WikiDer > Ergodik oqim

Yilda matematika, ergodik oqimlar ichida sodir bo'ladi geometriya, orqali geodezik va horosikl yopiq oqimlar giperbolik yuzalar. Ushbu ikkala misol ham nazariyasi nuqtai nazaridan tushunilgan unitar vakolatxonalar ning mahalliy ixcham guruhlar: agar Γ bo'lsa asosiy guruh a yopiq sirtning diskret kichik guruhi sifatida qaraladi Mobius guruhi G = PSL (2,R), keyin geodeziya va gorotsikl oqimini kichik guruhlarning tabiiy harakatlari bilan aniqlash mumkin A haqiqiy ijobiy diagonali matritsalarning va N birlikdagi pastki birlikli matritsalarning teginish to'plami G / Γ. Ambrose-Kakutani teoremasi har bir ergodik oqimni ifoda etadigan ergodik transformatsiyadan hosil bo'lgan oqim sifatida ifodalaydi. bo'shliqni o'lchash ship funktsiyasidan foydalangan holda. Bo'lgan holatda geodezik oqim, ergodik transformatsiyani so'zlar nuqtai nazaridan tushunish mumkin ramziy dinamikasi; va chegaradagi ergodik harakatlar nuqtai nazaridan S¹ = G / AN va G / A = S¹ × S¹ diag S¹. Ergodik oqimlar, tabiiy ravishda, tasnifidagi invariantlar sifatida paydo bo'ladi fon Neyman algebralari: III turdagi omil uchun og'irliklar oqimi₀ a ergodik oqimdir bo'shliqni o'lchash.

Hedlund teoremasi: geodeziya va gorotsikl oqimlarining ergodikligi

Vakillik nazariyasidan foydalanadigan usul quyidagi ikkita natijaga asoslanadi:^[1]

• Agar G = SL (2, R) birma-bir Xilbert maydonida harakat qiladi H va ξ kichik guruh tomonidan belgilangan birlik vektoridir N keyin yuqori birlikli matritsalar ξ tomonidan belgilanadi G.
• Agar G = SL (2, R) birma-bir Xilbert maydonida harakat qiladi H va ξ kichik guruh tomonidan belgilangan birlik vektoridir A determinantning diagonal matritsalari 1, keyin ξ tomonidan belgilanadi G.

(1) Topologik makon sifatida bir hil bo'shliq X = G / N bilan aniqlanishi mumkin R² \ {0} ning standart harakati bilan G kabi 2 × 2 matritsalar. Ning kichik guruhi N ikki xil orbitaga ega: ga parallel orbitalar x-axsis bilan y ≠ 0; va nuqtalari x-aksis. Doimiy funktsiya yoqilgan X bu doimiy N-orbitlar haqiqiy o'qda boshi olib tashlangan holda doimiy bo'lishi kerak. Shunday qilib matritsa koeffitsienti ψ (x) = (xξ, ξ) qondiradi ψ (g) = 1 uchun g yilda A · N. Birlik bo'yicha, ||gξ - ξ||² = 2 - ψ (g) - ψ (g^–1) = 0, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida gξ = ξ Barcha uchun g yilda B = A · N = N · A. Endi ruxsat bering s matritsa bo'ling ${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$. Keyin, osongina tasdiqlanganidek, er-xotin koset BsB zich G; bu alohida holat Bruhat parchalanishi. Beri ξ tomonidan belgilanadi B, matritsa koeffitsienti ψ (g) doimiy yonib turadi BsB. Zichlik bo'yicha, ψ (g) = 1 Barcha uchun g yilda G. Yuqoridagi dalillar shuni ko'rsatadiki gξ = ξ Barcha uchun g yilda G.

(2) Deylik ξ tomonidan belgilanadi A. Unitar 1 parametrli guruh uchun N ≅ R, ruxsat bering P[a,b] bo'lishi spektral pastki bo'shliq intervalgacha mos keladi [a,b]. Ruxsat bering g(s) yozuvlari bilan diagonali matritsa bo'ling s va s⁻¹ uchun |s| > 1. Keyin g(s)P[a,b]g(s)⁻¹ = P[s²a, s²a]. Sifatida |s| cheksizlikka intiladi, oxirgi proektsiyalar kuchli operator topologiyasida 0 ga intiladi, agar 0< a < b yoki a < b < 0. Beri g(s) ξ = ξ, u quyidagicha P[a,b] ξ = 0 har qanday holatda ham. Spektral teorema bo'yicha shundan kelib chiqadiki ξ spektral pastki fazoda joylashgan P({0}); boshqa so'zlar bilan aytganda ξ tomonidan belgilanadi N. Ammo keyin, birinchi natijaga ko'ra, ξ tomonidan belgilanishi kerak G.

