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Decimale breuk

EIN Dezimalbruch ist ein Fraktion mit einer Zehnerpotenz als Nenner, also 10, 100, 1000 usw. Dezimalbrüche werden normalerweise nicht als Bruch, sondern als Zahlenreihe geschrieben, wobei der Bruch durch a . vom ganzen Teil getrennt ist Komma: normalerweise ein Komma (in Belgien, den Niederlanden und den meisten anderen europäischen Ländern) oder ein Punkt (in angelsächsischen Ländern).[1] Die Nachkommastellen sind Dezimalstellen erwähnt.

Jeder reelle Zahl kann als, möglicherweise unendlicher, Dezimalbruch geschrieben werden. Mit beliebiger Genauigkeit kann jede reelle Zahl durch einen endlichen Dezimalbruch (Rundung).

Endliche Dezimalbrüche sind Rationale Zahlen (Brüche), aber nicht alle Brüche ergeben endliche Dezimalbrüche. So ist 1 : 3 = 0,33333333... Ein unendlicher Dezimalbruch ist genau dann eine rationale Zahl, wenn dies sich wiederholend ist.

Nach der letzten Ziffer eines endlichen Dezimalbruchs können beliebig viele Nullen gesetzt werden, ohne den Wert des Bruchs zu ändern: 0,5 und 0,50 den gleichen Wert haben. Das ist, weil 1/2 gleich 5/10 (0.5) aber auch an 50/100 (0.50) und weiter 500/1000 (0,500).

lange Division

Jede rationale Zahl kann als Dezimalbruch geschrieben werden, sich wiederholend oder nicht. Dies kann man sehen, indem man die Division von Zähler und Nenner als a durchführt lange Division.

Jeder Bruch, wenn das Ergebnis keine ganze Zahl oder ein Dezimalbruch mit endlich vielen Nachkommastellen ist, ist immer ein sich wiederholender Dezimalbruch. Das folgende Beispiel macht deutlich, warum dies der Fall ist. Im Beispiel wird 7 durch 13 geteilt. Unten ist ein Teil der langen Division (niederländische Notation):

  13 / 7,00000000  0,538461...       6,5         50         39         110         104           60           52            80            78             20             13              7

Jetzt bleibt ein Rest 7, der eine Situation schafft, die schon einmal aufgetreten ist. Die Geschichte wiederholt sich: ein sich wiederholender Teil entsteht.

Bei Division durch 13 können maximal 13 verschiedene Reste entstehen (0 bis 12). Bei Rest 0 wird die Division fortgesetzt, ein weiterer Rest ist "neu" oder "vorher". Im letzteren Fall kommt es zu einer Wiederholung von Zügen. Es ist nicht schwer, das mit einem Teiler zu sehen nein nach höchstens nein Schritte die Teilung nach oben geht oder Wiederholung auftritt.

Fazit: jede Art Pause ich/nein (bei welchem ich und nein sind ganze Zahlen) ist

  • entweder eine ganze Zahl, zum Beispiel 8/4 = 2;
  • entweder ein endlicher Dezimalbruch (zum Beispiel: 5/8 = 0,625);
  • entweder ein sich wiederholender Bruch in dem nach höchstens nein − 1 Dezimalstelle erfolgt eine Wiederholung.

Um anzuzeigen, dass es sich um einen sich wiederholenden Bruch handelt, wird der sich wiederholende Teil in Schrägstriche oder Klammern (rund oder eckig) eingeschlossen. In diesem Fall 0,/538461/ oder 0,(538461). Darüber befindet sich auch eine Zeile: 0,538461. Dies ist notwendig, da sonst kein Unterschied zwischen 0,3 (3/10) und 0,/3/ (1/3). Übrigens ist es nicht so, dass die Wiederholung immer direkt nach dem Komma beginnt: at 11/12 (0,91/6/) werden die ersten beiden Nachkommastellen nicht in die Wiederholung einbezogen. Daher ist eine Notation wie 0,916... mehrdeutig. Wird dennoch eine Notation mit Punkten gewählt, schreibt man den sich wiederholenden Teil am besten zweimal (7/13 = 0,538461538461...).

Endliche Dezimalbrüche treten nur auf, wenn at Faktorisierung des Nenners kommen nur die Ziffern 2 und 5 vor (da 2 × 5 = 10 lässt sich ein solcher Nenner in eine ganze Zehnerpotenz umwandeln: 1/5 = 2/10, 1/2 = 5/10, 1/4 = 25/100 und so weiter).

Geschichte

Vor 1600 wurde nicht-ganzzahlige Arithmetik normalerweise mit general . durchgeführt Brüche, beyogen auf praktischNenner. Es gab standardisierte Verfahren, die mit 60-stelligen Brüchen arbeiteten, aber im Allgemeinen war es sehr schwierig, am Bruch zu erkennen, inwieweit er sich der gewünschten nicht-ganzzahligen Zahl wirklich annäherte. Dezimalbrüche wurden bereits verwendet, jedoch nur für die Wurzelextraktion. Damit arbeiteten sie im Alltag nicht.

Im 1586 schrieb Simon Steven sein berühmtes Werk Die Thiende, in dem er die übliche Verwendung von Brüchen nach dem Dezimalsystem beschrieb. Vorher verwendete er nicht die Notation mit Dezimalpunkt oder Dezimalpunkt wie jetzt, sondern eine Notation, bei der nach jeder Ziffer in a Kreis die (negative) Potenz von 10, die auf diese Zahl angewendet wird. Was jetzt als 6.87 geschrieben wird, schrieb Simon Stevin als 6⓪8①7②.

Nur dann Bartholomaeus Pitiscus in seinen trigonometrischen Tabellen in 1612 verwendet das Dezimaltrennzeichen in Form eines Punkts und diese Verwendung in 1614 und 1619 durch John Napier in seinen Artikeln über Logarithmen erkannt wurde, wurde die aktuelle Schreibweise des Dezimalbruchs übernommen.