WikiDer > Konservativ kengayish

Conservative extension

Yilda matematik mantiq, a konservativ kengayish a supertheory a nazariya bu ko'pincha isbotlash uchun qulaydir teoremalar, ammo asl nazariya tili haqida yangi teoremalarni isbotlamaydi. Xuddi shunday, a konservativ bo'lmagan kengayish konservativ bo'lmagan va aslidan ko'proq teoremalarni isbotlashi mumkin bo'lgan supertheory.

Rasmiyroq aytilgan nazariya ${ displaystyle T_ {2}}$ bu (dalil nazariy) nazariyaning konservativ kengayishi ${ displaystyle T_ {1}}$ agar har bir teorema ${ displaystyle T_ {1}}$ ning teoremasi ${ displaystyle T_ {2}}$ va har qanday teorema ${ displaystyle T_ {2}}$ tilida ${ displaystyle T_ {1}}$ allaqachon teoremasi ${ displaystyle T_ {1}}$ .

Umuman olganda, agar ${ displaystyle Gamma}$ to'plamidir formulalar ning umumiy tilida ${ displaystyle T_ {1}}$ va ${ displaystyle T_ {2}}$ , keyin ${ displaystyle T_ {2}}$ bu ${ displaystyle Gamma}$ -konservativ ustida ${ displaystyle T_ {1}}$ agar har bir formuladan ${ displaystyle Gamma}$ isbotlanadigan ${ displaystyle T_ {2}}$ ham isbotlanishi mumkin ${ displaystyle T_ {1}}$ .

A ning konservativ kengaytmasi ekanligini unutmang izchil nazariya izchil. Agar u bo'lmasa, demak portlash printsipitilidagi har bir formula ${ displaystyle T_ {2}}$ ning teoremasi bo'ladi ${ displaystyle T_ {2}}$ , shuning uchun tilidagi har bir formula ${ displaystyle T_ {1}}$ ning teoremasi bo'ladi ${ displaystyle T_ {1}}$ , shuning uchun ${ displaystyle T_ {1}}$ izchil bo'lmaydi. Demak, konservativ kengaytmalar yangi nomuvofiqliklar paydo bo'lish xavfini tug'dirmaydi. Buni a metodologiya katta nazariyalarni yozish va tuzish uchun: nazariyadan boshlang, ${ displaystyle T_ {0}}$ , bu ma'lum (yoki taxmin qilingan) izchil bo'lishi va ketma-ket konservativ kengaytmalarni yaratishi ${ displaystyle T_ {1}}$ , ${ displaystyle T_ {2}}$ , ... undan.

Yaqinda konservativ kengaytmalar tushunchasini aniqlash uchun foydalanilgan modul uchun ontologiyalar: agar ontologiya mantiqiy nazariya sifatida rasmiylashtirilgan bo'lsa, butun ontologiya subtemaning konservativ kengaytmasi bo'lsa, subtheory modul hisoblanadi.

Konservativ bo'lmagan kengaytmani a deb atash mumkin to'g'ri kengaytma.

Misollar

ACA₀ (kichik tizim ikkinchi darajali arifmetik) birinchi darajali konservativ kengayishdir Peano arifmetikasi.
Von Neyman-Bernays-Gödel to'plamlari nazariyasi ning konservativ kengaytmasi hisoblanadi Zermelo-Fraenkel to'plamlari nazariyasi bilan tanlov aksiomasi (ZFC).
Ichki to'plam nazariyasi ning konservativ kengaytmasi hisoblanadi Zermelo-Fraenkel to'plamlari nazariyasi bilan tanlov aksiomasi (ZFC).
Ta'riflar bo'yicha kengaytmalar konservativ.
Cheklanmagan predikat yoki funktsiya belgilari bo'yicha kengaytmalar konservativdir.
IΣ₁ (faqat indüksiyonlu Peano arifmetikasining quyi tizimi Σ⁰₁- formulalar) Π dir⁰₂-ning konservativ kengayishi ibtidoiy rekursiv arifmetikasi (PRA).^[1]
ZFC - bu Π¹₃- tomonidan ZF ning konservativ kengayishi Shoenfildning mutloqligi teoremasi.
Bilan ZFC doimiy gipoteza bu Π²₁-ZFC konservativ kengayishi.

Model-nazariy konservativ kengayish

Bilan model-nazariy degan ma'noni anglatadi, yanada kuchli tushuncha olinadi: kengaytma ${ displaystyle T_ {2}}$ nazariya ${ displaystyle T_ {1}}$ bu nazariy jihatdan konservativ agar ${ displaystyle T_ {1} subseteq T_ {2}}$ va har bir model ${ displaystyle T_ {1}}$ modeliga kengaytirilishi mumkin ${ displaystyle T_ {2}}$ . Har bir model-nazariy konservativ kengaytma ham yuqoridagi ma'noda (isbot-nazariy) konservativ kengaytma hisoblanadi.^[2] Model nazariy tushunchasi dalil nazariyasidan ustunroq, chunki u mavjud tilga juda bog'liq emas; boshqa tomondan, odatda, nazariy konservativlikni o'rnatish qiyinroq.