Ning klassik teoremalari Gustav Hedlund 1930-yillarning boshidan boshlab geodeziya va gorotsikl oqimlarining ixchamligiga mos keladigan ergodikligini tasdiqlaydi Riemann sirtlari doimiy salbiy egrilik. Hedlund teoremasini unitar vakolatxonalari nuqtai nazaridan qayta talqin qilish mumkin G va uning kichik guruhlari. Ruxsat bering Γ ning kokompakt kichik guruhi bo'ling PSL (2,R) = G / {±Men} buning uchun barcha skaler bo'lmagan elementlar giperbolik. Ruxsat bering X = Γ G / K qayerda K aylanishlarning kichik guruhidir ${ displaystyle { begin {pmatrix} cos theta & sin theta - sin theta & cos theta end {pmatrix}}}$. Tangens to'plami SX = Γ G, ning to'g'ri harakati bilan berilgan geodezik oqim bilan A va gorotsikl to'g'ri harakat bilan oqadi N. Agar bu ergodik bo'lsa, bu harakat L^∞(Γ G)^A = C, ya'ni tomonidan belgilangan funktsiyalar A faqat doimiy funktsiyalardir. Beri Γ G ixcham, agar shunday bo'lsa, shunday bo'ladi L²(Γ G)^A = C. Ruxsat bering H = L²(Γ G). Shunday qilib G birlikda ishlaydi H o'ngda. Nolga teng bo'lmagan har qanday narsa ξ yilda H tomonidan belgilangan A tomonidan belgilanishi kerak G, yuqoridagi ikkinchi natija bo'yicha. Ammo bu holda, agar f doimiy funktsiya G bilan ixcham qo'llab-quvvatlash ∫ f = 1, keyin ξ = ∫ f(g) gξ dg. O'ng tomon teng ξ ∗ f, doimiy funktsiya yoqilgan G. Beri ξ ostida o'zgarmasdir G, bundan kelib chiqadiki ξ talabga binoan doimiydir. Shuning uchun geodezik oqim ergodikdir. O'zgartirish A tomonidan N va yuqoridagi birinchi natijadan foydalangan holda, xuddi shu dalillar gorotsikl oqimi ergodik ekanligini ko'rsatadi.

Ambrose − Kakutani - Krengel - Kubo teoremasi

Induktsiya qilingan oqimlar

O'lchov bo'shliqlarining singular bo'lmagan qaytariluvchi transformatsiyalaridan kelib chiqadigan oqimlarning namunalari quyidagicha aniqlandi fon Neyman (1932) uning operator-nazariy yondashuvida klassik mexanika va ergodik nazariya. Ruxsat bering T ning o'ziga xos bo'lmagan o'zgarishi bo'lishiX, m) ning autom ning avtomorfizmini keltirib chiqaradi A = L^∞(X). Bu o'zgarmas o'zgarishni keltirib chiqaradi T The o'lchov maydonining id (X × R, m × m), qaerda m bu Lebesgue o'lchovidir va shuning uchun A ning avtomorfizmi τ ⊗ id ⊗ L^∞(R). Tarjima L_t oqimini belgilaydi R saqlash m va shu sababli oqim λ_t Lda^∞(R). Ruxsat bering S = L₁ mos keladigan L ning avtomorfizmi bilan^∞(R). Shunday qilib τ ⊗ σ ning avtomorfizmini beradi A ⊗ L^∞(R) oqim identifikatori ⊗ λ bilan harakatlanadigan_t. Induktsiya qilingan o'lchov maydoni Y bilan belgilanadi B = L^∞(Y) = L^∞(X × R)^{τ ⊗ σ}, funktsiyalari otomorfizm tomonidan o'rnatiladi. Bu tan oladi induktsiya qilingan oqim id the λ ning cheklanishi bilan berilgan_t ga B. Λ dan beri_t L ga ergodik tarzda harakat qiladi^∞(R), natijada oqim bilan aniqlangan funktsiyalar L bilan aniqlanishi mumkin^∞(X)^τ. Xususan, agar asl o'zgarish ergodik bo'lsa, u keltirib chiqaradigan oqim ham ergodikdir.

