WikiDer > Eykonal tenglama

The eikonal tenglama (dan.) Yunoncha εἰκών, rasm^[1][2]) a chiziqli emas qisman differentsial tenglama muammolarida duch kelgan to'lqin tarqalishi, qachon to'lqin tenglamasi yordamida yaqinlashtiriladi WKB nazariyasi. Bu olingan Maksvell tenglamalari elektromagnetika bilan bog'liq bo'lib, ular orasidagi bog'liqlikni ta'minlaydi fizik (to'lqinli) optik va geometrik (nurli) optikasi.

Eykonal tenglama shaklga ega

${displaystyle | abla u (x) | = {frac {1} {f (x)}}, to'rtinchi xin Omega}$

uchun mavzu ${displaystyle u | _ {qisman Omega} = 0}$, qayerda ${displaystyle Omega}$ bu ochiq to'plam ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ bilan o'zini yaxshi tutgan chegara, ${displaystyle f (x)}$ ijobiy qiymatlarga ega funktsiya, ${displaystyle abla}$ belgisini bildiradi gradient va ${displaystyle | cdot |}$ bo'ladi Evklid normasi. Mana, o'ng tomon ${displaystyle f (x)}$ odatda ma'lum kirish sifatida etkazib beriladi. Jismoniy jihatdan, echim ${displaystyle u (x)}$ dan sayohat qilish uchun zarur bo'lgan eng qisqa vaqt chegara ${displaystyle qisman Omega}$ ga ${displaystyle x}$ ichida ${displaystyle Omega,}$ bilan ${displaystyle f (x)}$ tezligi ${displaystyle x}$.

Qachon maxsus holatda ${displaystyle f = 1}$, hal qiladi imzolangan masofa dan ${displaystyle qisman Omega}$.^{[iqtibos kerak]}

Eykonal tenglamaning echimini taxmin qilish uchun tezkor hisoblash algoritmlaridan biri bu tez yurish usuli.

Jismoniy talqin

Doimiy eng qisqa yo'l muammolari

Eykonal tenglamaning echimi

${displaystyle left | abla u (x) ight | = {frac {1} {f (x)}} {ext {for}} xin Omega subset mathbb {R} ^ {n},}$

${displaystyle u (x) = q (x) {ext {for}} xin qisman Omega}$

sayohat qilish uchun zarur bo'lgan minimal vaqt sifatida talqin qilinishi mumkin ${displaystyle x}$ ga ${displaystyle qisman Omega}$, qayerda ${displaystyle f: {ar {Omega}} o (0, + infty)}$ bu sayohat tezligi va ${displaystyle q: qisman Omega o [0, + infty)}$ chiqish vaqti jazosi. (Shu bilan bir qatorda, bu o'ng tomonga qarab chiqish uchun minimal xarajat sifatida baholanishi mumkin ${displaystyle C (x) / f (x)}$ va ${displaystyle q}$ chiqish uchun jarima.)

Buni taxmin qilish bilan ${displaystyle abla u (x)}$ hamma nuqtalarda mavjud, buni isbotlash oson ${displaystyle u (x)}$ yordamida vaqtni maqbul boshqarish muammosiga mos keladi Bellmanning maqbullik printsipi va Teylorning kengayishi.^[3] Afsuski, bunga kafolat berilmagan ${displaystyle abla u (x)}$ hamma nuqtalarda mavjud va buni isbotlash uchun yanada zamonaviy texnikalar zarur. Bu rivojlanishiga olib keldi yopishqoqlik uchun eritmalar 1980-yillarda Per-Lui sherlari va Maykl G. Crandall,^[4] va sherlar g'alaba qozonishdi Maydonlar medali uning hissalari uchun.

