WikiDer > Feynman parametrlanishi

Feynman parametrlanishi baholash texnikasi halqa integrallari kelib chiqadi Feynman diagrammalari bir yoki bir nechta ilmoq bilan. Biroq, ba'zida bu sohalarda birlashishda foydalidir sof matematika shuningdek.

Formulalar

Richard Feynman quyidagilarni kuzatdi:

${ displaystyle { frac {1} {AB}} = int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA + (1-u) B right] ^ {2}}} }$

har qanday murakkab sonlar uchun amal qiladi A va B 0 chiziqli segmentga ulanmasa A va B. Formula quyidagi kabi integrallarni baholashga yordam beradi:

${ displaystyle int { frac {dp} {A (p) B (p)}} = int dp int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA (p) + (1-u) B (p) o'ng] ^ {2}}} = int _ {0} ^ {1} du int { frac {dp} { left [uA (p) + (1 -u) B (p) o'ng] ^ {2}}}.}$

Agar A (p) va B (p) ning chiziqli funktsiyalari p, keyin oxirgi integralni almashtirish yordamida baholash mumkin.

Umuman olganda Dirac delta funktsiyasi ${ displaystyle delta}$:^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} & = (n-1)! int _ {0} ^ {1} du_ {1} cdots int _ {0} ^ {1} du_ {n} { frac { delta (1- sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k}) ;} { left ( sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} A_ {k} right) ^ {n}}} & = (n-1)! int _ {0} ^ {1} du_ { 1} int _ {0} ^ {u_ {1}} du_ {2} cdots int _ {0} ^ {u_ {n-2}} du_ {n-1} { frac {1} { chapga [A_ {1} + u_ {1} (A_ {2} -A_ {1}) + nuqta + u_ {n-1} (A_ {n} -A_ {n-1}) o'ngga] ^ { n}}}. end {hizalangan}}}$

Ushbu formula har qanday murakkab sonlar uchun amal qiladi A₁,...,A_n 0 ularning tarkibida bo'lmasa qavariq korpus.

Umuman olganda, bu shart bilan ${ displaystyle { text {Re}} ( alpha _ {j})> 0}$ Barcha uchun ${ displaystyle 1 leq j leq n}$:

${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots A_ {n} ^ { alpha _ {n}}}} = { frac { Gamma ( alpha _ {1} + nuqta + alfa _ {n})} { Gamma ( alfa _ {1}) cdots Gamma ( alfa _ {n})}} int _ {0} ^ {1 } du_ {1} cdots int _ {0} ^ {1} du_ {n} { frac { delta (1- sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k}) ; u_ {1} ^ { alfa _ {1} -1} cdots u_ {n} ^ { alfa _ {n} -1}} { left ( sum _ {k = 1} ^ {n} u_ { k} A_ {k} o'ng) ^ { sum _ {k = 1} ^ {n} alfa _ {k}}}}}$

qaerda Gamma funktsiyasi ${ displaystyle Gamma}$ ishlatilgan.^[2]

Hosil qilish

${ displaystyle { frac {1} {AB}} = { frac {1} {AB}} chap ({ frac {1} {B}} - { frac {1} {A}} o'ng ) = { frac {1} {AB}} int _ {B} ^ {A} { frac {dz} {z ^ {2}}}.}$

Endi o'rnini bosuvchi yordamida integralni chiziqli ravishda o'zgartiring,

${ displaystyle u = (z-B) / (A-B)}$ olib keladi ${ displaystyle du = dz / (A-B)}$ shunday ${ displaystyle z = uA + (1-u) B}$

va biz kerakli natijani olamiz:

${ displaystyle { frac {1} {AB}} = int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA + (1-u) B right] ^ {2}}} .}$

Ko'proq umumiy holatlarda, lotinlarni juda samarali ravishda bajarish mumkin Shvinger parametrlari. Masalan, Feynmanning parametrlangan shaklini olish uchun ${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ... A_ {n}}}}$, biz birinchi navbatda maxrajdagi barcha omillarni Shviner parametrlangan shaklida ifodalaymiz:

${ displaystyle { frac {1} {A_ {i}}} = int _ {0} ^ { infty} ds_ {i} , e ^ {- s_ {i} A_ {i}} { text {for}} i = 1, ldots, n}$

va qayta yozing,

${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = int _ {0} ^ { infty} ds_ {1} cdots int _ {0} ^ { infty } ds_ {n} exp chap (- chap (s_ {1} A_ {1} + cdots + s_ {n} A_ {n} o'ng) o'ng).}$

Keyin integral o'zgaruvchilarning quyidagi o'zgarishini amalga oshiramiz,

${ displaystyle alpha = s_ {1} + ... + s_ {n},}$

${ displaystyle alpha _ {i} = { frac {s_ {i}} {s_ {1} + cdots + s_ {n}}}; i = 1, ldots, n-1,}$

olish,

${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = int _ {0} ^ {1} d alpha _ {1} cdots d alpha _ {n-1 } int _ {0} ^ { infty} d alfa alfa ^ {n-1} exp left (- alfa left { alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alfa _ {n-1} A_ {n-1} + chap (1- alfa _ {1} - cdots - alfa _ {n-1} o'ng) A_ {n} o'ng } o'ng).}$

qayerda ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} d alfa _ {1} cdots d alpha _ {n-1}}$ mintaqa bo'yicha integratsiyani bildiradi ${ displaystyle 0 leq alpha _ {i} leq 1}$ bilan ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} alfa _ {i} leq 1}$.