Shift funktsiyasi ostida qurilgan oqimlar

Induktsiya qilingan harakatni unitar operatorlar nuqtai nazaridan ham ta'riflash mumkin va aynan shu yondashuv maxsus oqimlarga, ya'ni tavan funktsiyalari ostida qurilgan oqimlarga umumlashtirishni aniqlaydi. Ruxsat bering R L bo'yicha Fourier konvertatsiyasi bo'ling²(R,m), unitar operator Rλ (t)R^∗ = V_t qaerda λ (t) tomonidan tarjima qilingan t va V_t ga ko'paytma^itx. Shunday qilib V_t Lda yotadi^∞(R). Jumladan V₁ = R S R^∗. Ship funktsiyasi h funktsiyasidir A bilan h Ph> 0 bilan ε -1, keyin esa e^ihx unitar vakolatxonasini beradi R yilda A, kuchli operator topologiyasida doimiy va shuning uchun unitar element V A ⊗ L^∞(R), L ga qarab harakat qilish²(X, m) ⊗ L²(R). Jumladan V bilan qatnov Men ⊗V_t. Shunday qilib V₁ = (Men ⊗ R^∗) V (Men ⊗ R) bilan qatnov Men Λ (t). Amal T Lda^∞(X) unitarlikni keltirib chiqaradi U Lda²(X) ning kvadrat ildizi yordamida Radon − Nikodim lotin m ∘ ning T m ga nisbatan. Induktsiya qilingan algebra B subalgebra sifatida aniqlanadi A ⊗ L^∞(R) bilan borish T ⊗ S. Induksion oqim σ_t tomonidan berilgan σ_t (b) = (Men Λ (t)) b (Men Λ (-t)).

The ship funktsiyasiga mos keladigan maxsus oqim h bazani o'zgartirish bilan T algebra bo'yicha aniqlanadi B(H) elementlari tomonidan berilgan A ⊗ L^∞(R) bilan borish (T ⊗ Men) V₁. Induktsiya qilingan oqim ship funktsiyasiga to'g'ri keladi h ≡ 1, doimiy funktsiya. Yana V₁va shuning uchun (T ⊗ Men) V₁, bilan qatnov Men Λ (t). Maxsus oqim yoqiladi B(H) tomonidan yana berilgan σ_t (b) = (Men Λ (t)) b (Men Λ (-t)). Induktsiya qilingan harakatlar bilan bir xil fikrlash shuni ko'rsatadiki, oqim bilan belgilangan funktsiyalar in funktsiyalariga to'g'ri keladi A $ phi $ bilan belgilanadi, shuning uchun maxsus oqim ergodik bo'ladi, agar asl o'ziga xos bo'lmagan o'zgarish bo'lsa T ergodik.

Hopfning parchalanishi bilan bog'liqligi

Agar S_t bu o'lchov maydonidagi ergodik oqimdir (X, m) 1 parametrli avtomorfizmlar guruhiga mos keladigan σ_t ning A = L^∞(X, m), keyin Hopfning parchalanishi yo har biri S_t bilan t ≠ 0 dissipativ yoki har bir S_t bilan t ≠ 0 konservativ hisoblanadi. Dissipativ holatda ergodik oqim tranzitiv bo'lishi kerak, shuning uchun A L bilan aniqlanishi mumkin^∞(R) Lebesgue o'lchovi ostida va R tarjima orqali harakat qilish.

Dissipativ ish bo'yicha natijani isbotlash uchun e'tibor bering A = L^∞(X, m) maksimal Abeliyadir fon Neyman algebra Hilbert fazosida harakat qiladigan L²(X, m). M ehtimollik o'lchovi ekvivalent o'zgarmas o'lchov bilan almashtirilishi mumkin va u erda proektsiya mavjud p yilda A shunday qilib σ_t(p) < p uchun t > 0 va λ (p - σ_t(p)) = t. Bunday holda σ_t(p) =E([t, ∞)) qaerda E bo'yicha proektsiyada baholanadigan o'lchovdir R. Ushbu proektsiyalar fon Neumann subalgebra hosil qiladi B ning A. Ergodiklik bilan σ_t(p) ${ displaystyle uparrow}$ 1 sifatida t −∞ ga moyil. Hilbert maydoni L²(X, λ) ning pastki bo'shliq tugashi bilan aniqlanishi mumkin f yilda A λ bilan (|f|²) <∞. Ga mos keladigan pastki bo'shliq B L bilan aniqlanishi mumkin²(R) va B L bilan^∞(R). $ Delta $ ostida o'zgarmas bo'lgani uchun S_t, u unitar vakolatxona tomonidan amalga oshiriladi U_t. Tomonidan Stoun-fon Neyman teoremasi kovariant tizim uchun B, U_t, Xilbert maydoni H = L²(X, λ) L ning parchalanishini tan oladi²(R) ⊗ ${ displaystyle ell ^ {2}}$ qayerda B va U_t faqat birinchi tensor faktorida harakat qiling. Agar element bo'lsa a ning A emas B, keyin u komutantda yotadi B ⊗ C, ya'ni B ⊗ B (${ displaystyle ell ^ {2}}$). Agar shunday bo'lsa, yozuvlar kiritilgan matritsa sifatida amalga oshiriladi B. Χ ga ko'paytirish_[r,s] yilda B, yozuvlari a Lda bo'lish mumkin^∞(R) ∩ L.¹(R). Bunday funktsiyalar uchun f, ning oddiy holati sifatida ergodik teorema o'rtacha σ_t(f) ustidan [-R,R] zaif operator topologiyasini ∫ ga yo'naltiradi f(t) dt. Shuning uchun tegishli χ_[r,s] bu elementni hosil qiladi A qaysi yotadi C ⊗ B (${ displaystyle ell ^ {2}}$) va 1 a ning ko'paytmasi emas Men. Ammo bunday element bilan ishlaydi U_t shuning uchun $ p $ bilan belgilanadi_t, ergodiklikka zid keladi. Shuning uchun A = B = L^∞(R).