Elektromagnit potentsial

Eykonal tenglamaning fizik ma'nosi formulaga bog'liq

${displaystyle mathbf {E} = -abla V,}$

qayerda ${displaystyle mathbf {E}}$ elektr maydon kuchlanishi va ${displaystyle V}$ elektr potentsiali. Suyuqlik oqimidagi tezlik potentsiali va issiqlik uzatishdagi harorat uchun o'xshash tenglama mavjud. Elektromagnit misolda ushbu tenglamaning fizik ma'nosi shundaki, mintaqadagi har qanday zaryad chiziqlarga to'g'ri burchak ostida harakatlanish uchun itariladi.^{[tushuntirish kerak]} doimiy potentsialga ega va kuchning chiziqlari bo'ylab aniqlangan maydon E vektor va zaryad belgisi.

Ray optikasi va elektromagnetizmning sababi shundaki, eikonal tenglama yuqoridagi potentsial tenglamasi bilan bir xil shakldagi ikkinchi elektromagnit formulani beradi, bu erda doimiy potentsial chizig'i doimiy faza chizig'i bilan almashtirilgan va kuch chiziqlari almashtirilgan doimiy faza chizig'idan to'g'ri burchak ostida chiqadigan normal vektorlar tomonidan. Ushbu normal vektorlarning kattaligi nisbiy o'tkazuvchanlikning kvadrat ildizi bilan berilgan. Doimiy faza chizig'ini yaqinlashayotgan yorug'lik to'lqinlaridan birining chekkasi deb hisoblash mumkin. Oddiy vektorlar - nurli optikada tushayotgan nurlar.

Hisoblash algoritmlari

Eikonal tenglamani echishning bir qancha tezkor va samarali algoritmlari 1990 yildan beri ishlab chiqilgan. Ushbu algoritmlarning aksariyati ancha oldin ishlab chiqilgan algoritmlardan foydalanadi eng qisqa yo'l muammolari salbiy bo'lmagan chekka uzunlikdagi grafikalarda.^[5] Ushbu algoritmlar nedensellik jismoniy talqin bilan ta'minlangan va odatda a yordamida domenni diskretlash mash ^[6][7][8][9] yoki muntazam panjara ^[10][11] va har bir diskretlangan nuqtada eritmani hisoblang, uchburchakli kollektorlarda elektron echimlar.^[6][7]

Setyannikidir tez yurish usuli (FMM)^[10][11] Eykonal tenglamasini echish uchun yaratilgan birinchi "tezkor va samarali" algoritm edi. Asl tavsif domenni diskretlashtirmoqda ${displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {n}}$ mantiqni aniq aks ettirib, "ma'lum" qiymatlardan kashf qilinmagan hududlarga qadar echimlarni "muntazam ravishda" o'tkazib yuboradi. Dijkstra algoritmi. Agar ${displaystyle Omega}$ diskretlangan va ega ${displaystyle M}$ Meshpoints, keyin hisoblashning murakkabligi ${displaystyle O (Mlog M)}$ qaerda ${displaystyle log}$ atama uyum (odatda ikkilik) ishlatilishidan kelib chiqadi. FMM-ga bir qator o'zgartirishlarni kiritish mumkin, chunki u yorliqlarni o'rnatish usuli sifatida tasniflanadi. Bundan tashqari, FMM domenni diskretlashtiradigan umumiy mashlarda ishlash uchun umumlashtirildi.^[6][7][8][9]

Yorliqni tuzatish usullari kabi Bellman - Ford algoritmi diskretlangan Eikonal tenglamasini echishda ham foydalanish mumkin, ko'plab ruxsat berilgan modifikatsiyalar bilan (masalan, "Avval kichik yorliqlar") ^[5][12] yoki "Katta yorliqlar oxirgi" ^[5][13]). Ikkala navbat usullari ham ishlab chiqilgan^[14] asosan Bellman-Ford algoritmining bir versiyasidir, faqat ikkita navbatdan tashqari, mahalliy ma'lumotlarga asoslanib, grid nuqtasini qaysi qatorga tayinlash kerakligini aniqlash uchun foydalaniladigan poldan foydalaniladi.

