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In dem Lineare Algebra, eine Unterregion der Mathematik beschreibt Definition welche ZeichenRealquadratische Formen das von Matrizen oder allgemeiner von bilineare Formen hergestellt werden kann. Eine bestimmte quadratische Form hat für jeden Vektor ungleich 0 das gleiche Vorzeichen. Wenn dieses Vorzeichen positiv ist, heißt die Form positiv-definitiv; wenn es negativ ist, dann negativ-definit. Wenn die quadratische Form für alle Vektoren nicht negativ ist, dann heißt sie positiv-semi-definit; wenn sie nicht positiv ist, dann negativ-semidefinit. Quadratische Formen entsprechen eindeutig symmetrischen bilineare Formen, so dass die Definition in Bezug auf symmetrische bilineare Formen gegeben werden kann.

Bestimmte bilineare und sesquilineare Formen

Sie ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum über die Real oder Komplex Zahlen.

Eine symmetrische bilineare Form ${displaystyle langle {cdot },{cdot }Winkel Doppelpunkt Vimes V o mathbb {R} }$ und im Fall eines komplexen Vektorraums ein Hermitescher sesquilineare Form${displaystyle langle {cdot },{cdot }Winkel Doppelpunkt Vimes V o mathbb {C} }$ wird genannt

positiv-definitiv,	wenn ${displaystyle langle v,vangle >0}$
positiv-semi-definit,	wenn ${displaystyle langle v,vangle geq 0}$
negativ-definit,	wenn ${displaystyle langle v,vangle <0}$
negativ-semidefinit,	wenn ${displaystyle langle v,vangle leq 0}$
unbegrenzt,	wenn ${displaystyle langle v,vangle <0 und langle v,vangle >0}$

gilt für alle ${displaystyle vin V,veq 0}$. Beachten Sie, dass ${displaystyle langle v,vangle }$ ist immer real, auch im komplexen Fall wegen des geforderten Hermitismus. Wenn keine dieser Bedingungen erfüllt ist, wird das Formular aufgerufen unbestimmt. Nur dann kann ${displaystyle langle v,vangle }$ nehmen sowohl positive als auch negative Werte an.

Definitive Matrizen

Beliebig reell oder komplex quadratische Matrix der Ordnung ${displaystyle n}$ beschreibt eine bilineare Form bzw. bei respektievelijk ${displaystyle V=mathbb {R} ^{n}}$ oder eine sesquilineare Form auf ${displaystyle V=mathbb {C} ^{n}}$. Eine quadratische Matrix heißt daher positiv-definitiv, wenn diese Eigenschaft auf die durch die Matrix definierte bilineare oder sesquilineare Form zutrifft. Auch die anderen Eigenschaften werden auf die gleiche Weise definiert. Das heisst^[1]: ein symmetrisch sowie Einsiedler Matrix ${Anzeigestil A}$ der Ordnung ${displaystyle n}$ ist:

positiv-definitiv,	wenn ${displaystyle x^{T}Ax>0}$
positiv-semi-definit,	wenn ${displaystyle x^{T}Axgeq 0}$
negativ-definit,	wenn ${displaystyle x^{T}Ax<0}$
negativ-semidefinit,	wenn ${displaystyle x^{T}Axleq 0}$
unbestimmt,	wenn ${displaystyle x^{T}Ax<0{ ext{ und }}x^{T}Ax>0}$

für alle ${displaystyle n}$-Reihe Spaltenvektoren${displaystyle xeq 0}$.

Eigenwerte

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv-definit, wenn alle ihre Eigenwerte positiv sind.^[2]

Beispiel

Die folgende Tabelle zeigt zwei Möglichkeiten für 2×2-Matrizen.

Matrix ${Anzeigestil A}$	Definition	zugehörige quadratische Form ${Anzeigestil Q_{A}(x,y)}$	${displaystyle {(x,y)mid Q_{A}(x,y)=1}}$
${displaystyle ;{ egin{bmatrix}1/4&0/0&1end{bmatrix}}}$	positiv-definitiv	${displaystyle { frac {1}{4}}x^{2} y^{2}}$	Ellipse
${displaystyle { egin{bmatrix}1/4&0/0&-1/4end{bmatrix}}}$	unbestimmt	${displaystyle { frac {1}{4}}x^{2}-{ frac {1}{4}}y^{2}}$	Hyperbel

Verweise