WikiDer > To'rt gradiyent

Yilda differentsial geometriya, to'rt gradyanli (yoki 4 gradyanli) ${ displaystyle mathbf { kısalt}}$ bo'ladi to'rt vektorli analogi gradient ${ displaystyle { vec { mathbf { nabla}}}}$ dan vektor hisobi.

Yilda maxsus nisbiylik va kvant mexanikasi, to'rtta gradyan turli fizikaviy to'rt vektorlarning xususiyatlari va munosabatlarini aniqlash uchun ishlatiladi tensorlar.

Notation

Ushbu maqolada (+ − − −) metrik imzo.

SR va GR - bu qisqartmalar maxsus nisbiylik va umumiy nisbiylik navbati bilan.

(${ displaystyle c}$) belgisini bildiradi yorug'lik tezligi vakuumda.

${ displaystyle eta _ { mu nu} = operator nomi {diag} [1, -1, -1, -1]}$ yassi bo'sh vaqt metrik SR.

Fizikada to'rt vektorli ifodalarni yozishning muqobil usullari mavjud:

${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B}}$ a to'rt vektorli odatda ixchamroq va ishlatilishi mumkin bo'lgan uslub vektor yozuvlari, (masalan, ichki mahsulot "nuqta"), har doim to'rtta vektorni ko'rsatish uchun qalin katta harflar va 3 bo'shliqli vektorlarni ko'rsatish uchun qalin kichik harflar bilan, masalan. ${ displaystyle { vec { mathbf {a}}} cdot { vec { mathbf {b}}}}$. 3 fazoviy vektor qoidalarining aksariyati to'rt vektorli matematikada o'xshashlarga ega.

${ displaystyle A ^ { mu} eta _ { mu nu} B ^ { nu}}$ a Ricci hisob-kitobi ishlatadigan uslub tensor ko'rsatkichi va yanada murakkab ifodalar uchun foydalidir, ayniqsa, bir nechta indeksli tensorlarni o'z ichiga olgan, masalan ${ displaystyle F ^ { mu nu} = qismli ^ { mu} A ^ { nu} - qisman ^ { nu} A ^ { mu}}$.

Lotin tensorining ko'rsatkichi {1, 2, 3}, va 3 fazoviy vektorni ifodalaydi, masalan. ${ displaystyle A ^ {i} = (a ^ {1}, a ^ {2}, a ^ {3}) = { vec { mathbf {a}}}}$.

Yunoniston tensor ko'rsatkichi oralig'ida {0, 1, 2, 3}, va 4-vektorni ifodalaydi, masalan. ${ displaystyle A ^ { mu} = (a ^ {0}, a ^ {1}, a ^ {2}, a ^ {3}) = mathbf {A}}$.

SR fizikasida odatda ixcham aralash ishlatiladi, masalan. ${ displaystyle mathbf {A} = (a ^ {0}, { vec { mathbf {a}}})}$, qayerda ${ displaystyle a ^ {0}}$ vaqtinchalik komponentni ifodalaydi va ${ displaystyle { vec { mathbf {a}}}}$ fazoviy 3 komponentni ifodalaydi.

Da ishlatiladigan tenzor qisqarishi Minkovskiy metrikasi har ikki tomonga o'tishi mumkin (qarang Eynshteyn yozuvlari):^[1]

${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A ^ { mu} eta _ { mu nu} B ^ { nu} = A _ { nu} B ^ { nu} = A ^ { mu} B _ { mu} = sum _ { mu = 0} ^ {3} a ^ { mu} b _ { mu} = a ^ {0} b ^ {0} - sum _ {i = 1} ^ {3} a ^ {i} b ^ {i} = a ^ {0} b ^ {0} - { vec { mathbf {a}}} cdot { vec { mathbf {b}}}}$

Ta'rif

Kompakt tarzda yozilgan 4 gradyanli kovariant komponentlar to'rt vektorli va Ricci hisob-kitobi yozuvlar:^[2][3]

${ displaystyle { dfrac { qismli} { qismli X ^ { mu}}} = chap ( qisman _ {0}, qismli _ {1}, qismli _ {2}, qisman _ { 3} o'ng) = chap ( qismli _ {0}, qismli _ {i} o'ng) = chap ({ frac {1} {c}} { frac { qismli} { qisman t }}, { vec { nabla}} o'ng) = chap ({ frac { kısalt _ {t}} {c}}, { vec { nabla}} o'ng) = chap ({ frac { kısalt _ {t}} {c}}, qismli _ {x}, qismli _ {y}, qismli _ {z} o'ng) = qisman _ { mu} = {} _ {, mu}}$

The vergul yuqoridagi oxirgi qismda ${ displaystyle {} _ {, mu}}$ nazarda tutadi qisman farqlash 4-pozitsiyaga nisbatan ${ displaystyle X ^ { mu}}$.

