WikiDer > To'liq miqdor

Metrik nazariyasida doimiy davomli kasrlar, kth to'liq miqdor ζ_k birinchisiga e'tibor bermaslik orqali olinadi k qisman maxrajlar a_men. Masalan, doimiy davomli kasr tomonidan berilgan bo'lsa

${displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, nuqtalar] = a_ {0} + {cfrac {1} {a_ {1} + {cfrac {1} { a_ {2} + {cfrac {1} {a_ {3} + {cfrac {1} {ddots}}}}}}}},}$

keyin ketma-ket to'liq takliflar ζ_k tomonidan berilgan

${displaystyle {egin {aligned} zeta _ {0} & = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, nuqtalar] zeta _ {1} & = [a_ {1} ; a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, nuqtalar] zeta _ {2} & = [a_ {2}; a_ {3}, a_ {4}, a_ {5}, nuqtalar] zeta _ {k} & = [a_ {k}; a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, a_ {k + 3}, nuqtalar]., oxiri {hizalanmış}}}$

Rekursiv munosabatlar

Yuqorida keltirilgan ta'rifdan biz darhol buni anglashimiz mumkin

${displaystyle zeta _ {k} = a_ {k} + {frac {1} {zeta _ {k + 1}}} = [a_ {k}; zeta _ {k + 1}] ,,}$

yoki teng ravishda,

${displaystyle zeta _ {k + 1} = {frac {1} {zeta _ {k} -a_ {k}}}.,}$

To'liq kotirovkalar va ning yaqinlashuvchilari x

Birin-ketin belgilash konvergentlar doimiy davom etgan kasrning x = [a₀; a₁, a₂,…] Tomonidan A₀, A₁/B₁, A₂/B₂,… (Maqolada to'liqroq tushuntirilganidek asosiy takrorlanish formulalari), buni ko'rsatish mumkin

${displaystyle x = {frac {A_ {k} zeta _ {k + 1} + A_ {k-1}} {B_ {k} zeta _ {k + 1} + B_ {k-1}}},}$

Barcha uchun k ≥ 0.

Ushbu natijani cheksiz muntazam davomli fraktsiyaning ketma-ket konvergentsiyalari qiymatga yaqinlashishini eslash orqali yaxshiroq tushunish mumkin x bir xil zig-zag naqshida:

${displaystyle A_ {0} <{frac {A_ {2}} {B_ {2}}} <{frac {A_ {4}} {B_ {4}}}$

shunday qilib qachon k hatto bizda ham A_k/B_k < x < A_k+1/B_k+1va qachon k bizda g'alati A_k+1/B_k+1 < x < A_k/B_k. Ikkala holatda ham k + 1-chi to'liq miqdor_k+1 ifodalaydigan noyob haqiqiy son x shaklida a yarimo'tkazuvchi.

To'liq kvotalar va ularga teng keladigan haqiqiy sonlar

LFTlar tomonidan aniqlangan ekvivalentlik munosabati

To'plamini ko'rib chiqing chiziqli kasrli transformatsiyalar (LFTs) tomonidan belgilanadi

${displaystyle f (x) = {frac {a + bx} {c + dx}},}$

qayerda a, b, vva d bor butun sonlarva reklama − mil = ± 1. Ushbu LFT to'plamida identifikatsiya elementi (0 +) mavjudx) / 1, va u yopiq bo'lgani uchun funktsiyalar tarkibi, va to'plamning har bir a'zosi to'plamda teskari ko'rsatkichga ega, bu LFTlar a hosil qiladi guruh (funktsiyalar tarkibi bo'lgan guruh operatsiyasi), GL (2,Z).

Biz belgilashimiz mumkin ekvivalentlik munosabati to'plamida haqiqiy raqamlar bu chiziqli fraksiyonel o'zgartirishlar guruhi yordamida. Ikkita haqiqiy raqam deymiz x va y teng (yozma) x ~ y) agar

${displaystyle y = f (x) = {frac {a + bx} {c + dx}},}$

ba'zi bir butun sonlar uchun a, b, vva d shu kabi reklama − mil = ±1.

Shubhasiz, bu munosabat nosimmetrik, refleksiv va o'tish davri, shuning uchun u ekvivalentlik munosabati bo'lib, undan haqiqiy sonlarni ajratish uchun foydalanish mumkin ekvivalentlik darslari. Hammasi ratsional sonlar teng, chunki har bir ratsional son nolga teng. Haqida nima deyish mumkin mantiqsiz raqamlar? Ular ham bitta ekvivalentlik sinfiga kiradimi?

"Ekvivalent" irratsional sonlar haqidagi teorema

Ikki mantiqsiz raqam x va y Bu sxema bo'yicha ekvivalenti doimiy kengaytirilgan fraktsiyalar sifatida kengayishidagi cheksiz uzun "dumlar" bir xil bo'lsa. Aniqrog'i, quyidagi teoremani isbotlash mumkin.

Ruxsat bering x va y ikkita mantiqsiz (haqiqiy) raqam bo'ling va kning doimiy davomli kengayishidagi to'liq miqdor x va y ζ bilan belgilanadi_k va ψ_knavbati bilan, Keyin x ~ y (oldingi bobda belgilangan ekvivalentlik ostida) agar musbat tamsayılar bo'lsa m va n shunday ζ_m = ψ_n.

Misol

The oltin nisbat φ odatdagi davomli kasr sifatida eng oddiy kengayishi mumkin bo'lgan irratsional son: d = [1; 1, 1, 1,…]. Teorema birinchi navbatda bizga shunday deydi x kengaytmasi cheksiz qatorni o'z ichiga olgan har qanday haqiqiy son [1, 1, 1, 1,…], keyin butun sonlar mavjud a, b, vva d (bilan reklama − mil = ± 1) shunday

${displaystyle x = {frac {a + bphi} {c + dphi}}.,}$

Aksincha, agar a, b, vva d butun sonlar (bilan reklama − mil = ± 1), keyin har bir haqiqiy sonning doimiy davomli kasr kengayishi y shaklida ifodalanishi mumkin

${displaystyle y = {frac {a + bphi} {c + dphi}},}$

oxir-oqibat $ d $ uchun doimiy davom etgan kasrga o'xshash "quyruq" ga etadi.

Adabiyotlar

• Rockett, Endryu M.; Syuz, Piter (1992). Davomiy kasrlar. Jahon ilmiy. pp.4–8. ISBN 981-02-1052-3.