WikiDer > Exponentieller Rückgang

Eine Menge, die eine exponentielle Abnahme zeigt. Eine größere Abnahmekonstante führt zu einer stärkeren Abnahme. Dieses Diagramm zeigt die Abnahme bei den Konstanten 25, 5, 1, 1/5 und 1/25 für x von 0 bis 4.

Eine Menge zeigt a exponentieller Rückgang, wenn die Abnahme pro Zeiteinheit proportional zum Wert ist. Mathematisch bedeutet das, dass die Derivat zum Zeitpunkt der Menge ist proportional zum Momentanwert der Menge. Die Größe ${Displaystil N}$ entspricht daher der Differentialgleichung:

${displaystyle {frac {mathrm {d} N}{mathrm {d} t}}=-lambda N}$

wobei der Proportionalitätsfaktor ${ Anzeigestil Lambda }$, die sogenannte abnehmen konstant, ein positive Zahl ist.

Die Lösung dieser Gleichung lautet:

${Displaystil N(t)=N_{0}e^{-lambda t}}$

Darin ist ${Anzeigestil N(t)}$ der Wert der Menge zu diesem Zeitpunkt ${displaystyle t}$ und ${Displaystil N_{0}=N(0)}$ der Anfangswert der Menge, d. h. der Wert zum Zeitpunkt ${Anzeigestil t=0}$. Beachten Sie, dass die exponentielle Abnahme im Wesentlichen gleich ist wie exponentielles Wachstum mit negativer relativer Wachstumsrate.

Typische Beispiele für exponentiellen Zerfall sind radioaktiver Zerfall, oder Entladen a Kondensator über ein Widerstand. Aber auch der Fall von a Drogenlevel in einem Körper, Absinken des Flüssigkeitsspiegels in einem undichten Gefäß usw.

Das gegenseitig${displaystyle 1/lambda }$ der Abnahmekonstante ${ Anzeigestil Lambda }$ ist die Dauer einer Abnahme um einen Faktor ${displaystyle e}$. Daraus ergibt sich eine typische Zeitskala für den Inkassoprozess, die je nach Prozess einen eigenen Namen haben kann. Bei instabilen Teilchen spricht man von Ablaufzeit, für instabile Atomkerne verwendet man die Zerfallszeit bezogen halbes Leben.