Qarama-qarshi komponentlar:^[4][5]

${ displaystyle mathbf { kısalt} = qismli ^ { alfa} = eta ^ { alfa beta} qisman _ { beta} = chap ( qismli ^ {0}, qisman ^ {1 }, qismli ^ {2}, qismli ^ {3} o'ng) = chap ( qismli ^ {0}, qismli ^ {i} o'ng) = chap ({ frac {1} {c }} { frac { qismli} { qismli t}}, - { vec { nabla}} o'ng) = chap ({ frac { qismli _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng) = chap ({ frac { qismli _ {t}} {c}}, - qisman _ {x}, - qisman _ {y}, - qisman _ {z} o'ng)}$

Ga muqobil belgilar ${ displaystyle kısalt _ { alfa}}$ bor ${ displaystyle Box}$ va D. (garchi ${ displaystyle Box}$ shuningdek, ishora qilishi mumkin ${ displaystyle kısalt ^ { mu} qisman _ { mu}}$, d'Alembert operatori).

GR-da umumiyroqdan foydalanish kerak metrik tensor ${ displaystyle g ^ { alpha beta}}$va tensor kovariant hosilasi ${ displaystyle nabla _ { mu} = {} _ {; mu}}$, (vektor 3-gradient bilan adashtirmaslik kerak ${ displaystyle { vec { nabla}}}$).

Kovariant hosilasi ${ displaystyle nabla _ { nu}}$ 4 gradyanni o'z ichiga oladi ${ displaystyle kısalt _ { nu}}$ ortiqcha bo'sh vaqt egrilik orqali effektlar Christoffel ramzlari ${ displaystyle Gamma ^ { mu} {} _ { sigma nu}}$

The kuchli ekvivalentlik printsipi quyidagicha ifodalanishi mumkin:^[6]

"SRda tenzor yozuvida ifodalanishi mumkin bo'lgan har qanday jismoniy qonun egri bo'shliq vaqtining lokal ravishda inersial ramkasida aynan bir xil shaklga ega." SRdagi 4 gradyanli vergul (,) shunchaki GR ichida kovariant hosilasi yarim nuqta (;) ga o'zgartirildi, ikkalasi orasidagi bog'lanish bilan Christoffel ramzlari. Bu nisbiylik fizikasida "vergulga yarim yo'g'on ichak qoidasi" nomi bilan ma'lum.

Shunday qilib, masalan, agar ${ displaystyle T ^ { mu nu} {} _ {, mu} = 0}$ SRda, keyin ${ displaystyle T ^ { mu nu} {} _ {; mu} = 0}$ GR da.

(1,0) -tensor yoki 4-vektorda quyidagilar bo'ladi:^[7]

${ displaystyle nabla _ { beta} V ^ { alpha} = qismli _ { beta} V ^ { alfa} + V ^ { mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { mu beta}}$

${ displaystyle V ^ { alpha} {} _ {; beta} = V ^ { alpha} {} _ {, beta} + V ^ { mu} Gamma ^ { alpha} {} _ { mu beta}}$

(2,0) -tensorda bu shunday bo'ladi:

${ displaystyle nabla _ { nu} T ^ { mu nu} = qisman _ { nu} T ^ { mu nu} + Gamma ^ { mu} {} _ { sigma nu } T ^ { sigma nu} + Gamma ^ { nu} {} _ { sigma nu} T ^ { mu sigma}}$

${ displaystyle T ^ { mu nu} {} _ {; nu} = T ^ { mu nu} {} _ {, nu} + Gamma ^ { mu} {} _ { sigma nu} T ^ { sigma nu} + Gamma ^ { nu} {} _ { sigma nu} T ^ { mu sigma}}$

Foydalanish

4-gradyan turli xil usullarda qo'llaniladi maxsus nisbiylik (SR):

Ushbu maqola davomida formulalar tekis vaqt oralig'ida to'g'ri keladi Minkovskiy koordinatalari SR, lekin umumiy egri koordinatalari uchun o'zgartirilishi kerak umumiy nisbiylik (GR).

4-divergensiya va saqlanish qonunlarining manbai sifatida

Tafovut a vektor operatori a miqdorini beradigan imzolangan skalar maydonini hosil qiladi vektor maydoni"s manba har bir nuqtada.

Ning 4 xilligi 4-pozitsiya ${ displaystyle X ^ { mu} = (ct, { vec { mathbf {x}}})}$ beradi o'lchov ning bo'sh vaqt:

${ displaystyle mathbf { qismli} cdot mathbf {X} = qismli ^ { mu} eta _ { mu nu} X ^ { nu} = qismli _ { nu} X ^ { nu} = chap ({ frac { qismli _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng) cdot (ct, { vec {x}}) = { frac { kısalt _ {t}} {c}} (ct) + { vec { nabla}} cdot { vec {x}} = ( qismli _ {t} t) + ( qismli _ {x} x + qismli _ {y} y + qismli _ {z} z) = (1) + (3) = 4}$

Ning 4 xilligi 4 oqim zichligi ${ displaystyle J ^ { mu} = ( rho c, { vec { mathbf {j}}}) = rho _ {o} U ^ { mu} = rho _ {o} gamma ( c, { vec { mathbf {u}}}) = ( rho c, rho { vec { mathbf {u}}})}$ beradi muhofaza qilish qonuni - the zaryadni tejash:^[8]

${ displaystyle mathbf { qismli} cdot mathbf {J} = qismli ^ { mu} eta _ { mu nu} J ^ { nu} = qismli _ { nu} J ^ { nu} = chap ({ frac { qismli _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng) cdot ( rho c, { vec {j}}) = { frac { kısalt _ {t}} {c}} ( rho c) + { vec { nabla}} cdot { vec {j}} = qisman _ {t} rho + { vec { nabla}} cdot { vec {j}} = 0}$

Bu shuni anglatadiki, zaryad zichligining o'zgarishi vaqt tezligi oqim zichligining salbiy fazoviy farqlanishiga teng bo'lishi kerak ${ displaystyle kısalt _ {t} rho = - { vec { nabla}} cdot { vec {j}}}$.

