WikiDer > Konservatives Vektorfeld

EIN konservatives Vektorfeld, ebenfalls exaktes Vektorfeld ist ein Vektorfeld dass die Gradient (die "Steigung") ist von a Skalarfeld (ein Funktion auf einem mehrdimensionalen Raum), in diesem Zusammenhang die (Skalar) Potenzial erwähnt. Ein konservatives Vektorfeld hat die Eigenschaft, dass die Linienintegral ist unabhängig vom gewählten Weg, d.h. der Wert des Linienintegrals für jeden gewählten Weg zwischen den Punkten ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ wird den gleichen Wert ergeben.

Anwendungen

Konservative Vektorfelder spielen eine wichtige Rolle in der Physik, auch in Form von Kräfte die arbeiten in a geschlossenes System, d.h. wenn die Energie wird gespart. Das macht es möglich potenzielle Energie unabhängig vom gewählten Pfad zu definieren.

Definition

Ein Vektorfeld ${displaystyle {vec {F}}:mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{n}}$ heiß konservativ, wenn es eine Funktion gibt

${displaystyle varphi :mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} }$

ist so, dass:

${displaystyle {vec {F}}=abla varphi}$.

Die Funktion ${Anzeigestil Varphi }$ wird der Potenzial das Feld genannt.

Der Betreiber ${displaystyle abla}$ (nabla) ist die Steigung.

Thesen

• Ein konservatives Vektorfeld ${displaystyle {vec {F}}}$ ist rotierend d.h. ${displaystyle abla imes {vec {F}}={vec {0}}}$
• Wenn es einen Bereich gibt, in dem ein Vektorfeld rotationsfrei und stetig ist differenzierbar dann ist dieses Vektorfeld in diesem Bereich konservativ.
• Das Linienintegral eines konservativen Vektorfeldes ist unabhängig vom verfolgten Weg. Für jede Kurve ${displaystyle {mathcal {C}}}$ von diesem Punkt ${Anzeigestil A}$ auf den Punkt ${Anzeigestil B}$ gilt:

${displaystyle int _{mathcal {C}}{vec {F}}cdot {vec {mathrm {d} P}}=varphi (B)-varphi (A)}$.

• Aus dem obigen Satz folgt, dass a Schaltungsintegral in einem einzigartig verbunden Fläche eines konservativen Vektorfeldes, das im betrachteten Bereich konservativ ist, ist gleich 0.

Rechenbeispiel: vom konservativen Vektorfeld zur Potentialfunktion

Gegeben das Vektorfeld

${displaystyle {overrightarrow {F}} = [2x z,z,y-3z^{2} x]}$

Dieses Feld ist in der Tat konservativ, weil

${displaystyle {frac {partial F_{x}}{partial y}}=0={frac {partial F_{y}}{partial x}}}$ und ${displaystyle {frac {partial F_{x}}{partial z}}=1={frac {partial F_{z}}{partial x}}}$ und ${displaystyle {frac {partial F_{y}}{partial z}}=1={frac {partial F_{z}}{partial y}}}$

Es gibt also eine potentielle Funktion ${Anzeigestil P(x,y,z)}$ von was ${displaystyle {overrightarrow {F}}}$ ist die Steigung. Sie lässt sich aus den Komponenten von berechnen ${displaystyle {overrightarrow {F}}}$ denn das sind die jeweiligen partiellen Ableitungen von ${Anzeigestil P(x,y,z)}$. Zum Beispiel ausgehend von der ersten Komponente:

${displaystyle P = int F_{x}dx = x^{2} xz phi (y,z)}$

Beim Integrieren ${displaystyle F_{x}}$ Bedingungen in berücksichtigen ${Anzeigestil P}$ das nein ${Anzeigestil x}$ keine Spuren davon im Bauteil zu finden sind ${displaystyle F_{x}}$. Die Funktion ${Anzeigestil phi(y,z)}$ kann gefunden werden, indem verlangt wird, dass die partielle Ableitung von ${Anzeigestil P}$ zu y gleich ${displaystyle F_{y}}$. Dies führt zu:

${displaystyle {frac {partial phi }{partial y}} = z}$

so dass

${ Anzeigestil Phi (y,z) = yz psi (z)}$

wahr ${Anzeigestil psi (z)}$ ein Begriff von ${Anzeigestil P}$ hängt nicht davon ab ${displaystyle y}$ und davon keine Spur in geen ${displaystyle F_{y}}$ kann gefunden werden. So:

${Anzeigestil P = x^{2} xz yz psi (z)}$

Die Funktion ${Anzeigestil psi (z)}$ kann durch die partiellen Ableitungen davon gefunden werden ${Anzeigestil P}$ zu ${Anzeigestil z}$ ableiten und gleichsetzen mit ${displaystyle F_{z}}$:

${displaystyle x y {frac {partial psi }{z}} = x y-3z^{2}}$

so dass

${Anzeigestil psi(z)=z^{3}K}$

wahr ${Anzeigestil K}$ eine beliebige reelle Konstante ist, also schließlich:

${Anzeigestil P(x,y,z) = x^{2} xz yz-z^{3} K}$

Diese Berechnungsmethode lässt sich verallgemeinern, wenn die Dimension des Vektorraum größer oder vereinfacht, wenn die Bemaßung 2 ist.