Keyingi qadam ${ displaystyle alpha}$ integratsiya.

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} d alfa alfa ^ {n-1} exp (- alfa x) = { frac { qismli ^ {n-1}} { qisman (-x) ^ {n-1}}} chap ( int _ {0} ^ { infty} d alfa exp (- alfa x) o'ng) = { frac { chap (n -1 o'ng)!} {X ^ {n}}}.}$

biz aniqlagan joyda ${ displaystyle x = alfa _ {1} A_ {1} + cdots + alfa _ {n-1} A_ {n-1} + chap (1- alfa _ {1} - cdots - alfa _ {n-1} o'ng) A_ {n}.}$

Ushbu natijani o'rnini egallab, oldingi shaklga o'tamiz,

${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = chap (n-1 o'ng)! int _ {0} ^ {1} d alfa _ {1} cdots d alpha _ {n-1} { frac {1} {[ alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n-1} A_ {n-1} + chap (1- alfa _ {1} - cdots - alfa _ {n-1} o'ng) A_ {n}] ^ {n}}},}$

va qo'shimcha integralni kiritgandan so'ng, biz Feynman parametrlashining yakuniy shakliga kelamiz, ya'ni

${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} cdots A_ {n}}} = chap (n-1 o'ng)! int _ {0} ^ {1} d alfa _ {1} cdots int _ {0} ^ {1} d alfa _ {n} { frac { delta left (1- alpha _ {1} - cdots - alpha _ {n} right)} {[ alpha _ {1} A_ {1} + cdots + alpha _ {n} A_ {n}] ^ {n}}}.}$

Xuddi shu tarzda, Feynman parametrlash shaklini eng umumiy holatni olish uchun:${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ^ { alpha _ {1}} ... A_ {n} ^ { alpha _ {n}}}}}$ Bu maxrajdagi omillarning mos keladigan turli xil Shvinger parametrlash shakli bilan boshlanishi mumkin, ya'ni

${ displaystyle { frac {1} {A_ {1} ^ { alpha _ {1}}}} = { frac {1} { left ( alpha _ {1} -1 right)!}} int _ {0} ^ { infty} ds_ {1} , s_ {1} ^ { alpha _ {1} -1} e ^ {- s_ {1} A_ {1}} = { frac { 1} { Gamma ( alfa _ {1})}} { frac { qismli ^ { alfa _ {1} -1}} { qisman (-A_ {1}) ^ { alfa _ {1 } -1}}} chap ( int _ {0} ^ { infty} ds_ {1} e ^ {- s_ {1} A_ {1}} o'ng)}$

va keyin oldingi holat bo'yicha aniq davom eting.

Muqobil shakl

Parametrlashning ba'zan foydali bo'lgan muqobil shakli

${ displaystyle { frac {1} {AB}} = int _ {0} ^ { infty} { frac {d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ {2}} }.}$

Ushbu shakl o'zgaruvchilar o'zgarishi yordamida olinishi mumkin ${ displaystyle lambda = u / (1-u)}$.Bizdan foydalanishimiz mumkin mahsulot qoidasi buni ko'rsatish uchun ${ displaystyle d lambda = du / (1-u) ^ {2}}$, keyin

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {AB}} & = int _ {0} ^ {1} { frac {du} { left [uA + (1-u) B right ] ^ {2}}} & = int _ {0} ^ {1} { frac {du} {(1-u) ^ {2}}} { frac {1} { left [{ frac {u} {1-u}} A + B o'ng] ^ {2}}} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ {2}}} end {hizalanmış}}}$

Umuman olganda bizda

${ displaystyle { frac {1} {A ^ {m} B ^ {n}}} = { frac { Gamma (m + n)} { Gamma (m) Gamma (n)}} int _ {0} ^ { infty} { frac { lambda ^ {m-1} d lambda} { left [ lambda A + B right] ^ {n + m}}},}$

qayerda ${ displaystyle Gamma}$ bo'ladi gamma funktsiyasi.

Ushbu shakl chiziqli maxrajni birlashtirganda foydali bo'lishi mumkin ${ displaystyle A}$ kvadrat maxraj bilan ${ displaystyle B}$kabi og'ir kvark samarali nazariyasi (HQET).

Nosimmetrik shakl

Parametrlashning nosimmetrik shakli vaqti-vaqti bilan ishlatiladi, bu erda integral uning o'rniga intervalda bajariladi ${ displaystyle [-1,1]}$, olib boradi:

${ displaystyle { frac {1} {AB}} = 2 int _ {- 1} ^ {1} { frac {du} { left [(1 + u) A + (1-u) B right ] ^ {2}}}.}$

Adabiyotlar