Boshqacha qilib aytganda, qutidagi zaryad o'zboshimchalik bilan o'zgarishi mumkin emas, u qutiga oqim orqali kirib chiqishi kerak. Bu uzluksizlik tenglamasi.

Ning 4 xilligi 4-sonli oqim (4-chang) ${ displaystyle N ^ { mu} = (nc, { vec { mathbf {n}}}) = n_ {o} U ^ { mu} = n_ {o} gamma (c, { vec { mathbf {u}}}) = (nc, n { vec { mathbf {u}}})}$ zarralarni saqlashda ishlatiladi:^[9]

${ displaystyle mathbf { qismli} cdot mathbf {N} = qismli ^ { mu} eta _ { mu nu} N ^ { nu} = qismli _ { nu} N ^ { nu} = chap ({ frac { qismli _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng) cdot chap (nc, n { vec { mathbf { u}}} o'ng) = { frac { kısalt _ {t}} {c}} chap (nc o'ng) + { vec { nabla}} cdot n { vec { mathbf {u }}} = kısalt _ {t} n + { vec { nabla}} cdot n { vec { mathbf {u}}} = 0}$

Bu muhofaza qilish qonuni zarrachalar soni zichligi uchun, odatda barion soni zichligi kabi narsa.

Ning 4 xilligi elektromagnit 4-potentsial ${ displaystyle A ^ { mu} = chap ({ frac { phi} {c}}, { vec { mathbf {a}}} o'ng)}$ da ishlatiladi Lorenz o'lchagichining holati:^[10]

${ displaystyle mathbf { qismli} cdot mathbf {A} = qismli ^ { mu} eta _ { mu nu} A ^ { nu} = qismli _ { nu} A ^ { nu} = chap ({ frac { qismli _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng) cdot chap ({ frac { phi} {c} }, { vec {a}} right) = { frac { kısalt _ {t}} {c}} chap ({ frac { phi} {c}} o'ng) + { vec { nabla}} cdot { vec {a}} = { frac { qismli _ {t} phi} {c ^ {2}}} + { vec { nabla}} cdot { vec { a}} = 0}$

Bu $ a $ ga teng muhofaza qilish qonuni EM 4 potentsiali uchun.

Ko'ndalang izsiz 2-tensorning 4-divergensiyasi ${ displaystyle h_ {TT} ^ { mu nu}}$ zaif maydon chegarasida tortishish nurlanishini ifodalovchi (ya'ni manbadan uzoqda erkin tarqaladigan).

${ displaystyle mathbf { kısalt} cdot h_ {TT} ^ { mu nu} = qisman _ { mu} h_ {TT} ^ { mu nu} = 0}$ : Ko'ndalang holat

tortishish to'lqinlarining erkin tarqalishi uchun saqlanish tenglamasining ekvivalenti.

Ning 4 xilligi stress-energiya tensori ${ displaystyle T ^ { mu nu}}$, konservalanganlar Hozir mavjud emas bilan bog'liq bo'sh vaqt tarjimalar, SRda to'rtta saqlanish qonunini beradi:^[11]

The energiyani tejash (vaqtinchalik yo'nalish) va chiziqli impulsning saqlanishi (3 ta alohida fazoviy yo'nalish).

${ displaystyle mathbf { qismli} cdot T ^ { mu nu} = qisman _ { nu} T ^ { mu nu} = T ^ { mu nu} {} _ {, nu} = 0 ^ { mu} = (0,0,0,0)}$

Ko'pincha shunday yoziladi:

${ displaystyle kısalt _ { nu} T ^ { mu nu} = T ^ { mu nu} {} _ {, nu} = 0}$

bu erda bitta nol aslida 4 vektorli nol ekanligi tushuniladi ${ displaystyle 0 ^ { mu} = (0,0,0,0}$).

Stress-energiya tenzori saqlanganda (${ displaystyle kısalt _ { nu} T ^ { mu nu} = 0 ^ { mu}}$) uchun mukammal suyuqlik zarrachalar sonining zichligini saqlash bilan birlashtiriladi (${ displaystyle mathbf { kısalt} cdot mathbf {N} = 0}$), ikkalasi ham 4 gradiyentdan foydalanib, relyativistik Eyler tenglamalari, qaysi ichida suyuqlik mexanikasi va astrofizika ning umumlashtirilishi Eyler tenglamalari ta'sirini hisobga olgan holda maxsus nisbiylik.Bu tenglamalar, agar suyuqlik 3 fazoviy tezligi bo'lsa, klassik Eyler tenglamalariga kamayadi juda oz yorug'lik tezligidan, bosim nisbatan ancha past energiya zichligi, ikkinchisida qolgan massa zichligi ustunlik qiladi.

