WikiDer > Extremumsatz

Eine stetige Funktion ${displaystyle f}$ im geschlossenen Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ mit globalem Maximum (rot) und globalem Minimum (blau)

Das Extremumsatz ist ein Theorem des Mathematikers Analyse. Es wird manchmal auch als Extremumsatz von bezeichnet Weierstraße erwähnt. Der Satz besagt, dass a kontinuierlich Funktion ${displaystyle f}$ auf der geschlossenen Intervall${Anzeigestil [a,b]}$ mindestens einmal sein Maximum und mindestens einmal sein Minimum erreicht. Das heißt, es gibt Zahlen ${Anzeigestil c,din [a,b]}$ sei so, dass für alle ${displaystyle xin[a,b]}$ gilt:

${Anzeigestil f(d)leq f(x)leq f(c)}$

Der klassische Beweis dafür lautet: das geschlossene Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ ist kompakt und somit ist das kontinuierliche Bild auch kompakt. Das Bild ist somit geschlossen und begrenzt und enthält somit sowohl sein Minimum als auch sein Maximum.

Das Extremum-Theorem wird unter anderem verwendet, um Satz von Rolle beweisen.