Kabi supurish algoritmlari tez supurish usuli (FSM)^[15] mos keladigan bo'lsa, Eikonal tenglamalarini echish uchun juda samarali xarakterli egri chiziqlar yo'nalishni tez-tez o'zgartirmang.^[5] Ushbu algoritmlar yorliqlarni to'g'rilaydi, ammo navbat yoki uyumdan foydalanmaydi va buning o'rniga tarmoq nuqtalarini yangilash uchun turli xil buyurtmalarni belgilaydi va yaqinlashguncha ushbu buyurtmalar orqali takrorlanadi. Tarmoq nuqtalarini "qulflash" kabi ba'zi yaxshilanishlar kiritildi^[14] tozalash paytida, agar u yangilanishni qabul qilmasa, lekin juda nozik tarmoqlarda va yuqori o'lchamdagi bo'shliqlarda har bir tarmoqdan o'tishi kerakligi sababli hali ham katta xarajat mavjud. Parallel usullar kiritildi, ular domenni parchalashga va har bir ajralgan kichik to'plamda supurishni amalga oshirishga urinishdi. Zhaoning parallel ravishda amalga oshirilishi domenni parchalaydi ${displaystyle n}$- o'lchovli pastki to'plamlar va keyin har bir kichik to'plamda individual FSM ishlaydi.^[16] Dextrixhe-ning parallel ravishda amalga oshirilishi, shuningdek, domenni buzadi, lekin har bir tozalashni parallel qiladi, shunda protsessorlar grid nuqtalarini yangilash uchun javobgardir. ${displaystyle (n-1)}$- o'lchovli giperplane butun domen to'liq supurilguncha.^[17]

Gibrid usullar FMM samaradorligidan FSM soddaligi bilan foydalanadigan, shuningdek, joriy qilingan. Masalan, Heap Cell Method (HCM) domenni hujayralarga ajratadi va hujayra domenida FMMni bajaradi va har safar "hujayra" yangilanib turganda FSM shu hujayra ichida joylashgan mahalliy tarmoq nuqtasi domenida bajariladi.^[5] HCM ning parallellashtirilgan versiyasi ham ishlab chiqilgan.^[18]

Raqamli yaqinlashish

Oddiylik uchun buni taxmin qiling ${displaystyle Omega}$ intervalgacha bo'lgan bir xil katakka ajratilgan ${displaystyle h}$.

Dekart panjarasida 2 o'lchovli yaqinlashish

Tarmoq nuqtasi deb taxmin qiling ${displaystyle x_ {ij}}$ qiymatga ega ${displaystyle U_ {ij} = U (x_ {ij}) u (x_ {ij})}$. Qisman hosilalarni taxmin qilishning birinchi tartibli sxemasi

${displaystyle max chap (D_ {ij} ^ {- x} U, -D_ {ij} ^ {+ x} U, 0ight) ^ {2} + max chap (D_ {ij} ^ {- y} U, - D_ {ij} ^ {+ y} U, 0ight) ^ {2} = {frac {1} {f_ {ij} ^ {2}}}}$

qayerda

${displaystyle u_ {x} (x_ {ij}) taxminan D_ {ij} ^ {pm x} U = {frac {U_ {ipm 1, j} -U_ {ij}} {pm h}} quad {ext {va }} to'rtinchi u_ {y} (x_ {ij}) taxminan D_ {ij} ^ {pm y} U = {frac {U_ {i, jpm 1} -U_ {ij}} {pm h}}.}$

Ushbu diskretizatsiyaning izchil, monoton va nedensel xususiyatlari tufayli^[5] buni ko'rsatib berish oson ${displaystyle U_ {H} = min (U_ {i-1, j}, U_ {i + 1, j})}$ va ${displaystyle U_ {V} = min (U_ {i, j-1}, U_ {i, j + 1})}$ va ${displaystyle | U_ {H} -U_ {V} | leq h / f_ {ij}}$ keyin