Yassi bo'shliqda va dekart koordinatalari yordamida, agar buni stress-energiya tenzori simmetriyasi bilan birlashtirsa, buni ko'rsatish mumkin burchak momentum (relyativistik burchak impulsi) shuningdek saqlanib qoladi:

${ displaystyle kısalt _ { nu} (x ^ { alfa} T ^ { mu nu} -x ^ { mu} T ^ { alfa nu}) = (x ^ { alfa} T ^ { mu nu} -x ^ { mu} T ^ { alfa nu}) _ {, nu} = 0 ^ { alfa mu}}$

bu erda nol aslida (2,0) -tensor nolga teng.

SR Minkovskiy metrik tensori uchun Jacobian matritsasi sifatida

The Yakobian matritsasi bo'ladi matritsa birinchi darajali qisman hosilalar a vektorli funktsiya.

4 gradyan ${ displaystyle kısmi ^ { mu}}$ bo'yicha harakat qilish 4-pozitsiya ${ displaystyle X ^ { nu}}$ SR beradi Minkovskiy maydoni metrik ${ displaystyle eta ^ { mu nu}}$:^[12]

${ displaystyle mathbf { qismli} [ mathbf {X}] = qisman ^ { mu} [X ^ { nu}] = X ^ { nu _ {,} mu} = chap ({ frac { kısalt _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng) [(ct, { vec {x}})] = = chap ({ frac { qism) _ {t}} {c}}, - qisman _ {x}, - qisman _ {y}, - qisman _ {z} o'ng) [(ct, x, y, z)],}$

${ displaystyle = { begin {bmatrix} { frac { kısalt _ {t}} {c}} ct & { frac { kısalt _ {t}} {c}} x & { frac { qismli _ { t}} {c}} y & { frac { kısalt _ {t}} {c}} z - qismli _ {x} ct & - qisman _ {x} x & - qismli _ {x} y & - kısalt _ {x} z - qisman _ {y} ct & - qisman _ {y} x & - qisman _ {y} y & - qisman _ {y} z - qisman _ {z } ct & - kısalt _ {z} x & - qisman _ {z} y & - qismli _ {z} z end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {bmatrix}} = operatorname {diag} [1, -1, -1, -1]}$

${ displaystyle mathbf { qismli} [ mathbf {X}] = eta ^ { mu nu}.}$

Minkovskiy metrikasi uchun tarkibiy qismlar ${ displaystyle [ eta ^ { mu mu}] = 1 / [ eta _ { mu mu}]}}$ {${ displaystyle mu}$ yig'ilmagan}, diagonal bo'lmagan komponentlar bilan barchasi nolga teng.

Dekart Minkovskiy metrikasi uchun bu beradi ${ displaystyle eta ^ { mu nu} = eta _ { mu nu} = operator nomi {diag} [1, -1, -1, -1]}$.

Odatda, ${ displaystyle eta _ { mu} ^ { nu} = delta _ { mu} ^ { nu} = operator nomi {diag} [1,1,1,1]}$, qayerda ${ displaystyle delta _ { mu} ^ { nu}}$ bu 4D Kronekker deltasi.

Lorents o'zgarishini aniqlash usuli sifatida

Lorents o'zgarishi tenzor shaklida quyidagicha yozilgan^[13]

${ displaystyle X ^ { mu '} = Lambda _ { nu} ^ { mu'} X ^ { nu}}$

va beri ${ displaystyle Lambda _ { nu} ^ { mu '}}$ faqat doimiylar, keyin

${ displaystyle kısmi X ^ { mu '} / qisman X ^ { nu} = Lambda _ { nu} ^ { mu'}}$

Shunday qilib, 4-gradyan ta'rifi bo'yicha

${ displaystyle kısalt _ { nu} [X ^ { mu '}] = ( qisman / qisman X ^ { nu}) [X ^ { mu'}] = qisman X ^ { mu '} / qisman X ^ { nu} = Lambda _ { nu} ^ { mu'}}$

Bu o'ziga xoslik muhim ahamiyatga ega. 4-gradyanning tarkibiy qismlari 4-vektorlarning tarkibiy qismlariga teskari tomonga qarab o'zgaradi. Demak, 4 gradiyent "arketipal" bir shakl.

Jami to'g'ri vaqt lotinining bir qismi sifatida

Ning skalar mahsuloti 4 tezlik ${ displaystyle U ^ { mu}}$ 4 gradyan bilan the beradi jami hosila munosabat bilan to'g'ri vaqt ${ displaystyle { frac {d} {d tau}}}$:^[14]

${ displaystyle mathbf {U} cdot mathbf { qismli} = U ^ { mu} eta _ { mu nu} qismli ^ { nu} = gamma (c, { vec {u }}) cdot chap ({ frac { qismli _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng) = gamma chap (c { frac { qismli _) {t}} {c}} + { vec {u}} cdot { vec { nabla}} o'ng) = gamma chap ( qismli _ {t} + { frac {dx} {dt }} kısalt _ {x} + { frac {dy} {dt}} qismli _ {y} + { frac {dz} {dt}} qisman _ {z} o'ng) = gamma { frac {d} {dt}} = { frac {d} {d tau}}}$

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} = { frac {dX ^ { mu}} {dX ^ { mu}}} { frac {d} {d tau}} = { frac {dX ^ { mu}} {d tau}} { frac {d} {dX ^ { mu}}} = U ^ { mu} kısalt _ { mu} = mathbf {U } cdot mathbf { qismli}}$

Haqiqat ${ displaystyle mathbf {U} cdot mathbf { qismli}}$ a Lorents skalar o'zgarmas ekanligini ko'rsatadi jami hosila munosabat bilan to'g'ri vaqt ${ displaystyle { frac {d} {d tau}}}$ xuddi shu kabi Lorents skalar invariantidir.

