WikiDer > Chaplygins tenglamasi - Vikipediya

Yilda gaz dinamikasi, Chaplygin tenglamasinomi bilan nomlangan Sergey Alekseevich Chaplygin (1902), a qisman differentsial tenglama o'rganishda foydali transonik oqim.^[1][2] Bu

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} Phi} { qismli theta ^ {2}}} + { frac {v ^ {2}} {1 - { frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}}}} { frac { kısmi ^ {2} Phi} { qismli v ^ {2}}} + v { frac { qismli Phi} { qismli v} } = 0.}$

Bu yerda, ${ displaystyle c = c (v)}$ bo'ladi tovush tezligitomonidan belgilanadi davlat tenglamasi suyuqlik va energiyani tejash.

Hosil qilish

Ikki o'lchovli potentsial oqim uchun uzluksizlik tenglamasi va Eyler tenglamalari (aslida siqiladigan Bernulli tenglamasi irrotatsionlik tufayli) dekart koordinatalarida ${ displaystyle (x, y)}$ o'zgaruvchan suyuqlik tezligini o'z ichiga olgan ${ displaystyle (v_ {x}, v_ {y})}$, o'ziga xos entalpiya ${ displaystyle h}$ va zichlik ${ displaystyle rho}$ bor

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { qismli} { qismli x}} ( rho v_ {x}) + { frac { qismli} { qisman y}} ( rho v_ {y }) & = 0, h + { frac {1} {2}} v ^ {2} & = h_ {o}. End {aligned}}}$

bilan davlat tenglamasi ${ displaystyle rho = rho (s, h)}$ uchinchi tenglama vazifasini bajaradi. Bu yerda ${ displaystyle h_ {o}}$ turg'unlik entalpi, ${ displaystyle v ^ {2} = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}$ tezlik vektorining kattaligi va ${ displaystyle s}$ entropiya. Uchun izentropik oqim, zichlik faqat entalpi funktsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin ${ displaystyle rho = rho (h)}$, bu esa o'z navbatida Bernulli tenglamasidan foydalanib quyidagicha yozilishi mumkin ${ displaystyle rho = rho (v)}$.

Oqim irratsional bo'lgani uchun tezlik potentsiali ${ displaystyle phi}$ mavjud va uning differentsiali oddiygina ${ displaystyle d phi = v_ {x} dx + v_ {y} dy}$. Davolash o'rniga ${ displaystyle v_ {x} = v_ {x} (x, y)}$ va ${ displaystyle v_ {y} = v_ {y} (x, y)}$ qaram o'zgaruvchilar sifatida biz koordinata konvertatsiyasidan foydalanamiz ${ displaystyle x = x (v_ {x}, v_ {y})}$ va ${ displaystyle y = y (v_ {x}, v_ {y})}$ yangi bog'liq o'zgaruvchilarga aylanadi. Xuddi shunday tezlik potentsiali yangi funktsiya bilan almashtiriladi (Legendre transformatsiyasi)

${ displaystyle Phi = xv_ {x} + yv_ {y} - phi}$

shunday bo'lsa, uning differentsiali ${ displaystyle d Phi = xdv_ {x} + ydv_ {y}}$, shuning uchun

${ displaystyle x = { frac { kısmi Phi} { qismli v_ {x}}}, to'rtlik y = { frac { qismli Phi} { qismli v_ {y}}}.}$

Dan mustaqil o'zgaruvchilar uchun boshqa koordinatali transformatsiyani joriy etish ${ displaystyle (v_ {x}, v_ {y})}$ ga ${ displaystyle (v, theta)}$ munosabatiga ko'ra ${ displaystyle v_ {x} = v cos theta}$ va ${ displaystyle v_ {y} = v sin theta}$, qayerda ${ displaystyle v}$ tezlik vektorining kattaligi va ${ displaystyle theta}$ tezlik vektori ning bilan yasaydigan burchakdir ${ displaystyle v_ {x}}$-aksis, qaram o'zgaruvchilar bo'ladi

${ displaystyle { begin {aligned} x & = cos theta { frac { qism Phi} { qismli v}} - { frac { sin theta} {v}} { frac { qism Phi} { qismli theta}}, y & = sin teta { frac { qismli Phi} { qismli v}} + { frac { cos theta} {v}} { frac { kısmi Phi} { qismli theta}}, phi & = - Phi + v { frac { qismli Phi} { qismli v}}. end {hizalanmış}}}$

Yangi koordinatalardagi uzluksizlik tenglamasi aylanadi

${ displaystyle { frac {d ( rho v)} {dv}} chap ({ frac { kısmi Phi} { qisman v}} + { frac {1} {v}} { frac { kısmi ^ {2} Phi} { qismli theta ^ {2}}} o'ng) + rho v { frac { qismli ^ {2} Phi} { qismli v ^ {2}} } = 0.}$

Izentropik oqim uchun, ${ displaystyle dh = rho ^ {- 1} c ^ {2} d rho}$, qayerda ${ displaystyle c}$ bu tovush tezligi. Bernulli tenglamasidan foydalanib biz topamiz

${ displaystyle { frac {d ( rho v)} {dv}} = rho chap (1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} o'ng)}$

qayerda ${ displaystyle c = c (v)}$. Demak, bizda

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} Phi} { qismli theta ^ {2}}} + { frac {v ^ {2}} {1 - { frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}}}} { frac { kısmi ^ {2} Phi} { qismli v ^ {2}}} + v { frac { qismli Phi} { qismli v} } = 0.}$

Shuningdek qarang

• Eyler-Trikomi tenglamasi

Adabiyotlar

Vikimedia Commons-ga tegishli ommaviy axborot vositalari mavjud Chaplygin tenglamasi.