WikiDer > Ehtimollar taqsimotining tavsifi - Vikipediya

Umuman matematikada a tavsiflash teoremasi ma'lum bir ob'ekt - funktsiya, bo'shliq va boshqalar - bu teoremada ko'rsatilgan xususiyatlarga ega bo'lgan yagona narsa. A ehtimollik taqsimotining tavsifi shunga ko'ra u yagona ekanligini ta'kidlaydi ehtimollik taqsimoti belgilangan shartlarni qondiradigan. Aniqrog'i, ehtimollik taqsimotini tavsiflash modeli tomonidan tavsiflangan V.M. Zolotarev ^{[ru] [1]} shunday tarzda. Ehtimollar fazosida biz bo'shliqni aniqlaymiz ${ displaystyle { mathcal {X}} = {X }}$ o'lchovli metrik bo'shliqdagi qiymatlarga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar ${ displaystyle (U, d_ {u})}$ va bo'sh joy ${ displaystyle { mathcal {Y}} = {Y }}$ o'lchovli metrik bo'shliqdagi qiymatlarga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar ${ displaystyle (V, d_ {v})}$. Ehtimollar taqsimotining tavsiflari bo'yicha biz ba'zi bir to'plam tavsifining umumiy muammolarini tushunamiz ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ kosmosda ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ to'plamlarni ajratib olish orqali ${ displaystyle { mathcal {A}} subseteq { mathcal {X}}}$ va ${ displaystyle { mathcal {B}} subseteq { mathcal {Y}}}$ tasodifiy o'zgaruvchilarning xususiyatlarini tavsiflovchi ${ displaystyle X in { mathcal {A}}}$ va ularning tasvirlari ${ displaystyle Y = mathbf {F} X in { mathcal {B}}}$, maxsus tanlangan xaritalash yordamida olingan ${ displaystyle mathbf {F}: { mathcal {X}} to { mathcal {Y}}}$.
Tasodifiy o'zgaruvchilar xususiyatlarining tavsifi ${ displaystyle X}$ va ularning tasvirlari ${ displaystyle Y = mathbf {F} X}$ to'plam ko'rsatkichiga tengdir ${ displaystyle { mathcal {A}} subseteq { mathcal {X}}}$ undan ${ displaystyle X}$ olinishi kerak va to'plamdan ${ displaystyle { mathcal {B}} subseteq { mathcal {Y}}}$ uning tasviri tushishi kerak. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan to'plam quyidagi shaklda paydo bo'ladi:

${ displaystyle X in { mathcal {A}}, mathbf {F} X in { mathcal {B}} Leftrightarrow X in { mathcal {C}}, ya'ni { mathcal {C}} = mathbf {F} ^ {- 1} { mathcal {B}},}$

qayerda ${ displaystyle mathbf {F} ^ {- 1} { mathcal {B}}}$ ning to'liq teskari tasvirini bildiradi ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ yilda ${ displaystyle { mathcal {A}}}$. Bu ehtimollik taqsimotini tavsiflashning umumiy modeli. Xarakterizatsiya teoremalarining ba'zi bir misollari:

• Ikki chiziqli (yoki chiziqli bo'lmagan) statistika bir xil taqsimlangan (yoki mustaqil yoki doimiy regressiyaga ega va boshqalar) degan taxmin turli populyatsiyalarni tavsiflash uchun ishlatilishi mumkin.^[2] Masalan, ko'ra Jorj Polyaniki ^[3] tavsiflash teoremasi, agar ${ displaystyle X_ {1}}$ va ${ displaystyle X_ {2}}$ bor mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar cheklangan bilan dispersiya, keyin statistika ${ displaystyle S_ {1} = X_ {1}}$ va ${ displaystyle S_ {2} = { cfrac {X_ {1} + X_ {2}} { sqrt {2}}}}$ xuddi shunday taqsimlanadi va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle X_ {1}}$ va ${ displaystyle X_ {2}}$ bor normal taqsimot o'rtacha nol bilan. Ushbu holatda

${ displaystyle mathbf {F} = { begin {bmatrix} 1 & 0 1 / { sqrt {2}} & 1 / { sqrt {2}} end {bmatrix}}}$,

${ displaystyle { mathcal {A}}}$ mustaqil bir xil taqsimlangan komponentlarga ega bo'lgan tasodifiy ikki o'lchovli ustunli vektorlar to'plami, ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ bir xil taqsimlangan komponentlarga ega bo'lgan tasodifiy ikki o'lchovli ustun-vektorlar to'plamidir va ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ mustaqil bir xil taqsimlangan normal komponentlarga ega bo'lgan ikki o'lchovli ustunli-vektorlarning to'plamidir.

• Umumlashtirilgan ma'lumotlarga ko'ra Jorj Polyaniki tavsiflash teoremasi (dispersiyaning cheklanganligi shartisiz ^[2]) agar ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, nuqta, X_ {n}}$ degeneratsiz mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar, statistik ma'lumotlar ${ displaystyle X_ {1}}$ va ${ displaystyle a_ {1} X_ {1} + a_ {2} X_ {2} + dots + a_ {n} X_ {n}}$ bir xil taqsimlanadi va ${ displaystyle left | a_ {j} right vert <1, a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + dots + a_ {n} ^ {2} = 1}$, keyin ${ displaystyle X_ {j}}$ har qanday kishi uchun odatiy tasodifiy o'zgaruvchidir ${ displaystyle j, j = 1,2, nuqta, n}$. Ushbu holatda

${ displaystyle mathbf {F} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & dots & 0 a_ {1} & a_ {2} & dots & a_ {n} end {bmatrix}}}$,

${ displaystyle { mathcal {A}}}$ tasodifiy to'plamdir n- mustaqil ravishda taqsimlangan komponentlarga ega bo'lgan o'lchovli ustunli vektorlar, ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ bir xil taqsimlangan komponentlarga ega bo'lgan tasodifiy ikki o'lchovli ustun-vektorlar to'plamidir va ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ to'plamidir n- mustaqil bir xil taqsimlangan normal komponentlarga ega bo'lgan o'lchovli ustun-vektorlar.^[4]

• Yarim chiziqdagi barcha ehtimollik taqsimotlari ${ displaystyle left [0, infty right)}$ bu xotirasiz bor eksponent taqsimotlar. "Xotirasiz" degani, agar shunday bo'lsa ${ displaystyle X}$ har qanday raqamlar uchun shunday taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir ${ displaystyle 0$ ,

${ displaystyle Pr (X> x mid X> y) = Pr (X> x-y)}$.

Xarakterizatsiya teoremalarining shartlarini amalda tekshirish ba'zi xatolar bilan mumkin ${ displaystyle epsilon}$, ya'ni faqat ma'lum darajada aniqlik.^[5] Bunday holat, masalan, cheklangan kattalik namunasi ko'rib chiqilgan hollarda kuzatiladi. Shuning uchun quyidagi tabiiy savol tug'iladi. Xarakterizatsiya teoremasining shartlari to'liq emas, balki faqat taxminan bajarilgan deb taxmin qiling. Teoremaning xulosasi ham taxminan bajarilgan deb ta'kidlay olamizmi? Ushbu turdagi muammolar ko'rib chiqiladigan teoremalar ehtimollik taqsimotining barqarorlik xarakteristikasi deb ataladi.

Shuningdek qarang

• Xarakteristikasi (matematika)

Adabiyotlar