Masalan, 4 tezlik ${ displaystyle U ^ { mu}}$ ning lotinidir 4-pozitsiya ${ displaystyle X ^ { mu}}$ tegishli vaqtga nisbatan:

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} mathbf {X} = ( mathbf {U} cdot mathbf { qismli}) mathbf {X} = mathbf {U} cdot mathbf { qismli} [ mathbf {X}] = U ^ { alfa} cdot eta ^ { mu nu} = U ^ { alpha} eta _ { alpha nu} eta ^ { mu nu} = U ^ { alpha} delta _ { alpha} ^ { mu} = U ^ { mu} = mathbf {U}}$

yoki

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} mathbf {X} = gamma { frac {d} {dt}} mathbf {X} = gamma { frac {d} {dt} } (ct, { vec {x}}) = gamma left ({ frac {d} {dt}} ct, { frac {d} {dt}} { vec {x}} right) = gamma (c, { vec {u}}) = mathbf {U}}$

Yana bir misol 4-tezlanish ${ displaystyle A ^ { mu}}$ ning to'g'ri vaqtda hosilasi 4 tezlik ${ displaystyle U ^ { mu}}$:

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} mathbf {U} = ( mathbf {U} cdot mathbf { qismli}) mathbf {U} = mathbf {U} cdot mathbf { qismli} [ mathbf {U}] = U ^ { alfa} eta _ { alpha mu} qismli ^ { mu} [U ^ { nu}]}$

${ displaystyle = U ^ { alpha} eta _ { alpha mu} { begin {bmatrix} { frac { kısalt _ {t}} {c}} gamma c & { frac { qismli _ {t}} {c}} gamma { vec {u}} - { vec { nabla}} gamma c & - { vec { nabla}} gamma { vec {u}} end {bmatrix}} = U ^ { alpha} { begin {bmatrix} { frac { kısalt _ {t}} {c}} gamma c & 0 0 & { vec { nabla}} gamma { vec {u}} end {bmatrix}}}$

${ displaystyle = gamma chap (c { frac { kısalt _ {t}} {c}} gamma c, { vec {u}} cdot nabla gamma { vec {u}} o'ng) = gamma chap (c qismli _ {t} gamma, { frac {d} {dt}} [ gamma { vec {u}}] o'ng) = gamma (c { nuqta) { gamma}}, { dot { gamma}} { vec {u}} + gamma { dot { vec {u}}}) = mathbf {A}}$

yoki

${ displaystyle { frac {d} {d tau}} mathbf {U} = gamma { frac {d} {dt}} ( gamma c, gamma { vec {u}}) = gamma chap ({ frac {d} {dt}} [ gamma c], { frac {d} {dt}} [ gamma { vec {u}}] o'ng) = gamma (c { dot { gamma}}, { dot { gamma}} { vec {u}} + gamma { dot { vec {u}}}) = mathbf {A}}$

Faradey elektromagnit tensorini aniqlash va Maksvell tenglamalarini chiqarish usuli sifatida

Faradey elektromagnit tensor ${ displaystyle F ^ { mu nu}}$ - elektromagnit maydonni tavsiflovchi matematik ob'ekt bo'sh vaqt jismoniy tizim.^{[15][16][17][18][19]}

Antisimetrik tensor hosil qilish uchun 4 gradyanni qo'llagan holda quyidagilar olinadi:

${ displaystyle F ^ { mu nu} = qismli ^ { mu} A ^ { nu} - qisman ^ { nu} A ^ { mu} = { begin {bmatrix} 0 & -E_ { x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ { x} E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 end {bmatrix}}}$

qaerda:

Elektromagnit 4-potentsial ${ displaystyle A ^ { mu} = mathbf {A} = chap ({ frac { phi} {c}}, { vec { mathbf {a}}} o'ng)}$, bilan adashtirmaslik kerak 4-tezlanish ${ displaystyle mathbf {A} = gamma (c { dot { gamma}}, { dot { gamma}} { vec {u}} + gamma { dot { vec {u}} })}$

${ displaystyle phi}$ bo'ladi elektr skalar potentsialiva ${ displaystyle { vec { mathbf {a}}}}$ bo'ladi magnit 3 fazoviy vektor salohiyati.

4-gradyanni qayta qo'llagan holda va 4 oqim zichligi kabi ${ displaystyle J ^ { beta} = mathbf {J} = (c rho, { vec { mathbf {j}}})}$ ning tenzor shaklini olish mumkin Maksvell tenglamalari:

${ displaystyle kısalt _ { alfa} F ^ { alfa beta} = mu _ {o} J ^ { beta}}$

${ displaystyle kısalt _ { gamma} F _ { alfa beta} + qisman _ { alfa} F _ { beta gamma} + qismli _ { beta} F _ { gamma alfa} = 0_ { alfa beta gamma}}$

bu erda ikkinchi satr Byankining o'ziga xosligi (Jakobining o'ziga xosligi).

