WikiDer > Asimmetrik norma

Yilda matematika, an assimetrik norma a vektor maydoni a tushunchasini umumlashtirish hisoblanadi norma.

Ta'rif

An assimetrik norma a haqiqiy vektor maydoni V a funktsiya ${displaystyle p: V o [0, + infty)}$ quyidagi xususiyatlarga ega:

• Subadditivlikyoki uchburchak tengsizligi: p(v + w) ≤ p(v) + p(w) har ikki vektor uchun v,w ∈ V.
• Bir xillik: p(λv) = .p(v) har bir vektor uchun v ∈ X va har bir manfiy bo'lmagan haqiqiy raqam λ ≥ 0.
• Ijobiy aniqlik: p(v)> 0 bo'lmasa v = 0.

Asimmetrik normalar farq qiladi normalar chunki ular tenglikni qondirmasligi kerak p(-v) = p(v).

Agar ijobiy aniqlik sharti qoldirilgan bo'lsa, unda p bu assimetrik seminar. Ijobiy aniqlikdan ko'ra zaifroq holat degeneratsiya: bu uchun v ≠ 0, ikkita raqamdan kamida bittasi p(v) va p(-v) nolga teng emas.

Misollar

• Ustida haqiqiy chiziq R, funktsiyasi p tomonidan berilgan

${displaystyle p (x) = {egin {case} | x |, & xleq 0; 2 | x |, & xgeq 0; end {case}}}$

assimetrik norma, lekin norma emas.

• Haqiqiy vektor makonida ${displaystyle V}$, Minkovskiy funktsional ${displaystyle p_ {B}}$ qavariq pastki to'plamning ${displaystyle Bsubseteq V}$ kelib chiqishi o'z ichiga olgan formula bilan aniqlanadi

${displaystyle p_ {B} (v) = inf chap {rgeq 0: vin rBight},}$ uchun ${displaystyle vin V}$

Ushbu funktsional assimetrik seminar, agar ${displaystyle B}$ yutuvchi to'plamdir, bu shuni anglatadiki ${displaystyle extstyle {igcup _ {rgeq 0} rB = V}}$va buni ta'minlaydi ${displaystyle p (v)}$ har biri uchun cheklangan ${displaystyle vin V}$.

Asimmetrik seminormlar va dual kosmosning konveks pastki to'plamlari o'rtasidagi javob

Agar ${displaystyle B ^ {*} subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ a qavariq o'rnatilgan kelib chiqishini o'z ichiga olgan, keyin assimetrik seminar ${displaystyle p}$ belgilanishi mumkin ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ formula bo'yicha

${displaystyle extstyle {p (v) = max _ {varphi in B ^ {*}} langle varphi, vangle}}$.

Masalan, agar ${displaystyle B ^ {*} subseteq mathbb {R} ^ {2}}$ tepaliklari bo'lgan kvadrat ${displaystyle (soat 13.00, 1.00)}$, keyin ${displaystyle p}$ bo'ladi taksik normasi ${displaystyle v = (v_ {0}, v_ {1}) mapsto | v_ {0} | + | v_ {1} |}$. Turli qavariq to'plamlar har xil seminormalarni hosil qiladi va har bir assimetrik seminar ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ uning deb nomlangan ba'zi qavariq to'plamidan olinishi mumkin dual birlik shar. Shuning uchun assimetrik seminarlar mavjud birma-bir yozishmalar kelib chiqishini o'z ichiga olgan konveks to'plamlari bilan. Seminar ${displaystyle p}$ bu

• ijobiy aniq va faqat agar ${displaystyle B ^ {*}}$ kelib chiqishini o'z ichiga oladi ichki makon,
• degeneratsiya, agar bo'lsa va faqat shunday bo'lsa ${displaystyle B ^ {*}}$ a tarkibida mavjud chiziqli pastki bo'shliq dan kam o'lchamdagi ${displaystyle n}$va
• nosimmetrik va agar shunday bo'lsa ${displaystyle B ^ {*} = - B ^ {*}}$.

Umuman olganda, agar ${displaystyle V}$ a cheklangan o'lchovli haqiqiy vektor maydoni va ${displaystyle B ^ {*} subeteq V ^ {*}}$ ning ixcham konveks pastki qismidir er-xotin bo'shliq ${displaystyle V ^ {*}}$ kelib chiqishini o'z ichiga olgan, keyin ${displaystyle extstyle {p (v) = max _ {varphi in B ^ {*}} varphi (v)}}$ assimetrik seminar ${displaystyle V}$.

Adabiyotlar

• Cobzaş, S. (2006). "Asimmetrik normaga ega bo'shliqlarda ixcham operatorlar". Stud. Univ. Babesh-Bolyai matematikasi. 51 (4): 69–87. ISSN 0252-1938. JANOB 2314639.
• S. Kobzas, Asimmetrik normalangan bo'shliqlarda funktsional tahlil, Matematikadagi chegara, Bazel: Birkxauzer, 2013; ISBN 978-3-0348-0477-6.

Bu chiziqli algebrabilan bog'liq maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish. v t e