WikiDer > Kompleks chora

Yilda matematika, xususan o'lchov nazariyasi, a murakkab o'lchov tushunchasini umumlashtiradi o'lchov unga ega bo'lish orqali murakkab qiymatlar. Boshqacha qilib aytganda, biri ruxsat beradi to'plamlar uning kattaligi (uzunligi, maydoni, hajmi) murakkab son.

Ta'rif

Rasmiy ravishda, a murakkab o'lchov ${ displaystyle mu}$ a o'lchanadigan joy ${ displaystyle (X, Sigma)}$ murakkab qiymatga ega funktsiya

${ displaystyle mu: Sigma to mathbb {C}}$

anavi sigma qo'shimchasi. Boshqacha qilib aytganda, har qanday kishi uchun ketma-ketlik ${ displaystyle (A_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ ning ajratilgan to'plamlar tegishli ${ displaystyle Sigma}$, bittasi bor

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} mu (A_ {n}) = mu chap ( bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} o'ng) in mathbb {C}.}$

Sifatida ${ displaystyle displaystyle bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} = bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A _ { sigma (n)}}$ har qanday almashtirish uchun (bijection) ${ displaystyle sigma: mathbb {N} dan mathbb {N}}$, bundan kelib chiqadiki ${ displaystyle displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} mu (A_ {n})}$ shartsiz birlashadi (shu sababli mutlaqo).

Murakkab o'lchov bo'yicha integratsiya

Ni belgilash mumkin ajralmas murakkab qiymatga ega o'lchanadigan funktsiya kabi bir xil murakkab o'lchovga nisbatan Lebesg integrali a haqiqiya ga nisbatan o'lchanadigan funktsiya salbiy bo'lmagan o'lchov, bilan o'lchanadigan funktsiyani yaqinlashtirib oddiy funktsiyalar. Xuddi oddiy integratsiya holatida bo'lgani kabi, bu ham umumiy integral mavjud bo'lmasligi yoki uning qiymati cheksiz bo'lishi mumkin ( murakkab cheksizlik).

Yana bir yondashuv - integratsiya nazariyasini noldan ishlab chiqmaslik, aksincha, manfiy bo'lmagan o'lchovga nisbatan real qiymat funktsiyasining ajralmas kontseptsiyasidan foydalanish. Shu maqsadda, bu haqiqiy va xayoliy qismlarning m ekanligini tezkor tekshirish₁ va m₂ m o'lchovli o'lchovli sonli qiymatga ega imzolangan choralar. Ulardan birini qo'llash mumkin Xahn-Iordaniya parchalanishi ularni ajratish uchun ushbu choralarga

${ displaystyle mu _ {1} = mu _ {1} ^ {+} - mu _ {1} ^ {-}}$

va

${ displaystyle mu _ {2} = mu _ {2} ^ {+} - mu _ {2} ^ {-}}$

qaerda m₁⁺, m₁⁻, m₂⁺, m₂⁻ cheklangan salbiy bo'lmagan o'lchovlardir (ular ma'lum ma'noda noyobdir). Keyin, o'lchanadigan funktsiya uchun f qaysi haqiqiy qadrli Hozircha kimdir belgilashi mumkin

${ displaystyle int _ {X} ! f , d mu = left ( int _ {X} ! f , d mu _ {1} ^ {+} - int _ {X} ! f , d mu _ {1} ^ {-} o'ng) + i chap ( int _ {X} ! f , d mu _ {2} ^ {+} - int _ {X} ! F , d mu _ {2} ^ {-} o'ng)}$

o'ng tarafdagi ifoda aniqlangan ekan, ya'ni to'rtala integral mavjud va ularni qo'shganda bitta noaniq ∞−∞.

Hozir berilgan murakkab qadrli o'lchovli funktsiya, uning haqiqiy va xayoliy tarkibiy qismlarini yuqorida ko'rsatilgandek alohida birlashtirish va kutilganidek,

${ displaystyle int _ {X} ! f , d mu = int _ {X} ! Re (f) , d mu + i int _ {X} ! Im (f ), d mu.}$

Kompleks o'lchov va qutbli parchalanishning o'zgarishi

$ M $ o'lchovi uchun uni belgilaydi o'zgaruvchanlik, yoki mutlaq qiymat, | m | formula bo'yicha

${ displaystyle | mu | (A) = sup sum _ {n = 1} ^ { infty} | mu (A_ {n}) |}$

qayerda A Σ va theda joylashgan supremum ajratilgan to'plamlarning barcha ketma-ketliklari bo'ylab ishlaydi (A_n)_n kimning birlashma bu A. To'plamning faqat cheklangan qismlarini olish A ichiga o'lchovli kichik to'plamlar, ekvivalenti ta'rifini oladi.

Aniqlanishicha | m | manfiy bo'lmagan cheklangan o'lchovdir. Xuddi shu tarzda kompleks sonni a da ifodalash mumkin qutbli shakl, bittasida a qutbli parchalanish murakkab o'lchov uchun: Haqiqiy qiymatlari bilan o'lchanadigan funktsiya mavjud

${ displaystyle d mu = e ^ {i theta} d | mu |,}$

ma'no

${ displaystyle int _ {X} f , d mu = int _ {X} fe ^ {i theta} , d | mu |}$

har qanday kishi uchun mutlaqo integral o'lchanadigan funktsiya f, ya'ni, f qoniqarli

${ displaystyle int _ {X} | f | , d | mu | < infty.}$

Ulardan birini ishlatish mumkin Radon-Nikodim teoremasi o'zgarishning o'lchov ekanligini va mavjudligini isbotlash qutbli parchalanish.

Kompleks chora-tadbirlar maydoni

Ikkala kompleks o'lchovlarning yig'indisi kompleks o'lchov bo'lib, kompleks sonning kompleks soniga ko'paytmasi. Ya'ni o'lchov maydonidagi barcha kompleks chora-tadbirlar to'plami (X, Σ) hosil qiladi a vektor maydoni murakkab sonlar ustida. Bundan tashqari, umumiy o'zgarish ${ displaystyle | u |}$ sifatida belgilangan

${ displaystyle | mu | = | mu | (X) ,}$

a norma, unga nisbatan kompleks chora-tadbirlar maydoni a Banach maydoni.

Shuningdek qarang

• Rizz vakillik teoremasi
• Imzolangan o'lchov
• Vektor o'lchovi

Tashqi havolalar

• Kompleks chora kuni MathWorld