4 to'lqinli vektorni aniqlash usuli sifatida

A to'lqin vektori a vektor bu tasvirlashga yordam beradi to'lqin. Har qanday vektor singari u ham bor kattaligi va yo'nalishi, ikkalasi ham muhim: Uning kattaligi yoki gulchambar yoki burchakli to'lqin to'lqinning (ga teskari proportsional to'lqin uzunligi) va uning yo'nalishi odatdagidek yo'nalishidir to'lqinlarning tarqalishi

The 4-to'lqinli vektor ${ displaystyle K ^ { mu}}$ manfiy fazaning 4 gradiyenti hisoblanadi ${ displaystyle Phi}$ (yoki fazaning manfiy 4-gradienti) Minkovskiy fazosidagi to'lqinning:^[20]

${ displaystyle K ^ { mu} = mathbf {K} = chap ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} right) = mathbf { qisman} [- Phi] = - mathbf { qismli} [ Phi]}$

Bu matematik jihatdan ta'rifiga tengdir bosqich a to'lqin (yoki aniqrog'i a tekislik to'lqini):

${ displaystyle mathbf {K} cdot mathbf {X} = omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}} = - Phi}$

qaerda 4-pozitsiya ${ displaystyle mathbf {X} = (ct, { vec { mathbf {x}}})}$, ${ displaystyle omega}$ vaqtinchalik burchak chastotasi, ${ displaystyle { vec { mathbf {k}}}}$ bu fazoviy 3 fazali to'lqin vektori va ${ displaystyle Phi}$ Lorentsning skalar o'zgarmas fazasi.

${ displaystyle kısalt [ mathbf {K} cdot mathbf {X}] = qisman [ omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}} }] = chap ({ frac { qismli _ {t}} {c}}, - nabla o'ng) [ omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}}] = chap ({ frac { kısalt _ {t}} {c}} [ omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}}], - nabla [ omega t - { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}}] o'ng) = chap ({ frac { kısalt _ {t}} {c}} [ omega t], - nabla [- { vec { mathbf {k}}} cdot { vec { mathbf {x}}}] o'ng) = chap ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} o'ng) = mathbf {K}}$

samolyot to'lqini degan taxmin bilan ${ displaystyle omega}$ va ${ displaystyle { vec { mathbf {k}}}}$ ning aniq funktsiyalari emas ${ displaystyle t}$ yoki ${ displaystyle { vec { mathbf {x}}}}$

SR tekisligi to'lqinining aniq shakli ${ displaystyle Psi _ {n} ( mathbf {X})}$ quyidagicha yozilishi mumkin:^[21]

${ displaystyle Psi _ {n} ( mathbf {X}) = A_ {n} e ^ {- i ( mathbf {K_ {n}} cdot mathbf {X})} = A_ {n} e ^ {i ( Phi _ {n})}}$ qayerda ${ displaystyle A_ {n}}$ bu (ehtimol murakkab) amplituda.

Umumiy to'lqin ${ displaystyle Psi ( mathbf {X})}$ bo'lar edi superpozitsiya ko'p tekislik to'lqinlari:

${ displaystyle Psi ( mathbf {X}) = sum _ {n} [ Psi _ {n} ( mathbf {X})] = sum _ {n} [A_ {n} e ^ {- i ( mathbf {K_ {n}} cdot mathbf {X})}] = sum _ {n} [A_ {n} e ^ {i ( Phi _ {n})}]}$

Yana 4 gradyan yordamida,

${ displaystyle kısalt [ Psi ( mathbf {X})] = qisman [Ae ^ {- i ( mathbf {K} cdot mathbf {X})}] = - i mathbf {K} [ Ae ^ {- i ( mathbf {K} cdot mathbf {X})}] = - i mathbf {K} [ Psi ( mathbf {X})]}$

yoki

${ displaystyle mathbf { qismli} = -i mathbf {K}}$, bu 4 gradiyentli versiyasi murakkab qadrli tekislik to'lqinlari

D'Alembertian operatori sifatida

Maxsus nisbiylik, elektromagnetizm va to'lqinlar nazariyasida d'Alembertian yoki to'lqin operatori deb ham nomlangan d'Alembert operatori Minkovski fazosining Laplas operatori hisoblanadi. Operatorga frantsuz matematikasi va fizigi Jan le Rond d'Alembert nomi berilgan.

Ning kvadrati ${ displaystyle mathbf { kısalt}}$ bu 4-Laplasiyadeb nomlangan d'Alembert operatori:^{[22][23][24][25]}

${ displaystyle mathbf { qismli} cdot mathbf { qismli} = qisman ^ { mu} cdot qisman ^ { nu} = qisman ^ { mu} eta _ { mu nu } kısmi ^ { nu} = qismli _ { nu} qismli ^ { nu} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { qismli ^ {2}} { qisman t ^ {2}}} - { vec { nabla}} ^ {2} = chap ({ frac { kısalt _ {t}} {c}} o'ng) ^ {2} - { vec { nabla}} ^ {2}}$.

