WikiDer > Bogomolov-Miyaoka-Yau tengsizligi

Matematikada Bogomolov-Miyaoka-Yau tengsizligi bu tengsizlik

${displaystyle c_ {1} ^ {2} leq 3c_ {2}}$

o'rtasida Chern raqamlari ning ixcham murakkab yuzalar ning umumiy turi. Uning asosiy qiziqishi - bu asosiy 4-manifoldning mumkin bo'lgan topologik turlarini cheklash usuli. Bu mustaqil ravishda isbotlangan Shing-Tung Yau (1977, 1978) va Yoichi Miyaoka (1977), Antonius Van de Vendan keyin (1966) va Fedor Bogomolov (1978) doimiy 3 bilan 8 va 4 ga almashtirilgan zaif versiyalarni isbotladi.

Armand Borel va Fridrix Xirzebrux tengsizlikni eng katta tenglik mavjud bo'lgan holatlarni topish orqali amalga oshirish mumkinligini ko'rsatdi. Tengsizlik ijobiy xarakteristikada yolg'ondir: Uilyam E. Lang (1983) va Robert V. Easton (2008) xarakterli yuzalarga misollar keltirdi p, kabi umumiy Raynaud sirtlari, buning uchun u muvaffaqiyatsiz bo'ladi.

Tengsizlikni shakllantirish

Bogomolov - Miyaoka - Yau tengsizligining an'anaviy formulasi quyidagicha. Ruxsat bering X ning ixcham murakkab yuzasi bo'lishi umumiy turiva ruxsat bering v₁ = v₁(X) va v₂ = v₂(X) birinchi va ikkinchi bo'lish Chern sinfi yuzaning murakkab tangens to'plami. Keyin

${displaystyle c_ {1} ^ {2} leq 3c_ {2}.}$

Bundan tashqari, agar tenglik bo'lsa X to'pning miqdori. Oxirgi bayonot Yau-ning qaroriga asoslangan differentsial geometrik yondashuvining natijasidir Kalabi gumoni.

Beri ${displaystyle c_ {2} (X) = e (X)}$ topologik hisoblanadi Eyler xarakteristikasi va tomonidan Tom-Xirzebrux imzo teoremasi ${displaystyle c_ {1} ^ {2} (X) = 2e (X) + 3sigma (X)}$ qayerda ${displaystyle sigma (X)}$ ning imzosi kesishish shakli ikkinchi kohomologiyada Bogomolov-Miyaoka-Yau tengsizligi, shuningdek, umumiy tipdagi sirtning topologik turiga cheklov sifatida yozilishi mumkin:

${displaystyle sigma (X) leq {frac {1} {3}} e (X),}$

bundan tashqari, agar ${displaystyle sigma (X) = (1/3) e (X)}$ unda universal qoplama - bu to'p.

Bilan birga Hech qanday tengsizlik Bogomolov-Miyaoka-Yau tengsizligi murakkab sirtlarni izlashda chegaralarni belgilaydi. Murakkab yuzalar sifatida amalga oshiriladigan topologik turlarni xaritalash deyiladi sirtlar geografiyasi. qarang umumiy turdagi sirtlar.

Bilan yuzalar v₁² = 3v₂

Agar X bilan umumiy tipdagi sirtdir ${displaystyle c_ {1} ^ {2} = 3c_ {2}}$, shuning uchun Bogomolov-Miyaoka-Yau tengsizligida tenglik saqlanib qoladi Yau (1977) buni isbotladi X birlik sharining kvantiga izomorfdir ${displaystyle {mathbb {C}} ^ {2}}$ cheksiz diskret guruh tomonidan. Ushbu tenglikni qondiradigan sirtlarga misollarni topish qiyin. Borel (1963) ning cheksiz ko'p qadriyatlari borligini ko'rsatdi v²
₁ = 3v₂ buning uchun sirt mavjud. Devid Mumford (1979) topdi a soxta proektiv samolyot bilan v²
₁ = 3v₂ = 9, bu minimal mumkin bo'lgan qiymat, chunki v²
₁ + v₂ har doim 12 ga bo'linadi va Prasad va Yeung (2007), Prasad va Yeung (2010), Donald I. Kartrayt va Tim Shteger (2010) aniq 50 ta soxta proektsion samolyot borligini ko'rsatdi.

Barthel, Xirzebrux va Xöfer (1987) misollarni topish uchun usul berdi, xususan sirtni hosil qildi X bilan v²
₁ = 3v₂ = 3²5⁴. Ishida (1988) bilan ushbu sirtning miqdorini topdi v²
₁ = 3v₂ = 45 va ushbu qismning tarmoqlanmagan qoplamalarini olish bilan misollar keltirilgan v²
₁ = 3v₂ = 45k har qanday musbat son uchun k.Donald I. Kartrayt va Tim Shteger (2010) bilan misollarni topdi v²
₁ = 3v₂ = 9n har bir musbat butun son uchun n.

