WikiDer > Eilenberg-Mazur firibgarligi

Yilda matematika, Eilenberg-Mazur firibgarliginomi bilan nomlangan Samuel Eilenberg va Barri Mazur, cheksiz yig'indilarning paradoksal xususiyatlarini o'z ichiga olgan isbotlash usuli. Yilda geometrik topologiya tomonidan kiritilgan Mazur (1959, 1961) va ko'pincha Mazur firibgarligi. Algebrada u Samuel Eilenberg tomonidan kiritilgan va Eilenberg firibgarligi yoki Eilenberg teleskopi (qarang teleskop summasi).

Eilenberg-Mazur firibgarligi quyidagi taniqli hazilga o'xshaydi: 1 = 0:

1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0

Ushbu "dalil" haqiqiy raqamlar bo'yicha da'vo sifatida haqiqiy emas, chunki Grandi seriyasi 1 − 1 + 1 − 1 + ... yaqinlashmaydi, ammo shunga o'xshash dalil ba'zi bir sharoitlarda ishlatilishi mumkin, agar ba'zi bir ob'ektlarda cheksiz yig'indilar mantiqiy bo'lgan "qo'shimchalar" aniqlangan bo'lsa, agar A + B = 0 keyin A = B = 0.

Mazur firibgarligi

Geometrik topologiyada qalbakilashtirishda ishlatiladigan qo'shimcha odatda ulangan sum ning tugunlar yoki manifoldlar.

Misol (Rolfsen 1990 yil, 4B bob): ning odatiy qo'llanilishi Mazur firibgarligi geometrik topologiyada isbotidir sum ikkitadan ahamiyatsiz tugunlar A va B ahamiyatsiz. Tugunlar uchun tugunlarni kichikroq va kichraytirib cheksiz summani olish mumkin, agar shunday bo'lsa A + B u holda ahamiyatsiz

${displaystyle A = A + (B + A) + (B + A) + cdots = (A + B) + (A + B) + cdots = 0,}$

shunday A ahamiyatsiz (va B shunga o'xshash dalil bilan). Tugunlarning cheksiz yig'indisi odatda a yovvoyi tugun, a uyg'un tugunQarang (Poéaru 2007 yil) ko'proq geometrik misollar uchun.

Misol: Yo'naltirilgan n-ko’p katlamlarda 0 ga teng bog’langan summa bilan berilgan qo’shish amallari mavjud n-sfera. Agar A + B bo'ladi n-sfera, keyin A + B + A + B + ... bu Evklid fazosi, shuning uchun Mazur firibgarligi ulangan yig'indisi ekanligini ko'rsatadi A va Evklid fazosi - bu buni ko'rsatadigan Evklid fazosi A Evklid makonining 1 nuqtali kompaktifikasiyasidir va shuning uchun A ga homomorfdir n-sfera. (Bu silliq manifoldlarda ko'rsatilmaydi A ga diffeomorfikdir n-sfera va ba'zi o'lchovlarda, masalan, 7, misollar mavjud ekzotik sharlar A standartga diffeomorf bo'lmagan inversiyalar bilan n-sfera.)

Eilenberg firibgarligi

Algebrada qalbakilashtirishda ishlatiladigan qo'shimcha odatda to'g'ridan-to'g'ri yig'indidir modullar ustidan uzuk.

Misol: Ning odatiy qo'llanilishi Eilenberg firibgarligi algebrada bu isbot A a proektiv modul uzuk ustidan R keyin bor bepul modul F bilan A ⊕ F ≅ F.^[1] Buni ko'rish uchun modulni tanlang B shu kabi A ⊕ B sifatida amalga oshirilishi mumkin bo'lgan bepul A proektiv va qo'yilgan

F = B ⊕ A ⊕ B ⊕ A ⊕ B ⊕ ....

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

A ⊕ F = A ⊕ (B ⊕ A) ⊕ (B ⊕ A) ⊕ ... = (A ⊕ B) ⊕ (A ⊕ B) ⊕ ... ≅ F.

Misol: (Eyzenbud 1995 yil, s.121) Komutativ halqalar ustida cheklangan ravishda yaratilgan bepul modullar R ularning o'lchamlari sifatida aniq belgilangan tabiiy songa ega bo'lib, ular to'g'ridan-to'g'ri yig'indilarga qo'shiladi va agar ular bir xil o'lchamga ega bo'lsa, izomorfik bo'ladi.Bu ba'zi bir noaniq halqalar uchun noto'g'ri va qarshi misol Eilenberg firibgarligi yordamida tuzilishi mumkin. . Ruxsat bering X abel guruhi bo'ling X ≅ X ⊕ X (masalan, har qanday nolga teng bo'lmagan abeliya guruhining cheksiz ko'p nusxalarining to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi) va bo'lsin R ning endomorfizmlari halqasi bo'ling X. Keyin chap R-modul R chap tomonga izomorfik R-modul R ⊕ R.