Bu kabi nuqta mahsuloti ikkita 4-vektordan, d'Alembertian a Lorents o'zgarmas skalar.

Ba'zan, 3 o'lchovli yozuvga o'xshash, belgilar ${ displaystyle Box}$ va ${ displaystyle Box ^ {2}}$ navbati bilan 4 gradyan va d'Alembertian uchun ishlatiladi. Odatda, ramz ${ displaystyle Box}$ d'Alembertian uchun saqlangan.

D'Alembertianda ishlatilgan 4 gradyanning ba'zi bir misollari quyidagicha:

In Klayn-Gordon spin-0 zarralari uchun relyativistik kvant to'lqin tenglamasi (masalan, Xiggs bozon):

${ displaystyle [( mathbf { qismli} cdot mathbf { qismli}) + chap ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} o'ng) ^ {2}] psi = [ chap ({ frac { kısalt _ {t} ^ {2}} {c ^ {2}}} - { vec { nabla}} ^ {2} o'ng) + + chap ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} o'ng) ^ {2}] psi = 0}$

In to'lqin tenglamasi uchun elektromagnit maydon {foydalanish Lorenz o'lchovi ${ displaystyle ( mathbf { qismli} cdot mathbf {A}) = ( qismli _ { mu} A ^ { mu}) = 0}$ }:

${ displaystyle ( mathbf { qismli} cdot mathbf { qismli}) mathbf {A} = mathbf {0}}$ {vakuumda}

${ displaystyle ( mathbf { qismli} cdot mathbf { qismli}) mathbf {A} = mu _ {0} mathbf {J}}$ {bilan 4-oqim spin ta'sirini hisobga olmaganda}

${ displaystyle ( mathbf { qismli} cdot mathbf { qismli}) A ^ { mu} = e { bar { psi}} gamma ^ { mu} psi}$ {bilan kvant elektrodinamikasi manba, shu jumladan spin effektlari}

qaerda:

Elektromagnit 4-potentsial ${ displaystyle mathbf {A} = A ^ { alpha} = chap ({ frac { phi} {c}}, mathbf { vec {a}} o'ng)}$ elektromagnit vektor potentsialidir

4 oqim zichligi ${ displaystyle mathbf {J} = J ^ { alpha} = ( rho c, mathbf { vec {j}})}$ oqimning elektromagnit zichligi

Dirak Gamma matritsalari ${ displaystyle gamma ^ { alpha} = ( gamma ^ {0}, gamma ^ {1}, gamma ^ {2}, gamma ^ {3})}$ spinning ta'sirini ta'minlash

In to'lqin tenglamasi a tortishish to'lqini {o'xshashidan foydalanib Lorenz o'lchovi ${ displaystyle ( kısalt _ { mu} h_ {TT} ^ { mu nu}) = 0}$ }^[26]

${ displaystyle ( mathbf { qismli} cdot mathbf { qismli}) h_ {TT} ^ { mu nu} = 0}$

qayerda ${ displaystyle h_ {TT} ^ { mu nu}}$ kuchsiz maydon chegarasida tortishish nurlanishini ifodalovchi transvers traceless 2-tensor (ya'ni manbadan uzoqda erkin tarqalish).

Qo'shimcha shartlar ${ displaystyle h_ {TT} ^ { mu nu}}$ ular:

${ displaystyle mathbf {U} cdot h_ {TT} ^ { mu nu} = h_ {TT} ^ {0 nu} = 0}$ : Sof fazoviy

${ displaystyle eta _ { mu nu} h_ {TT} ^ { mu nu} = h_ {TT nu} ^ { nu} = 0}$ : Izsiz

${ displaystyle mathbf { kısalt} cdot h_ {TT} ^ { mu nu} = qisman _ { mu} h_ {TT} ^ { mu nu} = 0}$ : Transvers

Ning 4 o'lchovli versiyasida Yashilning vazifasi:

${ displaystyle ( mathbf { qismli} cdot mathbf { qismli}) G [ mathbf {X} - mathbf {X '}] = delta ^ {(4)} [ mathbf {X} - mathbf {X '}]}$

qaerda 4D Delta funktsiyasi bu:

${ displaystyle delta ^ {(4)} [ mathbf {X}] = { frac {1} {(2 pi) ^ {4}}} int d ^ {4} mathbf {K} e ^ {- i ( mathbf {K} cdot mathbf {X})}}$

4D Gauss teoremasi / Stoks teoremasi / divergensiya teoremasining tarkibiy qismi sifatida

Yilda vektor hisobi, divergensiya teoremasi, shuningdek Gauss teoremasi yoki Ostrogradskiy teoremasi deb ham ataladi, bu oqim bilan bog'liq bo'lgan natijadir (ya'ni, oqim) ning vektor maydoni orqali sirt sirt ichidagi vektor maydonining xatti-harakatlariga. Aniqrog'i, divergentsiya teoremasi tashqi tomonni ta'kidlaydi oqim yopiq sirt orqali vektor maydonining tenglamasi hajm integral ning kelishmovchilik mintaqa bo'ylab Intuitiv ravishda, buni ta'kidlaydi barcha manbalarning yig'indisi, barcha lavabolar yig'indisi, mintaqadan chiqib ketadigan oqimni beradi. Vektorli hisoblashda va umuman, differentsial geometriyada, Stoks teoremasi (shuningdek, umumlashtirilgan Stoks teoremasi deb ataladi) - bu vektor hisobidan bir nechta teoremalarni soddalashtiradigan va umumlashtiradigan differentsial shakllarni manifoldlarga qo'shilishi haqidagi bayonot.