Hammasi σ bo'lganda_t bilan t ≠ 0 konservativ, oqim deyiladi to'g'ri ergodik. Bunday holda, har bir nolga teng emasligi kelib chiqadi p yilda A va t ≠ 0, p ≤ σ_t (p) ∨ σ_2t (p) ∨ σ_3t (p) ∨ ⋅⋅⋅ Xususan ∨_±t>0 σ_t (p) = 1 uchun p ≠ 0.

Ambrose-Kakutani-Krengel-Kubo teoremasi

Teorema, har bir ergodik oqim ergodik asos o'zgarishiga ega bo'lgan shift funktsiyasiga mos keladigan maxsus oqim uchun izomorfdir. Agar oqim ehtimollik o'lchovini o'zgarmas qoldirsa, xuddi shu asos o'zgarishiga ham tegishli.

Oddiylik uchun faqat asl natijasi Ambrose (1941) ehtimollik o'lchovini saqlaydigan ergodik oqim holati ko'rib chiqiladi m. Ruxsat bering A = L^∞(X, m) va ruxsat bering σ_t ergodik oqim bo'ling. Oqim konservativ bo'lgani uchun, har qanday proektsiya uchun p ≠ 0, 1 dyuym A bor T 0 holda 0_T(p) ≤ p, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida (1 − p) ∧ σ_T(p) ≠ 0. Boshqa tomondan, kabi r > 0 nolga kamayadi

${ displaystyle a_ {r} = {1 over r} int _ {0} ^ {r} sigma _ {t} (p) , dt rightarrow p}$

ichida kuchli operator topologiyasi yoki unga teng ravishda zaif operator topologiyasi (bu topologiyalar birliklarga to'g'ri keladi, shuning uchun prognozlar). Darhaqiqat, agar $ Delta $ har qanday cheklangan o'lchov bo'lsa, buni ko'rsatish kifoya A, keyin ν (a_r) ν ga intiladi (p). Buning sababi shundaki f(t) = ν (σ_t(p)) ning doimiy funktsiyasidir t shuning uchun o'rtacha f [0, dan yuqorir] moyil f(0) kabi r 0 ga intiladi.^[2]

Yozib oling 0 ≤ a_r ≤ 1. Endi aniqlangan r > 0, quyidagilar Ambrose (1941), o'rnatilgan

${ displaystyle q_ {0} (r) = chi _ {[0,1 / 4]} (a_ {r}), , , , q_ {1} (r) = chi _ {[3 / 4,1]} (a_ {r}).}$

O'rnatish r = N^–1 uchun N katta va f_N = a_r. Shunday qilib 0 ≤ f_N In L ichida 1^∞(X, m) va f_N xarakterli funktsiyaga intiladi p L.da¹(X, m). Ammo keyin, agar 1/ = 1/4 bo'lsa, demak χ chiqadi_{[0, ε]}(f_N) χ ga intiladi_{[0, ε]}(p) = 1 – p L.da¹(X).^[3] Bo'linishdan foydalanish A = pA ⊕ (1 − p)A, bu 0 ≤ ekanligini isbotlashgacha kamayadi h_N In L ichida 1^∞(Y, ν) va h_N L ichida 0 ga intiladi¹(Y, ν), keyin χ_{[1, 1]}(h_N) L ichida 0 ga intiladi¹(Y, ν). Ammo bu osonlikcha amal qiladi Chebyshevning tengsizligi: haqiqatdan ham (1 ")_{[1, 1]}(h_N) ≤ h_N, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ν (χ.)_{[1, 1]}(h_N)) ≤ (1 ")⁻¹ ν (h_N), bu taxmin bo'yicha 0 ga intiladi.

Shunday qilib ta'rif bo'yicha q₀(r) ∧ q₁(r) = 0. Bundan tashqari r = N⁻¹ etarlicha kichik, q₀(r) ∧ σ_T(q₁(r))> 0. Yuqoridagi mulohazalar shuni ko'rsatadiki q₀(r) va q₁(r1 ga moyil - p va p kabi r = N⁻¹ 0 ga intiladi. Bu shuni anglatadiki q₀(r) σ_T(q₁(r)) moyil (1 - p) σ_T(p) ≠ 0, shuning uchun nolga teng emas N etarlicha katta. Ulardan birini tuzatish N va, bilan r = N⁻¹, sozlash q₀= q₀(r) va q₁= q₁(r), shuning uchun buni taxmin qilish mumkin

${ displaystyle q_ {0} wedge q_ {1} = 0, , , , , q_ {0} wedge sigma _ {T} (q_ {1})> 0.}$

