WikiDer > Cardanos Formel

Das Cardanos Formel ist der mathematische Formel für die Lösung der reduzierten Form von a kubische Gleichung. Die Formel wurde erstmals 1545 im Buch erwähnt Ars magna von Girolamo Cardano (1501–1576), ein Italiener Arzt, Mathematiker und Philosoph. Die Formel wurde entdeckt von Niccol Tartaglia, und laut Cardano noch vor diesem von Scipione del Ferro. Cardanos Methode besteht darin, die allgemeine Form der kubischen Gleichung auf den Spezialfall zu reduzieren, auf den die Lösungsformel angewendet werden kann.

Es ist also eine der Formeln dafür Gleichungen lösen.

Formel

Für die reduzierte kubische Gleichung:

${Displaystil x^{3} px q=0}$

Cardanos Lösungsformel lautet:

${displaystyle x={sqrt[{3}]{{frac {-q}{2}} {sqrt {{frac {q^{2}}{4}} {frac {p^{3}}{27} }}}}} {sqrt[{3}]{{frac {-q}{2}}-{sqrt {{frac {q^{2}}{4}} {frac {p^{3}}{ 27}}}}}}}}$

Allgemeiner Fallabzug

Die allgemeine (normierte) Form der kubischen Gleichung:

${displaystyle x^{3} ax^{2} bx c=0}$

kann geschrieben werden als:

${displaystyle (x { frac {a}{3}})^{3} (b-{ frac {1}{3}}a^{2})(x { frac {a}{3}}) { frac {2}{27}}a^{3}-{ frac {1}{3}}ab c=0}$,

also in der zuvor erwähnten reduzierten Form:

${displaystyle y^{3} py q=0}$

mit:

${displaystyle y=x { frac {a}{3}}}$, ${displaystyle p=b-{ frac {1}{3}}a^{2}}$ und ${displaystyle q={ frac {2}{27}}a^{3}-{ frac {1}{3}}ab c}$

woraus die reduzierte Form der Formel folgt.

Es folgt die vollständige Formel: Auswechslung:^[1]

${displaystyle x=-{ frac {a}{3}} {sqrt[{3}]{{frac {-2a^{3} 9ab-27c}{54}} {sqrt {{left({frac {-2a ^{3} 9ab-27c}{54}}ight)}^{2}-{left({frac {a^{2}-3b}{9}}ight)}^{3}}}}}}$

${displaystyle {sqrt[{3}]{{frac {-2a^{3} 9ab-27c}{54}}-{sqrt {{left({frac {-2a^{3} 9ab-27c}{54} }ight)}^{2}-{left({frac {a^{2}-3b}{9}}ight)}^{3}}}}}}$

Umleitung

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die reduzierte Form geschrieben werden als:

${Anzeigestil x^{3} 3px-2q=0}$

Dann hat die Lösungsformel die klarere Form:

${displaystyle x={sqrt[{3}]{q {sqrt {q^{2} p^{3}}}}} {sqrt[{3}]{q-{sqrt {q^{2} p^ {3}}}}}}$

Auch hier ist zu sehen:

${displaystyle x^{3}=left(q {sqrt {q^{2} p^{3}}}ight) left(q-{sqrt {q^{2} p^{3}}}ight), ,3,{sqrt[{3}]{left(q {sqrt {q^{2} p^{3}}}ight)left(q-{sqrt {q^{2} p^{3}}} ight)}}links({sqrt[{3}]{q {sqrt {q^{2} p^{3}}}}} {sqrt[{3}]{q-{sqrt {q^{2} p^{3}}}}}Nacht)}$

So:

${displaystyle x^{3}=2q 3{sqrt[{3}]{-p^{3}}}cdot x=2q-3px}$

Die 3 Lösungen erhält man durch die Substitution ${Anzeigestil x=u v}$ unter der zusätzlichen Bedingung ${displaystyle uv=-p}$. Dann folgt:

${displaystyle 0=x^{3} 3px-2q=(uv)^{3} 3p(uv)-2q=u^{3} v^{3} 3uv(uv) 3p(uv)-2q=u^ {3} v^{3}-2q}$

Vor dem ${displaystyle u}$ und ${Anzeigestil v}$ trifft also zu ${Anzeigestil u^{3} v^{3}=2q}$ und ${displaystyle u^{3}v^{3}=-p^{3}}$.

Laut der Viète . Formeln sind dann ${displaystyle u^{3}}$ und ${Displaystil v^{3}}$ Lösungen der Gleichung:

${Anzeigestil t^{2}-2qt-p^{3}=0}$,

So:

${displaystyle u={sqrt[{3}]{q {sqrt {q^{2} p^{3}}}}}}$ und${displaystyle v={sqrt[{3}]{q-{sqrt {q^{2} p^{3}}}}}}$.

Mit ${displaystyle u}$ und ${Anzeigestil v}$ Treffen Sie auch die Paare:

${displaystyle (ue_{1},ve_{2})}$ und ${displaystyle (ue_{2},ve_{1})}$,

in welchem

${displaystyle e_{1}=-{ frac {1}{2}}(1-mathrm {i} {sqrt {3}}),e_{2}=-{ frac {1}{2}}(1 mathrm {i} {Quadrat {3}})}$

die zwei dritte PotenzWurzeln der Einheit sein.