Misol: (Lam 2003 yil, 8.16-mashq) Agar shunday bo'lsa A va B Eilenberg firibgarligidan ring yaratish uchun foydalanish mumkin bo'lgan har qanday guruh R shunday qilib guruh jiringlaydi R[A] va R[B] izomorfik halqalar: olish R cheksiz ko'p nusxadagi cheklangan to'g'ridan-to'g'ri mahsulotning guruh halqasi bo'lish A ⨯ B.

Boshqa misollar

Ning isboti Kantor-Bernshteyn-Shreder teoremasi bu Eilenberg-Mazur firibgarligining antiqa hodisasi deb qaralishi mumkin. Aslida, g'oyalar juda o'xshash. Agar to'plamlarning in'ektsiyalari bo'lsa X ga Y va dan Y ga X, bu bizda rasmiy ravishda mavjudligini anglatadi X=Y+A va Y=X+B ba'zi to'plamlar uchun A va B, bu erda + ajratilgan birlashma degan ma'noni anglatadi va = ikkita to'plam o'rtasida biektsiya mavjudligini anglatadi. Birinchisini ikkinchisi bilan kengaytirib,

X = X + A + B.

Ushbu bijectionda, ruxsat bering Z chap tomonning elementiga mos keladigan elementlardan iborat X o'ng tomonda. Keyinchalik bu biektsiya bioektsiyaga kengayadi

X = A + B + A + B + ... + Z.

O'ng tomonni o'rniga qo'yish X yilda Y = B + X bijection beradi

Y = B + A + B + A + ... + Z.

Har bir qo'shni juftlikni almashtirish B + A hosil

Y = A + B + A + B + ... + Z.

Uchun bijectionni tuzish X uchun bijectionning teskari tomoni bilan Y keyin hosil beradi

X = Y.

Ushbu tortishuv ikki tomonga bog'liq edi A + B = B + A va A + (B + C) = (A + B) + C shuningdek, cheksiz ajralgan birlashmaning aniq belgilanishi.

Izohlar

Adabiyotlar

• Bass, Ximan (1963), "Katta proektsion modullar bepul", Illinoys matematikasi jurnali, 7: 24–31, doi:10.1215 / ijm / 1255637479, JANOB 0143789
• Eyzenbud, Devid (1995), Kommutativ algebra. Algebraik geometriya nuqtai nazaridan, Matematikadan magistrlik matnlari, 150, Nyu-York: Springer-Verlag, xvi + 785-bet, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8, JANOB 1322960
• Eklof, Pol S.; Mekler, Alan H. (2002), Deyarli bepul modullar: nazariy modellar, Elsevier, ISBN 0-444-50492-3
• Lam, Tsit-Yuen (2003), Klassik halqa nazariyasidagi mashqlar, Nyu-York, Nyu-York: Springer, ISBN 978-0-387-00500-3
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Modullar va halqalar bo'yicha ma'ruzalar, Springer, ISBN 0-387-98428-3
• Mazur, Barri (1959), "Sharsimon tugun sinflarining ayrim yarim guruhlari tuzilishi to'g'risida", Mathématiques de l'IHÉS nashrlari, 3: 19–27, doi:10.1007 / bf02684388, JANOB 0116347
• Mazur, Barri S. (1961), "Sferalarning ko'milishi to'g'risida", Acta Mathematica, 105 (1–2): 1–17, doi:10.1007 / BF02559532, JANOB 0125570
• Poéaru, Valentin (2007), - Nimadir ... cheksiz firibgarlik? (PDF), Amerika Matematik Jamiyati to'g'risida bildirishnomalar, 54 (5): 619–622, JANOB 2311984
• Rolfsen, Deyl (1990), Tugunlar va havolalar. 1976 yil asl nusxasini tuzatilgan qayta nashr etish., Matematik ma'ruzalar seriyasi, 7, Xyuston, TX: Publish or Perish, Inc., xiv + 439-bet, ISBN 0-914098-16-0, JANOB 1277811

Tashqi havolalar

• Terens Taoning ekspozitsiyasi topologiyada Mazurning firibgarligi to'g'risida