Ning ta'rifi q₀ va q₁ shundan iboratki, agar that r/4 = (4N)⁻¹, keyin

${ displaystyle sigma _ {t} (q_ {0}) wedge q_ {1} = 0 , , , mathrm {for} , , , | t | leq delta.}$

Aslida agar s < t

${ displaystyle | sigma _ {t} (a_ {r}) - sigma _ {s} (a_ {r}) | _ { infty} = r ^ {- 1} left | int _ {r + s} ^ {r + t} sigma _ {x} (p) , dx- int _ {s} ^ {t} sigma _ {x} (p) , dx right | _ { infty} leq {2 | ts | over r}.}$

Qabul qiling s = 0, shuning uchun t > 0 va shunday deb taxmin qiling e = σ_t(q₀) ∧ q₁ > 0. Demak e = σ_t(f) bilan f ≤ q₀. Keyin σ_t(a_r)e = σ_t(a_rf) ≤ 1/4 e va a_re ≥ 3/4 e, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

${ displaystyle a_ {r} - sigma _ {t} (a_ {r}) geq a_ {r} e- sigma _ {t} (a_ {r}) e geq {3 dan 4} e gacha - {1 4} dan yuqori e = {1 2} dan ortiq e.}$

Shuning uchun ||a_r - σ_t(a_r)||_∞ ≥ 1/2. Boshqa tomondan ||a_r - σ_t(a_r)||_∞ yuqorida 2 bilan chegaralangant/r, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida t ≥ r/ 4. Shuning uchun σ_t(q₀) ∧ q₁ = 0 bo'lsa |t| ≤ δ.

Elementlar a_r operator normasida doimiy ravishda bog'liq r (0,1] da; yuqoridagi σ dan_t(a_r) doimiy normadir t. Ruxsat bering B₀ σ tomonidan hosil qilingan unital * -algebra operatorining normasida yopilish_t(a_r). Bu o'zgaruvchan va ajralib turadigan narsa, shuning uchun Gelfand - Neymar teoremasi, bilan aniqlanishi mumkin C(Z) qayerda Z bu uning spektr, ixcham metrik bo'shliq. Ta'rif bo'yicha B₀ ning subalgebra hisoblanadi A va uning yopilishi B zaif yoki kuchli operator topologiyasida L bilan aniqlanishi mumkin^∞(Z, m) bu erda m shuningdek, m dan to gacha cheklash uchun ishlatiladi B. Subalgebra B oqim ostida o'zgarmasdir_t, shuning uchun ergodik. Ushbu harakatni tahlil qilish B₀ va B ergodik transformatsiyani qurish uchun zarur bo'lgan barcha vositalarni beradi T va shipning funktsiyasi h. Bu birinchi navbatda amalga oshiriladi B (Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida A vaqtincha bilan mos keladi deb taxmin qilinadi B) va keyin kengaytirilgan A.^[4]

Proektsiyalar q₀ va q₁ ochiq to'plamlarning xarakterli funktsiyalariga mos keladi. X₀ va X₁ Tegishli ergodiklikning taxmin qilinishi shundan iboratki, ushbu ochiq to'plamlarning ikkalasining ostida birlashma $ Delta $ bilan tarjima qilinadi_t kabi t ijobiy yoki salbiy reallar ustida ishlaydi (ya'ni nol nolga teng). O'zgartirish X ularning kesishishi bo'yicha, ochiq to'plam, bu birlashmalar butun maydonni tugatadi deb taxmin qilish mumkin (endi ixcham o'rniga mahalliy ixcham bo'ladi). Oqim ur ning har qanday orbitasi takrorlanadigan bo'lgani uchun_t har ikkala to'plamdan ham cheksiz ko'p marta o'tadi t + ∞ yoki −∞ ga intiladi. Birinchi sehr o'rtasida X₀ va keyin X₁ f 1/2 qiymatini va keyin 3/4 ni qabul qilishi kerak. Oxirgi marta f birinchi marta 1/2 ga teng bo'lsa, u 3/4 ga teng bo'lsa, o'zgarishni o'z ichiga olishi kerak t Lipschitz davomiyligi sharti bilan kamida δ / 4. Demak, har bir orbit Ω ning to'plamini kesib o'tishi kerak x buning uchun f(x) = 1/2, f(σ_t(x0) uchun 1/2 t ≤ δ / 4 cheksiz tez-tez. Ta'rif shuni anglatadiki, orbitaga ega bo'lgan turli xil inshootlar kamida δ / 4 masofa bilan ajralib turadi, shuning uchun $ p $ har bir orbitani faqat ko'p marta kesib o'tadi va kesishmalar cheksiz katta salbiy va ijobiy paytlarda sodir bo'ladi. Shunday qilib, har bir orbit juda ko'p yarim ochiq oraliqlarga bo'linadi [r_n(x),r_n+1(x)) uzunligi kamida δ / 4 bilan r_n(xkabi ± ∞ ga intilish n ± to ga intiladi. Ushbu bo'limni normalizatsiya qilish mumkin, shunday qilib r₀(x) ≤ 0 va r₁(x)> 0. Xususan, agar x Ω ga to'g'ri keladi, keyin t₀ = 0. Funktsiya r_n(x) deyiladi nqaytish vaqti Ω ga.

