WikiDer > Belgilangan nuqta jarayoni

Yilda matematika, a determinantal nuqta jarayoni a stoxastik nuqta jarayoni, ehtimollik taqsimoti qaysi biri sifatida tavsiflanadi aniqlovchi ba'zi funktsiyalar. Bunday jarayonlar muhim vositalar sifatida paydo bo'ladi tasodifiy matritsa nazariya, kombinatorika, fizika,^[1] va simsiz tarmoqni modellashtirish.^[2][3][4]

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle Lambda}$ bo'lishi a mahalliy ixcham Polsha makoni va ${ displaystyle mu}$ bo'lishi a Radon o'lchovi kuni ${ displaystyle Lambda}$. Shuningdek, a o'lchanadigan funktsiya K: Λ² → ℂ.

Biz buni aytamiz ${ displaystyle X}$ a determinantal nuqta jarayoni kuni ${ displaystyle Lambda}$ yadro bilan ${ displaystyle K}$ agar bu oddiy bo'lsa nuqta jarayoni kuni ${ displaystyle Lambda}$ bilan qo'shma intensivlik yoki korrelyatsiya funktsiyasi (bu uning zichligi omiliy moment o'lchovi) tomonidan berilgan

${ displaystyle rho _ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = det [K (x_ {i}, x_ {j})] _ {1 leq i, j leq n}}$

har bir kishi uchun n ≥ 1 va x₁, . . . , x_n ∈ Λ.^[5]

Xususiyatlari

Mavjudlik

Intensivligi r bo'lgan determinantal tasodifiy nuqta jarayonining mavjudligi uchun quyidagi ikkita shart zarur va etarli_k.

• Simmetriya: r_k harakati ostida o'zgarmasdir nosimmetrik guruh S_k. Shunday qilib:

${ displaystyle rho _ {k} (x _ { sigma (1)}, ldots, x _ { sigma (k)}) = rho _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k }) S_ {k}, k} da quad forall sigma$

• Ijobiy: har qanday kishi uchun Nva har qanday o'lchovli, chegaralangan funktsiyalar to'plami φ_k:Λ^k → ℝ, k = 1,. . . ,N bilan ixcham qo'llab-quvvatlash:

Agar

${ displaystyle quad varphi _ {0} + sum _ {k = 1} ^ {N} sum _ {i_ {1} neq cdots neq i_ {k}} varphi _ {k} ( x_ {i_ {1}} ldots x_ {i_ {k}}) geq 0 { text {for all}} k, (x_ {i}) _ {i = 1} ^ {k}}$

Keyin

${ displaystyle quad varphi _ {0} + sum _ {k = 1} ^ {N} int _ { Lambda ^ {k}} varphi _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) rho _ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) , { textrm {d}} x_ {1} cdots { textrm {d}} x_ {k } geq 0 { text {barchasi uchun}} k, (x_ {i}) _ {i = 1} ^ {k}}$ ^[6]

O'ziga xoslik

Birgalik intensivligi bilan determinantal tasodifiy jarayonning o'ziga xosligi uchun etarli shart r_k bu

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {k!}} int _ {A ^ {k}} rho _ {k} (x_ {1) }, ldots, x_ {k}) , { textrm {d}} x_ {1} cdots { textrm {d}} x_ {k} right) ^ {- { frac {1} {k }}} = infty}$

har bir cheklangan Borel uchun A ⊆ Λ.^[6]

Misollar

Gauss unitar ansambli

Tasodifiylikning o'ziga xos qiymatlari m × m Dan olingan Hermit matritsasi Gauss unitar ansambli (GUE) bo'yicha determinantal nuqta jarayonini hosil qiladi ${ displaystyle mathbb {R}}$ yadro bilan

${ displaystyle K_ {m} (x, y) = sum _ {k = 0} ^ {m-1} psi _ {k} (x) psi _ {k} (y)}$

qayerda ${ displaystyle psi _ {k} (x)}$ bo'ladi ${ displaystyle k}$th tomonidan belgilangan osilator to'lqin funktsiyasi

${ displaystyle psi _ {k} (x) = { frac {1} { sqrt {{ sqrt {2n}} n!}}} H_ {k} (x) e ^ {- x ^ {2 } / 4}}$

va ${ displaystyle H_ {k} (x)}$ bo'ladi ${ displaystyle k}$th Hermit polinom.^[7]

Zaharlangan Plancherel o'lchovi

Zaharlangan Plancherel o'lchovi bo'limlar butun sonlar (va shuning uchun ham) Yosh diagrammalar) ni o'rganishda muhim rol o'ynaydi eng uzun o'sib boruvchi keyingi tasodifiy almashtirish. O'zgartirilgan Frobenius koordinatalarida ifodalangan tasodifiy Young diagrammasiga mos keladigan nuqta jarayoni, $ Delta $ bo'yicha aniqlanadigan nuqta jarayoni.^{[tushuntirish kerak]} + ​¹⁄₂ diskret Bessel yadrosi bilan berilgan:

${ displaystyle K (x, y) = { begin {case} { sqrt { theta}} , { dfrac {k _ {+} (| x |, | y |)} {| x | - | y |}} & { text {if}} xy> 0, [12pt] { sqrt { theta}} , { dfrac {k _ {-} (| x |, | y |)}} xy}} va { text {if}} xy <0, end {case}}}$

qayerda

${ displaystyle k _ {+} (x, y) = J_ {x - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y + { frac {1} {2 }}} (2 { sqrt { theta}}) - J_ {x + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}),}$

${ displaystyle k _ {-} (x, y) = J_ {x - { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y - { frac {1} { 2}}} (2 { sqrt { theta}}) + J_ {x + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}}) J_ {y + { frac {1} {2}}} (2 { sqrt { theta}})}$

Uchun J The Bessel funktsiyasi birinchi turdagi va po zaharlanishda ishlatiladigan o'rtacha.^[8]

Bu aniq bo'lmagan determinantal nuqta jarayoniga misol bo'lib xizmat qiladi vaHermitiyalik yadro (garchi uning ijobiy va salbiy yarim o'qi bilan chegaralanishi Hermitian bo'lsa ham).^[6]

Yagona daraxtlar

$ G $ cheklangan, yo'naltirilmagan, bog'langan bo'lsin grafik, chekka o'rnatilgan E. Aniqlang Men^e:E → ℓ²(E) quyidagicha: avval E qirralarning va har bir hosil bo'lgan yo'naltirilgan chekka uchun bir nechta o'zboshimchalik yo'nalishini tanlang e, aniqlang Men^e birlik oqimining proektsiyasi bo'lishi kerak e pastki fazosiga ℓ²(E) yulduzlar oqimidan iborat.^[9] Keyin bir xil tasodifiy yoyilgan daraxt ning G - determinantal nuqta jarayoni E, yadro bilan

${ displaystyle K (e, f) = langle I ^ {e}, I ^ {f} rangle, quad e, f in E}$.^[5]

Adabiyotlar