${displaystyle chap ({frac {U_ {ij} -U_ {H}} {h}} ight) ^ {2} + chap ({frac {U_ {ij} -U_ {V}} {h}} ight) ^ {2} = {frac {1} {f_ {ij} ^ {2}}}}$

bu degani

${displaystyle U_ {ij} = {frac {U_ {H} + U_ {V}} {2}} + {frac {1} {2}} {sqrt {(U_ {H} + U_ {V}) ^ { 2} -2 chap (U_ {H} ^ {2} + U_ {V} ^ {2} - {frac {h ^ {2}} {f_ {ij} ^ {2}}} tun)}}.}$

Ushbu yechim har doim mavjud bo'lganda mavjud bo'ladi ${displaystyle | U_ {H} -U_ {V} | leq {sqrt {2}} h / f_ {ij}}$ mamnun va ikkalasidan ham kattaroq, ${displaystyle U_ {H}}$ va ${displaystyle U_ {V}}$, Modomiki, hamonki; sababli, uchun ${displaystyle | U_ {H} -U_ {V} | leq h / f_ {ij}}$ . Agar ${displaystyle | U_ {H} -U_ {V} | geq h / f_ {ij}}$, quyi o'lchovli yangilanishni qisman hosilalardan biri deb qabul qilish orqali amalga oshirish kerak ${displaystyle 0}$:

${displaystyle U_ {ij} = min (U_ {H}, U_ {V}) + {frac {h} {f_ {ij}}}.}$

n-Kartezian panjarasida D yaqinlashishi

Grid nuqtasi deb taxmin qiling ${displaystyle x}$ qiymatga ega ${displaystyle U = U (x) u (x)}$. Bilan bir xil qadamlarni takrorlash ${displaystyle n = 2}$ agar biz qisman hosilalarni taxmin qilish uchun birinchi tartibli sxemadan foydalansak. Ruxsat bering ${displaystyle U_ {i}}$ qo'shnilarining qiymatlari minimal bo'lishi ${displaystyle pm mathbf {e} _ {i}}$ ko'rsatmalar, qaerda ${displaystyle mathbf {e} _ {i}}$ a standart birlik bazasi vektori. Taxminan keyin bo'ladi

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} chap ({frac {U-U_ {j}} {h}} ight) ^ {2} = {frac {1} {f_ {i} ^ {2} }}.}$

Uchun bu kvadratik tenglamani echish ${displaystyle U}$ hosil:

${displaystyle U = {frac {1} {n}} sum _ {j = 1} ^ {n} U_ {j} + {frac {1} {n}} {sqrt {left (sum _ {j = 1} ^ {n} U_ {j} ight) ^ {2} -nleft (sum _ {j = 1} ^ {n} U_ {j} ^ {2} - {frac {h ^ {2}} {f_ {i } ^ {2}}} tun)}}.}$

Agar kvadrat ildizdagi diskriminant manfiy bo'lsa, unda quyi o'lchovli yangilash kerak (ya'ni qisman hosilalardan biri ${displaystyle 0}$).

Agar ${displaystyle n = 2}$ keyin bir o'lchovli yangilanishni amalga oshiring

${displaystyle U = {frac {h} {f_ {i}}} + min _ {j = 1, ldots, n} U_ {j}.}$

Agar ${displaystyle ngeq 3}$ keyin bajaring ${displaystyle n-1}$ qadriyatlardan foydalangan holda o'lchovli yangilanish ${displaystyle {U_ {1}, ldots, U_ {n}} setminus {U_ {i}}}$ har bir kishi uchun ${displaystyle i = 1, ldots, n}$ va eng kichigini tanlang.

