bu degani ajralmas integral, nosimmetrik, unimodal, manfiy bo'lmagan funktsiya f ustidan n- o'lchovli qavariq tanasi K agar kamaymasa K kelib chiqishiga qarab ichkariga tarjima qilinadi. Bu tabiiy bayonotdir, chunki grafik ning f kelib chiqishi ustidan bitta tepalikka ega bo'lgan tepalik deb o'ylash mumkin; ammo, uchun n ≥ 2, dalil to'liq aniq emas, chunki fikrlar bo'lishi mumkin x tananing K qaerda qiymat f(x) ning tegishli tarjimasidan kattaroqdir x.

Anderson teoremasi ham qiziqarli dasturga ega ehtimollik nazariyasi.

Teorema bayoni

Ruxsat bering K qavariq tanasi bo'ling n-o'lchovli Evklid fazosi Rⁿ anavi nosimmetrik kelib chiqishi aks ettirishga nisbatan, ya'ni. K = −K. Ruxsat bering f : Rⁿ → R bo'lmasliksalbiy, nosimmetrik, global integral funktsiya; ya'ni

• f(x) Hamma uchun ≥ 0 x ∈ Rⁿ;
• f(x) = f(−x) Barcha uchun x ∈ Rⁿ;
• ${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} f (x) , mathrm {d} x <+ infty.}$

Aytaylik, super-daraja to'plamlari L(f, t) ning ftomonidan belgilanadi

${ displaystyle L (f, t) = {x in mathbb {R} ^ {n} | f (x) geq t },}$

bor konveks pastki to'plamlari ning Rⁿ har bir kishi uchun t ≥ 0. (Bu xususiyat ba'zan mavjud deb ham yuritiladi unimodal.) Keyin, har qanday 0 for uchunv ≤ 1 va y ∈ Rⁿ,

${ displaystyle int _ {K} f (x + cy) , mathrm {d} x geq int _ {K} f (x + y) , mathrm {d} x.}$

Ehtimollar nazariyasiga tatbiq etish

Berilgan ehtimollik maydoni (Ω, Σ, Pr), deylik X : Ω →Rⁿ bu Rⁿ- baholangan tasodifiy o'zgaruvchi bilan ehtimollik zichligi funktsiyasi f : Rⁿ → [0, + ∞) va shunga o'xshash Y : Ω →Rⁿ bu mustaqil tasodifiy o'zgaruvchi. Ko'pchilikka ma'lum bo'lgan ehtimollik taqsimotining ehtimollik zichligi funktsiyalari p-konkav kimdir uchun pva shuning uchun unimodal. Agar ular ham nosimmetrik bo'lsa (masalan Laplas va normal taqsimotlar), keyin Anderson teoremasi amal qiladi, u holda

${ displaystyle Pr (X in K) geq Pr (X + Y in K)}$

har qanday kelib chiqishi-nosimmetrik qavariq tanasi uchun K ⊆ Rⁿ.

Adabiyotlar

• Gardner, Richard J. (2002). "Brunn-Minkovskiy tengsizligi". Buqa. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 39 (3): 355-405 (elektron). doi:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.