Kesma a Borel to'plamidir, chunki har bir ixcham to'plamda {σ_t(x) bilan t ichida [N⁻¹, δ / 4] bilan N > 4 / δ, funktsiyasi g(t) = f(σ_t(x)) 1/2 + dan kattaroq songa ega M⁻¹ etarlicha katta butun son uchun M. Demak, Ω to'plamlarning hisoblanadigan kesishmasi sifatida yozilishi mumkin, ularning har biri yopiq to'plamlarning hisoblanadigan birlashmalari; shuning uchun $ Delta $ Borel to'plamidir. Bu, xususan, funktsiyalarni nazarda tutadi r_n Borel funktsiyalari yoqilgan X. Berilgan y Ω da, o'zgaruvchan Borel o'zgarishi T ga qarab belgilanadi S(y) = σ_t(y) qayerda t = r₁(y), birinchi qaytish vaqti Ω ga. Vazifalar r_n(y) ning Borel funktsiyalari bilan cheklang va sikl munosabatini qondiring:

${ displaystyle r_ {m + n} = r_ {m} + tau ^ {m} (r_ {n}),}$

bu erda τ indüklenen avtomorfizmdir T. The raqamni urish N_t(x) oqim uchun S_t kuni X butun son sifatida aniqlanadi N shu kabi t yotadi [r_N(x),r_N+1(x)). Bu butun sonli Borel funktsiyasidir R × X kokil aylanishini qondirish

${ displaystyle N_ {s + t} = N_ {s} + sigma _ {s} (N_ {t}).}$

Funktsiya h = r₁ $ mathbb {B} $ uchun qat'iy ijobiy Borel funktsiyasidir, shuning uchun oqim transformatsiyadan rasmiy ravishda tiklanishi mumkin T foydalanish h ship funktsiyasi. Yo'qolganlar TΩ bo'yicha o'zgarmas o'lchov klassi ikkinchi tsikl yordamida tiklanadi N_t. Darhaqiqat diskret o'lchov Z mahsulotdagi o'lchov sinfini belgilaydi Z × X va oqim S_t ikkinchi omil bo'yicha mahsulot tomonidan berilgan oqimga tarqaladi

${ displaystyle rho _ {t} (m, x) = (m + N_ {t} (x), S_ {t} (x))}.$

Xuddi shunday, asosiy transformatsiya T transformatsiyani keltirib chiqaradi R kuni R × Ω bilan belgilanadi

${ displaystyle R (s, y) = (s-h (y), T (y))}.$

Ushbu konvertatsiyalar el dan qaytariladigan Borel izomorfizmi bilan bog'liq R × Ω ustiga Z × X tomonidan belgilanadi

${ displaystyle Phi (t, y) = (N_ {t} (y), S_ {t} (y))}.$

Uning teskari Ψ dan Z × X ustiga R × Ω bilan belgilanadi

${ displaystyle Psi (m, x) = (- r _ {- m} (y), S_ {r _ {- m} (y)} y).}$

Ushbu xaritalar ostida oqim R_t tomonidan tarjima qilinadi t ning birinchi omili bo'yicha R × Ω va boshqa yo'nalishda teskari R -1 ga tarjima qilinganida amalga oshiriladi Z × X. O'lchov sinfi bo'yicha ekanligini tekshirish kifoya Z × X ba'zi ishlab chiqarish o'lchovlari bilan bir xil o'lchov sinfiga o'tadi m × ν yoqilgan R × Ω, qaerda m Lebesgue o'lchovidir va $ mathbb {G} $ - ehtimollik o'lchovidir, o'lchov sinfi o'zgarmasdir T. O'lchov klassi Z × X ostida o'zgarmasdir R, shuning uchun o'lchov sinfini belgilaydi R × Ω, birinchi omil bo'yicha tarjima ostida o'zgarmas. Boshqa tomondan, yagona o'lchov klassi R tarjima ostida o'zgarmas narsa Lebesgue o'lchovidir, shuning uchun o'lchov sinfi bo'yicha R × Ω ga teng m $ Delta $ uchun ba'zi ehtimollik o'lchovlari uchun $ times beta $. Qurilishi bo'yicha ν kvazi-o'zgarmasdir T. Ushbu konstruktsiyani echib, shundan kelib chiqadiki, asl oqim shift funktsiyasi ostida qurilgan oqimga izomorfdir h bazani o'zgartirish uchun T yoqilgan (ν, ν).^[5][6][7]