Matematik tavsif

Ushbu bo'limda bir nechta muammolar mavjud. Iltimos yordam bering uni yaxshilang yoki ushbu masalalarni muhokama qiling munozara sahifasi. (Ushbu shablon xabarlarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Ushbu bo'lim kabi yozilgan tadqiqot qog'ozi yoki ilmiy jurnal ishlatishi mumkin haddan tashqari texnik shartlar yoki yozilmasligi mumkin entsiklopedik maqola kabi. Iltimos uni yaxshilashga yordam bering uni qayta yozish orqali entsiklopedik uslub. (2016 yil iyun) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Ushbu bo'lim aksariyat o'quvchilar tushunishi uchun juda texnik bo'lishi mumkin. Iltimos uni yaxshilashga yordam bering ga buni mutaxassis bo'lmaganlarga tushunarli qilish, texnik ma'lumotlarni olib tashlamasdan. (2016 yil iyun) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Ushbu bo'lim umumiy ro'yxatini o'z ichiga oladi ma'lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo'lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering yaxshilash ushbu bo'lim tomonidan tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2016 yil iyun) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Ushbu bo'lim ehtimol o'z ichiga oladi original tadqiqotlar. Iltimos uni yaxshilang tomonidan tasdiqlash qilingan va qo'shilgan da'volar satrda keltirilgan. Faqat asl tadqiqotlardan iborat bayonotlar olib tashlanishi kerak. (2016 yil iyun) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Eykonal tenglama bu shakllardan biridir

${displaystyle H (x, abla u (x)) = 0}$

${displaystyle u (0, x ') = u_ {0} (x'), {ext {for}} x = (x_ {1}, x ')}$

Samolyot ${displaystyle x = (0, x ')}$ haqida o'ylab, dastlabki shart deb hisoblash mumkin ${displaystyle x_ {1}}$ kabi ${displaystyle t.}$ Tenglamani ushbu tekislikning pastki qismida yoki egri yuzada aniq modifikatsiyalar bilan echishimiz mumkin.

Eykonal tenglama geometrik optikasi, bu echimlarni o'rganish usulidir to'lqin tenglamasi ${displaystyle c ^ {2} | abla _ {x} u | ^ {2} = | qisman _ {t} u | ^ {2}}$, qayerda ${displaystyle c (x)}$ va ${displaystyle u (x, t)}$. Geometrik optikada eikonal tenglama to'lqinlarning fazaviy jabhalarini tavsiflaydi. "Dastlabki" ma'lumotlar bo'yicha oqilona gipotezaga binoan, eikonal tenglama mahalliy echimni tan oladi, ammo global tekis echim (masalan, geometrik optikada hamma vaqt uchun echim) mumkin emas. Sababi shu kostik rivojlanishi mumkin. Geometrik optikada, bu to'lqinlar frontlari kesib o'tishini anglatadi.

Eikonal tenglamani xarakteristikalar usuli yordamida hal qilishimiz mumkin. Biror kishi "o'ziga xos bo'lmagan" gipotezani o'rnatishi kerak ${displaystyle kısmi _ {p_ {1}} H (x, p) tenglik 0}$ boshlang'ich giper sirt bo'ylab ${displaystyle x = (0, x ')}$, qayerda H = H(x,p) va p = (p₁,...,p_n) ∇ bilan almashtiriladigan o'zgaruvchidirsiz. Bu yerda x = (x₁,...,x_n) = (t,x′).

Birinchidan, muammoni hal qiling ${displaystyle H (x, xi (x)) = 0}$, ${displaystyle xi (x) = abla u (x), xin H}$. Bu egri chiziqlarni (va ning qiymatlarini aniqlash) amalga oshiriladi ${displaystyle xi}$ o'sha egri chiziqlar bo'yicha) kabi

${displaystyle {nuqta {x}} (s) = abla _ {xi} H (x (s), xi (s)), ;;;; {nuqta {xi}} (s) = - abla _ {x} H (x (s), xi (s)).}$

${displaystyle x (0) = x_ {0}, ;;;; xi (x (0)) = abla u (x (0)).}$ E'tibor bering, biz hal qilishimizdan oldin ham ${displaystyle u}$, bilamiz ${displaystyle abla u (x)}$ uchun ${displaystyle x = (0, x ')}$ uchun bizning tenglamamiz tufayli ${displaystyle H}$.

