WikiDer > Privater Bereich

EIN eigener Raum von a lineare Transformation eines Vektorraums ist der Unterraum von diesen Vektorraum die aus allem besteht Eigenvektoren zum selben gehören Selbstachtung dieser linearen Transformation, erweitert um die Nullvektor. Zu jedem Eigenwert der linearen Transformation gibt es also einen entsprechenden Eigenraum. Dass ein Eigenraum ein linearer Unterraum ist, beruht darauf, dass jeder lineare Kombination von Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert ist auch ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert, es sei denn, diese Kombination ist der Nullvektor.

Endliche Dimension

Für die Abmessungen${displaystyle dim(W_{lambda})}$ des privaten Raums ${displaystyle W_{lambda }}$ beim Eigenwert ${ Anzeigestil Lambda }$ gilt:

${displaystyle 1leq dim(W_{lambda})leq m_{lambda}}$,

in welchem ${displaystyle m_{lambda }}$ die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts ${ Anzeigestil Lambda }$ ist, d.h. die Vielzahl von ${ Anzeigestil Lambda }$ als Wurzel der charakteristisches Polynom.

Die Dimension ${displaystyle dim(W_{lambda})}$ ist der geometrische Vielheit des Selbstwertgefühls ${ Anzeigestil Lambda }$ des quadratische Matrix was die lineare Transformation darstellt.

Die algebraische Multiplizität ist daher eine obere Schranke für die geometrische Multiplizität. Bei einfachen Eigenwerten (Multiplizität gleich 1) ist die Dimension des entsprechenden Eigenraums also immer gleich 1. Bei mehreren Eigenwerten wird die Dimension in vielen Fällen gleich der algebraischen Multiplizität sein, sie kann aber auch kleiner sein. In diesem Fall sagt man, dass der Eigenwert degenerieren ist. Es kann gezeigt werden, dass die Eigenwerte symmetrischer Matrizen niemals entartet sind, selbst wenn die algebraische Vielfachheit eines solchen Eigenwertes größer als 1 ist.

Beispiel

Die Matrix

${displaystyle { egin{bmatrix}2&-1&0/2&5&0/0&0&3end{bmatrix}}}$

hat als Eigenwerte ${Displaystil-Lambda _{1}=3}$ mit algebraischer Multiplizität 2 und ${displaystyle lambda_{2}=4}$.

Beim Eigenwert ${Displaystil-Lambda _{1}=3}$ höre die unabhängigen Eigenvektoren

${displaystyle v_{1}={ egin{bmatrix}1/-1/0end{bmatrix}}}$ und ${displaystyle v_{2}={ egin{bmatrix}0/0/1end{bmatrix}}}$

Biene ${Displaystil Lambda _{2}=4}$ hört den Eigenvektor

${displaystyle v_{3}={ egin{bmatrix}1/-2/0end{bmatrix}}}$

Beide Eigenwerte haben daher so viele linear unabhängige Eigenvektoren wie die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts. In beiden Fällen bilden sie a Base des Eigenraums dieses bestimmten Eigenwerts. Für jeden Eigenraum ist die Dimension also gleich der Multiplizität. Es gibt also keine Verschlechterung. Daraus folgt, dass es möglich ist, eine Basis des vollständigen Vektorraums zu finden, die ausschließlich aus Eigenvektoren dieser Matrix besteht. Mit anderen Worten, der Vektorraum ist der direkte Summe der einzelnen Eigenschaften.

Im Fall der Entartung hat mindestens ein Eigenraum keine Dimension gleich der Multiplizität des entsprechenden Eigenwerts. Da die Summe der Multiplizitäten immer gleich der Dimension des Vektorraums ist, wird die Summe der Dimensionen der Eigenräume diese Summe nicht erreichen. Es ist dann nicht mehr möglich, eine Basis des Vektorraums zu konstruieren, die ausschließlich aus Eigenvektoren der Matrix besteht. Dies ist beispielsweise bei der Matrix der Fall:

${displaystyle { egin{bmatrix}2&-2&0/2&6&0/0&0&3end{bmatrix}}}$

die neben einem einfachen Eigenwert von 3 auch einen doppelten Eigenwert von 4 hat. Der zu diesem letzten Eigenwert gehörende Eigenraum hat jedoch nur die Dimension gleich 1. Dieser Eigenwert ist also entartet.