Yuqoridagi mulohaza shu taxmin bilan qilingan B = A. Umuman A o'rniga norma yopiq ajratiladigan unital * -subalgebra bilan almashtiriladi A₀o'z ichiga olgan B₀, σ ostida o'zgarmas_t va shunday σ_t(f) ning normaning uzluksiz funktsiyasi t har qanday kishi uchun f yilda A₀. Qurilish A₀, avval fon Neumann algebra uchun ishlab chiqaruvchi to'plamni oling A $ g $ ostida o'zgarmas juda ko'p proektsiyalardan hosil bo'lgan_t bilan t oqilona. Ushbu hisoblanadigan proektsiyalar to'plamining har birini o'rtacha oraliq bilan almashtiring [0,N⁻¹] ga nisbatan_t. Ushbu hosilni keltirib chiqaradigan yopiq unital * -algebra normasi A₀. Ta'rif bo'yicha u o'z ichiga oladi B₀ = C (Y). Gelfand-Naimark teoremasi bo'yicha A₀ shakli C (X). Bilan qurilish a_r Yuqorida bu erda bir xil darajada qo'llaniladi: haqiqatdan ham B₀ ning subalgebra hisoblanadi A₀, Y ning doimiy qismi X, shuning uchun kabi funktsiya a_r teng darajada yaxshi funktsiya X. Shuning uchun qurilish tugaydi mutatis mutandis ga A, kvota xaritasi orqali.

Xulosa qilib aytganda o'lchov maydoni mavjud (Y, λ) va ning ergodik harakati Z × R kuni M = L^∞(Y, λ) almashtirish harakatlari bilan berilgan τⁿ va σ_t ning τ-o'zgarmas subalgebra mavjud M izomorfik ${ displaystyle ell ^ { infty}}$(Z) ning va b-o'zgarmas subalgebra M izomorfik^∞(R). Asl ergodik oqim σ dan to gacha cheklash bilan beriladi M^τ va τ dan to ga cheklash bilan berilgan mos keladigan bazaviy transformatsiya M^σ.^[8][9]

Oqimni hisobga olgan holda, oqimni qurish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ikki xil yagona asosli o'zgarishlarning qanday bog'liqligini tasvirlash mumkin.^[10] ning harakatiga qaytish Z kuni Y, ya'ni o'zgarmas o'zgarishga aylantiriladi T_Y kuni Y. Nazariy jihatdan belgilanadi T_Y (x) deb belgilanadi T^m(x) qayerda m ≥ 1 shunday eng kichik butun son T^m(x) yotadi X. Xuddi shu jarayonni teskari tomonga qo'llashini ko'rish to'g'ri T ning teskarisini beradi T_Y. Qurilishni nazariy jihatdan quyidagicha o'lchash mumkin. Ruxsat bering e = χ_Y yilda B = L^∞(X, ν) bilan ν (e) ≠ 0. Keyin e proektsiyalarning ortogonal yig'indisi e_n quyidagicha belgilanadi:

${ displaystyle e_ {1} = e tau ^ {- 1} (e), , , e_ {2} = e (1- tau ^ {- 1} (e)) tau ^ {- 2 } (e), , , e_ {3} = e (1- tau ^ {- 1} (e)) (1- tau ^ {- 2} (e)) tau ^ {- 3} (e), ...}$

Keyin agar f yotadi e_n B, mos keladigan avtomorfizm $ phi $ dir_e(f) = τⁿ(f).

Ushbu ta'riflar bilan ikkita ergodik o'zgarish τ₁, τ₂ ning B₁ va B₂ nolga teng bo'lmagan proektsiyalar mavjud bo'lsa, xuddi shu oqimdan kelib chiqadi e₁ va e₂ yilda B₁ va B₂ tizimlar shunday (τ₁)_e1, e₁B₁ va (τ₂)_e2, e₂B₂ izomorfikdir.