Adabiyotlar

• Barth, Wolf P.; Xulek, Klaus; Piters, Kris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Yilni murakkab yuzalar, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, JANOB 2030225
• Barthel, Gotfrid; Xirzebrux, Fridrix; Xöfer, Tomas (1987), Geradenkonfigurationen and Algebraische Flächen, Matematikaning aspektlari, D4, Braunshvayg: Fridr. Vieweg va Sohn, ISBN 978-3-528-08907-8, JANOB 0912097
• Bogomolov, Fedor A. (1978), "Holomorfik tensorlar va proektorli manifoldlarda vektor to'plamlari", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematikheskaya, 42 (6): 1227–1287, ISSN 0373-2436, JANOB 0522939
• Borel, Armand (1963), "Nosimmetrik bo'shliqlarning ixcham Klifford-Klayn shakllari", Topologiya. Xalqaro Matematika jurnali, 2 (1–2): 111–122, doi:10.1016/0040-9383(63)90026-0, ISSN 0040-9383, JANOB 0146301
• Kartrayt, Donald I.; Steger, Tim (2010), "50 ta soxta proektsion samolyotlarni ro'yxatga olish", Comptes Rendus Mathématique, Elsevier Masson SAS, 348 (1): 11–13, doi:10.1016 / j.crma.2009.11.016
• Easton, Robert W. (2008), "Bogomolov-Miyaoka-Yau-ni ijobiy xarakteristikasini buzadigan yuzalar", Amerika matematik jamiyati materiallari, 136 (7): 2271–2278, arXiv:matematika / 0511455, doi:10.1090 / S0002-9939-08-09466-5, ISSN 0002-9939, JANOB 2390492
• Ishida, Masa-Nori (1988), "Mumfordning soxta proektsion tekisligi bilan qoplangan elliptik sirt", Tohoku matematik jurnali, Ikkinchi seriya, 40 (3): 367–396, doi:10.2748 / tmj / 1178227980, ISSN 0040-8735, JANOB 0957050
• Lang, Uilyam E. (1983), "Vektorli maydonlar bilan umumiy turdagi sirtlarning namunalari", Arifmetik va geometriya, Vol. II, Progr. Matematik., 36, Boston, MA: Birkäuzer Boston, 167–173-betlar, JANOB 0717611
• Miyaoka, Yoichi (1977), "Umumiy turdagi sirtlarning Chern sonlari to'g'risida", Mathematicae ixtirolari, 42 (1): 225–237, Bibcode:1977InMat..42..225M, doi:10.1007 / BF01389789, ISSN 0020-9910, JANOB 0460343
• Mumford, Devid (1979), "K kengligi bo'lgan algebraik sirt, (K²) = 9, p_g= q = 0 ", Amerika matematika jurnali, Jons Xopkins universiteti matbuoti, 101 (1): 233–244, doi:10.2307/2373947, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373947, JANOB 0527834
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2007), "Soxta proektsion samolyotlar", Mathematicae ixtirolari, 168 (2): 321–370, arXiv:matematik / 0512115, Bibcode:2007InMat.168..321P, doi:10.1007 / s00222-007-0034-5, JANOB 2289867
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2010), "Qo'shimcha" soxta proektsion samolyotlar"", Mathematicae ixtirolari, 182 (1): 213–227, arXiv:0906.4932, Bibcode:2010InMat.182..213P, doi:10.1007 / s00222-010-0259-6, JANOB 2672284
• Van de Ven, Antonius (1966), "Muayyan murakkab va deyarli murakkab manifoldlarning Chern sonlari to'g'risida", Amerika Qo'shma Shtatlari Milliy Fanlar Akademiyasi materiallari, Milliy Fanlar Akademiyasi, 55 (6): 1624–1627, Bibcode:1966 yil PNAS ... 55.1624V, doi:10.1073 / pnas.55.6.1624, ISSN 0027-8424, JSTOR 57245, JANOB 0198496, PMC 224368, PMID 16578639
• Yau, Shing Tung (1977), "Kalabining gumoni va algebraik geometriyadagi ba'zi yangi natijalar", Amerika Qo'shma Shtatlari Milliy Fanlar Akademiyasi materiallari, Milliy Fanlar Akademiyasi, 74 (5): 1798–1799, Bibcode:1977 yil PNAS ... 74.1798Y, doi:10.1073 / pnas.74.5.1798, ISSN 0027-8424, JSTOR 67110, JANOB 0451180, PMC 431004, PMID 16592394
• Yau, Shing Tung (1978), "ixcham Kähler kollektorining Riksi egriligi va murakkab Monge-Amper tenglamasi to'g'risida. I", Sof va amaliy matematika bo'yicha aloqa, 31 (3): 339–411, doi:10.1002 / cpa.3160310304, ISSN 0010-3640, JANOB 0480350