WikiDer > Xristallar tenglamasi - Vikipediya

Yilda matematika, Kristal tenglamasi birinchi darajali chiziqli oddiy differentsial tenglama, matematik nomi bilan atalgan Jorj Kristal, kim muhokama qildi yagona echim 1896 yildagi ushbu tenglamadan.^[1] Tenglama quyidagicha o'qiydi^[2][3]

${ displaystyle chap ({ frac {dy} {dx}} o'ng) ^ {2} + Ax {{frac {dy} {dx}} + By + Cx ^ {2} = 0}$

qayerda ${ displaystyle A, B, C}$ uchun doimiy bo'lganlar ${ displaystyle dy / dx}$, beradi

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = - { frac {A} {2}} x pm { frac {1} {2}} (A ^ {2} x ^ {2} - 4By-4Cx ^ {2}) ^ {1/2}.}$

Ushbu tenglama .ning umumlashmasidir Klerot tenglamasi chunki u quyida keltirilgan ba'zi bir shartlar asosida Klerot tenglamasiga kamayadi.

Qaror

Transformatsiyani tanishtirish ${ displaystyle 4By = (A ^ {2} -4C-z ^ {2}) x ^ {2}}$ beradi

${ displaystyle xz { frac {dz} {dx}} = A ^ {2} + AB-4C pm Bz-z ^ {2}.}$

Endi tenglama ajratilishi mumkin

${ displaystyle { frac {z , dz} {A ^ {2} + AB-4C pm Bz-z ^ {2}}} = { frac {dx} {x}}.}$

Tenglamaning ildizlarini yechsak, chap tomondagi maxrajni ayirish mumkin ${ displaystyle A ^ {2} + AB-4C pm Bz-z ^ {2} = 0}$ va ildizlar ${ displaystyle a, b = pm left [B + { sqrt {(2A + B) ^ {2} -16C}} right] / 2}$, shuning uchun

${ displaystyle { frac {z , dz} {(z-a) (z-b)}} = { frac {dx} {x}}.}$

Agar ${ displaystyle a neq b}$, hal qilish

${ displaystyle x { frac {(z-a) ^ {a / (a-b)}} {(z-b) ^ {b / (a-b)}}} = k}$

qayerda ${ displaystyle k}$ ixtiyoriy doimiy. Agar ${ displaystyle a = b}$, (${ displaystyle (2A + B) ^ {2} -16C = 0}$) keyin yechim

${ displaystyle x (z-a) exp left [{ frac {a} {a-z}} right] = k.}$

Ildizlardan biri nolga tenglashganda, tenglama ga kamayadi Klerot tenglamasi va bu holda parabolik eritma olinadi, ${ displaystyle A ^ {2} + AB-4C = 0}$ va echim shu

${ displaystyle x (z pm B) = k, quad Rightarrow quad 4By = -ABx ^ {2} - (k pm Bx) ^ {2}.}$

Parabolalarning yuqoridagi oilasini parabola o'rab olgan ${ displaystyle 4By = -ABx ^ {2}}$, shuning uchun bu o'rab turgan parabola a yagona echim.

Adabiyotlar