Shuningdek qarang

• Anosov oqimi
• Aksioma A

Izohlar

Adabiyotlar

• fon Neyman, Jon (1932), "Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik", Matematika yilnomalari (nemis tilida), 33 (3): 587–642, doi:10.2307/1968537, JSTOR 1968537
• Morz, Marston (1966), Symbolic Dynamic haqida ma'ruzalar, 1937-1938, Rufus Oldenburgerning mimografik yozuvlari, Malaka oshirish instituti
• Xopf, Eberxard (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Leypsig Ber. Verhandl. Shaxs. Akad. Yomon., 91: 261–304
• Ambrose, Uorren (1941), "Ergodik oqimlarning vakili", Ann. matematikadan., 42: 723–739, JSTOR 1969259
• Ambrose, Uorren; Kakutani, Shizuo (1942), "O'lchanadigan oqimlarning tuzilishi va uzluksizligi", Dyuk matematikasi. J., 9: 25–42, doi:10.1215 / s0012-7094-42-00904-9
• Rohlin, V. A. (1966), "Dinamik tizimlarning metrik nazariyasidan tanlangan mavzular", Funktsional tahlil va o'lchov nazariyasi bo'yicha o'nta maqola, Amerika matematik jamiyati tarjimalari. 2-seriya, 49, Amerika matematik jamiyati, 171–240-betlar
• Fomin, Sergey V.; Gelfand, I. M. (1952), "Doimiy salbiy egrilik manifoldlarida geodezik oqimlar", Uspekhi mat. Nauk, 7 (1): 118–137
• Mautner, F. I. (1957), "Nosimmetrik Riman bo'shliqlarida geodezik oqimlar", Ann. Matematika., 65 (3): 416–431, doi:10.2307/1970054, JSTOR 1970054
• Rizz, Friglar; Sz.-Nagy, Bela (1955), Funktsional tahlil, Leo F. Boron, Frederik Ungar tomonidan tarjima qilingan
• Mur, S C. (1966), "Bir hil bo'shliqlarga oqimlarning ergodikligi", Amer. J. Matematik., 88 (1): 154–178, doi:10.2307/2373052, JSTOR 2373052
• Macki, Jorj V. (1966), "Ergodik nazariya va virtual guruhlar", Matematika. Ann., 166: 187–207, doi:10.1007 / BF01361167
• Macki, Jorj V. (1978), "Ergodik nazariya", Fizika, ehtimollik va sonlar nazariyasidagi birlik guruhlari, Matematikaning ma'ruza seriyalari, 55, Benjamin / Cummings Publishing Co, 133–142 betlar, ISBN 0805367020
• Maki, Jorj V. (1990), "Fon Neyman va Ergodik nazariyaning dastlabki kunlari", Glimmda, J .; Impagliazzo, J .; Xonanda, I. (tahr.), Jon fon Neyman merosi, Sof matematikadan simpoziumlar to'plami, 50, Amerika matematik jamiyati, 34-37 betlar, ISBN 9780821814871
• Krengel, Ulrix (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Matematika. Annalen (nemis tilida), 176 (3): 181–190, doi:10.1007 / bf02052824, S2CID 124603266
• Kubo, Izumi (1969), "Kvazi oqimlari", Nagoya matematikasi. J., 35: 1–30, doi:10.1017 / s002776300001299x
• Xau, Rojer E.; Mur, Kalvin C. (1979), "Unitar vakolatxonalarning asimptotik xususiyatlari", J. Funkt. Anal., 32: 72–96, doi:10.1016/0022-1236(79)90078-8
• Kornfeld, I. P.; Fomin, S. V.; Sinay, Ya. G. (1982), Ergodik nazariya, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 245, A. B. Sosinskiy tomonidan tarjima qilingan, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90580-4
• Zimmer, Robert J. (1984), Ergodik nazariya va yarim oddiy guruhlar, Matematikadan monografiyalar, 81, Birxauzer, ISBN 3-7643-3184-4
• Bedford, Tim; Kin, Maykl; Seriyalar, Karolayn, nashrlar. (1991), Ergodik nazariya, ramziy dinamikasi va giperbolik bo'shliqlar, Oksford universiteti matbuoti, ISBN 019853390X
• Adams, Shotlandiya (2008), "Matritsa koeffitsientlarining nolga tenglashishi cheksizlikda", Guruh namoyishlari, ergodik nazariya va matematik fizika: Jorj V. Makkiga hurmat, Contemp. Matematik., 449, Amer. Matematika. Soc., 43-50 betlar
• Mur, C. C. (2008), "45 yildan keyin virtual guruhlar", Guruh namoyishlari, ergodik nazariya va matematik fizika: Jorj V. Makkiga hurmat, Contemp. Matematik., 449, Amer. Matematika. Soc., 267 ~ 300 betlar
• Pedersen, Gert K. (1979), C^∗-algebralar va ularning avtomorfizm guruhlari, London Matematik Jamiyati Monografiyalari, 14, Academic Press, ISBN 0-12-549450-5
• Varadarajan, V. S. (1985), Kvant nazariyasi geometriyasi (Ikkinchi nashr), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96124-0
• Takesaki, M. (2003), Operator algebralari nazariyasi, II, Matematika fanlari entsiklopediyasi, 125, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
• Takesaki, M. (2003a), Operator algebralari nazariyasi, III, Matematika fanlari entsiklopediyasi, 127, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42913-1
• Morris, Deyv Vit (2005), Rotnerning unipotent oqimlar haqidagi teoremalari, Matematikadan Chikago ma'ruzalari, Chikago universiteti matbuoti, arXiv:matematika / 0310402, Bibcode:2003 yil ..... 10402W, ISBN 0-226-53983-0
• Nadkarni, M. G. (2013), Asosiy ergodik nazariya, Matematikadan matnlar va o'qishlar, 6 (Uchinchi tahr.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-43-4