Ushbu tenglamalar biron bir oraliq uchun echimga ega ekanligi ${displaystyle 0leq s$ standart ODE teoremalaridan kelib chiqadi (xarakterli bo'lmagan gipotezadan foydalangan holda). Ushbu egri chiziqlar an ochiq to'plam samolyot atrofida ${displaystyle x = (0, x ')}$. Shunday qilib egri chiziqlar qiymatini belgilaydi ${displaystyle xi}$ bizning dastlabki samolyotimiz haqida ochiq to'plamda. Belgilanganidan so'ng, zanjir qoidasi yordamida ko'rish oson ${displaystyle qisman _ {s} H (x (s), xi (s)) = 0}$va shuning uchun ${displaystyle H = 0}$ bu egri chiziqlar bo'ylab.

Biz hal qilishimizni xohlaymiz ${displaystyle u}$ qondirmoq ${displaystyle abla u = xi}$, yoki aniqrog'i, har bir kishi uchun ${displaystyle s}$, ${displaystyle (abla u) (x (s)) = xi (x (s)).}$ Bir daqiqa davomida har qanday echim uchun buni mumkin deb taxmin qiling ${displaystyle u (x)}$ bizda bo'lishi kerak

${displaystyle {frac {d} {ds}} u (x (s)) = abla u (x (s)) cdot {nuqta {x}} (s) = xi cdot {frac {qisman H} {qisman xi} },}$

va shuning uchun

${displaystyle u (x (t)) = u (x (0)) + int _ {0} ^ {t} xi (x (s)) cdot {nuqta {x}} (s), ds.}$

Boshqacha qilib aytganda, echim ${displaystyle u}$ boshlang'ich tekislikning mahallasida aniq tenglama bilan beriladi. Biroq, turli xil yo'llardan beri ${displaystyle x (t)}$, turli xil boshlang'ich nuqtalardan boshlab kesib o'tishi mumkin, eritma juda qimmatga tushishi mumkin, shunda biz kostiklarni ishlab chiqdik va bizda ham (buni ko'rsatmasdan oldin ham ${displaystyle u}$ bu echim)

${displaystyle xi (x (t)) = xi (x (0)) - int _ {0} ^ {t} abla _ {x} H (x (s), xi (x (s))), ds. }$

Buni ko'rsatish kerak ${displaystyle xi}$, biz boshlang'ich tekisligimiz yaqinida aniqlaganimiz ba'zi funktsiyalarning gradyanidir ${displaystyle u}$. Agar biz vektor maydonini ko'rsatsak, bu amal qiladi ${displaystyle xi}$ jingalak emas. Ning ta'rifidagi birinchi atamani ko'rib chiqing ${displaystyle xi}$. Ushbu atama, ${displaystyle xi (x (0)) = abla u (x (0))}$ jingalakdir, chunki bu funktsiya gradienti. Boshqa muddatga kelsak, biz ta'kidlaymiz

${displaystyle {frac {qisman ^ {2}} {qisman x_ {k}, qisman x_ {j}}} H = {frac {qisman ^ {2}} {qisman x_ {j}, qisman x_ {k}}} H.}$

Natija quyidagicha.

Ilovalar

• Aniq dastur bu atmosferadagi radio to'lqinlarning susayishini hisoblash.
• Topish soyadan shakl kompyuter ko'rinishida.
• Geometrik optika
• Doimiy eng qisqa yo'l muammolari
• Rasm segmentatsiyasi
• Qattiq qo'zg'atuvchi raketa donasi shaklini o'rganish

Shuningdek qarang

• Xemilton-Jakobi-Bellman tenglamasi
• Gemilton-Jakobi tenglamasi
• Fermaning printsipi

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Parij, D. T .; Hurd, F. K. (1969). Asosiy elektromagnit nazariya. McGraw-Hill. 383-385 betlar. ISBN 0-07-048470-8.
• Arnold, V. I. (2004). Qisman differentsial tenglamalar haqida ma'ruzalar (2-nashr). Springer. 2-3 bet. ISBN 3-540-40448-1.

Tashqi havolalar

• Chiziqli eikonal tenglama
• Geynrix Bruns tomonidan "Das Eikonal" ning inglizcha tarjimasi