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Phasenraum eines dynamischen Systems mit Fokalstabilität.
(x-Achse = Position, y-Achse = Geschwindigkeit)

Phasenraum der Duffing-Oszillator.
(x-Achse = Position, y-Achse = Geschwindigkeit)

Die theoretische Mechanik verwendet das Konzept Phasenraum um die Platz aller möglichen Kombinationen von Platz und Impuls oder um Geschwindigkeit oder Bewegungszustände eines mechanischen Systems zu modellieren. Der Begriff wurde erstmals in der Statistische Mechanik, durch Willard Gibbs im 1901.

Rechenschaftspflicht

Die Grundgesetze der Mechanik, beide in ihrer ursprünglichen Formulierung von Isaac Newton wie in den späteren Verallgemeinerungen von Joseph-Louis Lagrange und William Rowan Hamilton, stellen in einer Bewegungsgleichung eine Beziehung zwischen dem Zustand eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt her, zum Beispiel der Positionen von Himmelskörpern und deren Impuls (oder ihre Beschleunigung) aufgrund ihrer gegenseitigen Interaktion. Die Verallgemeinerungen von Lagrange und Hamilton gelten für Mittelwerte von Orten, Impulsen und kinetischen Energien von Mengen, in der statistischen Mechanik Ensembles genannt, von sehr großen Mengen von Teilchen, wobei Newtons Formulierung für nur wenige Teilchen, also nur zwei oder drei Teilchen gültig.

Mathematisch geht das Lagrange-Formalismus hat die Form eines Systems von Differentialgleichung zweiter Ordnung. In der Theorie der Differentialgleichungssysteme gibt es eine Standardtechnik zur Reduzierung der Ordnung: Einführung neuer Zustandsgrößen, die gleich den ersten Ableitungen der bestehenden Zustandsgrößen sind. Dann entsteht durch Auswechslung ein neues System von doppelt so vielen Differentialgleichungen eine Ordnung niedriger. In der Mechanik ist die Derivat von einer Position zu einer Zeit eine Geschwindigkeit. So entstehen die Bewegungsgleichungen von Hamilton. Die Bewegung des Systems wird dann vollständig durch vektorielle Differentialgleichungen erster Ordnung im Phasenraum erfasst.

Das Phasenraum ist der mehrdimensionale Raum, dessen jeder Punkt eine Kombination von Positionen und Impulsen (Impuls = Masse x Geschwindigkeit) oder Geschwindigkeiten für alle Freiheitsgrade darstellt.

Beispiel

Das eindimensionale harmonische Bewegung eines Gewichts an einer Feder wird durch eine Kraft gelenkt F(x), proportional zur Auslenkung X der Feder in Bezug auf die Ruhelage (Hookes Gesetz).

${Anzeigestil F(x)=kx}$

Das Beschleunigung des Gewichts gehorcht dem Newtons zweites Gesetz.

${Anzeigestil ma=F(x)}$

Diese beiden Gesetze zusammen ergeben eine eindimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung:

${displaystyle {frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={frac {k}{m}}x}$

Wir führen jetzt eine neue Variable ${displaystyle p=mdx/dt}$ im (Impuls). Die Bewegung des Systems gehorcht dem folgenden Gleichungssystem erster Ordnung:

${displaystyle {frac {dx}{dt}}={frac {p}{m}}}$

${displaystyle {frac {dp}{dt}}=kx}$

Dies ist eine vektorielle Differentialgleichung im zweidimensionalen Phasenraum aller bestellte Paare(x, p). Das Lösungskurven sich in einem 2-dimensionalen Phasenraum befinden Ellipsen mit dem Ursprung als Zentrum. Im Allgemeinen hat der Phasenraum eines mechanischen Systems mit n Freiheitsgraden 2n Dimensionen, während der Konfigurationsraum dieses Systems hat halb so viele (n) Dimensionen.

Allgemeiner Kontext

In mechanischen Systemen mit Einschränkungen der Bewegungsmöglichkeiten hat der Phasenraum nicht immer die Struktur eines 2nein-dimensional Euklidischer Raum. Im Allgemeinen wird der Phasenraum durch eine gerade-dimensionale glatte Vielfalt mit der zusätzlichen Struktur eines geschlossenen Differentialform zweiter Ordnung, die die Kopplung zwischen Positions- und Geschwindigkeitsvariablen darstellt. Solche Sorten heißen symplektisch. Sie sind das zentrale Studienobjekt der symplektische Geometrie.

Beispiel

Die Position eines unregelmäßig geformten steifer Körper relativ zu seinem Schwerpunkt wird beschrieben durch die drei Ecken von Euler, oder genauer gesagt, durch ein Element von SO(3), die spezielle orthogonale Gruppe in drei Dimensionen, das ist die Laugengruppe der orientierungserhaltenden Rotationen des Raumes. SO(3) ist a kompakt Vielfalt, also ganz anders als im euklidischen Raum. Der Phasenraum eines solchen mechanischen Systems ist der Schlagstrahl von SO(3). Sie kann mit dem identifiziert werden kartesisches Produkt von SO(3) mit seinem LügenalgebraSO(3), der Raum von verzerrt 3×3-Matrizen.

Hamiltonian

Das Hamiltonsche Formulierung der Mechanik basiert auf einer Energiefunktion oder einem Hamilton-Operator H(x,p,t) die von allen Freiheitsgraden im Phasenraum und ggf. auch explizit vom Zeitparameter para . abhängt t. Die allgemeinen Bewegungsgleichungen lauten:

${displaystyle {frac {dx}{dt}}={frac {partial H}{partial p}}}$

${displaystyle {frac {dp}{dt}}=-{frac {partial H}{partial x}}}$

Ein häufiger Fall ist, dass die Energie die Summe der kinetischen Energie ist (kinetische Energie) und eine statische, also zeitunabhängige Energie des Ortes (potenzielle Energie) :

${Anzeigestil H(x,p)={frac {p^{2}}{2m}} V(x)}$

Folgen Sie daraus Newtons klassische Bewegungsgleichungen indem man die Kraft negativ gleichsetzt Gradient der potentiellen Energie:

${Anzeigestil F(x)=-abla V}$

Bewegung auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit

Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen können sein: symplektische Vielfalt unabhängig von der Unterscheidung zwischen Orts- und Impulskoordinaten mit der symplektischen Differentialform . formuliert werden w und der externe Ableitung der Hamiltonschen Energiefunktion.

${displaystyle wleft({frac {d{mathbf {x} }}{dt}},.ight)=dH}$

In diesem gibt X nicht nur die momentane Position des Systems, sondern eine abstrakte Kombination von momentanen Positionen und Impulsen.

Statistische Verteilung

In dem klassische Mechanik sucht nach exakten Trajektorien eines mechanischen Systems durch den Phasenraum. Die Anzahl der Dimensionen dieses Phasenraums ist gleich der Zahl Freiheitsgrade vom System. In dem Statistische Thermodynamik, auch Statistische Mechanik genannt, ist wegen der enormen Zahl sich unabhängig bewegender Körper (Moleküle, Atome oder Elementarteilchen) viel zu groß, um exakte Flugbahnen zu berechnen. Auf quantenmechanische Ebene es ist sogar ein wesentliches Merkmal, dass die Flugbahn eines einzelnen Teilchens (zum Beispiel des Elektrons in einem Atom) nicht genau bestimmt werden kann. EIN Wahrscheinlichkeitsverteilung von a Ensemble mechanischer Systeme im Phasenraum übernimmt die Rolle einer exakten Trajektorie.