${ displaystyle int _ { Omega} d ^ {4} X ( qismli _ { mu} V ^ { mu}) = oint _ { qismli Omega} dS (V ^ { mu} N_ { mu})}$

yoki

${ displaystyle int _ { Omega} d ^ {4} X ( mathbf { qismli} cdot mathbf {V}) = oint _ { qismli Omega} dS ( mathbf {V} cdot mathbf {N})}$

qayerda

${ displaystyle mathbf {V} = V ^ { mu}}$ da belgilangan 4-vektorli maydon ${ displaystyle Omega}$

${ displaystyle mathbf { qismli} cdot mathbf {V} = qisman _ { mu} V ^ { mu}}$ ning 4-divergensiyasi ${ displaystyle V}$

${ displaystyle mathbf {V} cdot mathbf {N} = V ^ { mu} N _ { mu}}$ ning tarkibiy qismidir ${ displaystyle V}$ yo'nalish bo'yicha ${ displaystyle N}$

${ displaystyle Omega}$ bu Minkovskiyning 4D oddiy bog'langan mintaqasi

${ displaystyle kısalt Omega = S}$ o'zining 3D hajm elementi bilan uning 3D chegarasi ${ displaystyle dS}$

${ displaystyle mathbf {N} = N ^ { mu}}$ tashqi tomonga qarab normal holat

${ displaystyle d ^ {4} X = (c , dt) (d ^ {3} x) = (c , dt) (dx , dy , dz)}$ 4D differentsial hajm elementidir

Relativistik analitik mexanikada SR Hamilton-Jakobi tenglamasining tarkibiy qismi sifatida

The Gemilton-Jakobi tenglamasi (HJE) bu kabi boshqa formulalarga teng klassik mexanikaning formulasi Nyuton harakat qonunlari, Lagranj mexanikasi va Hamilton mexanikasi. Gemilton-Jakobi tenglamasi mexanik tizimlar uchun saqlanib qolgan miqdorlarni aniqlashda ayniqsa foydalidir, bu mexanik masalaning o'zi to'liq hal etilmasa ham mumkin. HJE shuningdek, zarrachaning harakatini to'lqin sifatida ifodalash mumkin bo'lgan mexanikaning yagona formulasidir. Shu ma'noda, HJE uzoq vaqtdan beri ko'zda tutilgan nazariy fizikani (hech bo'lmaganda 18-asrda Yoxann Bernulliga tegishli) amalga oshirib, nur tarqalishi va zarracha harakati o'rtasida o'xshashlikni topdi.

Umumlashtirilgan relyativistik impuls ${ displaystyle mathbf {P_ {T}}}$ zarrachani quyidagicha yozish mumkin^[27]

${ displaystyle mathbf {P_ {T}} = mathbf {P} + q mathbf {A}}$

qayerda ${ displaystyle mathbf {P} = chap ({ frac {E} {c}}, { vec { mathbf {p}}} o'ng)}$ va ${ displaystyle mathbf {A} = chap ({ frac { phi} {c}}, { vec { mathbf {a}}} o'ng)}$

Bu asosan 4 ta impuls ${ displaystyle mathbf {P_ {T}} = chap ({ frac {E_ {T}} {c}}, { vec { mathbf {p_ {T}}}} o'ng)}$ tizimning; a sinov zarrasi a maydon yordamida minimal ulanish qoida Zarrachaning o'ziga xos impulsi mavjud ${ displaystyle mathbf {P}}$, EM 4-vektor potentsiali bilan o'zaro ta'sir tufayli ortiqcha impuls ${ displaystyle mathbf {A}}$ zarracha zaryadi orqali ${ displaystyle q}$.

Relyativistik Gemilton-Jakobi tenglamasi umumiy impulsni ning salbiy 4 gradyaniga tenglashtirib olinadi harakat ${ displaystyle S}$.

${ displaystyle mathbf {P_ {T}} = - mathbf { qismli} [S]}$

${ displaystyle mathbf {P_ {T}} = chap ({ frac {E_ {T}} {c}}, { vec { mathbf {p_ {T}}}} o'ng) = chap ( { frac {H} {c}}, { vec { mathbf {p_ {T}}}} o'ng) = - mathbf { qismli} [S] = - chapga ({ frac { qismli) _ {t}} {c}}, - { vec { mathbf { nabla}}} o'ng) [S]}$

Vaqtinchalik komponent: ${ displaystyle E_ {T} = H = - kısalt _ {t} [S]}$

Mekansal komponentlar quyidagilarni beradi. ${ displaystyle { vec { mathbf {p_ {T}}}} = { vec { mathbf { nabla}}} [S]}$

qayerda ${ displaystyle H}$ Hamiltoniyalik.

Bu, aslida, 4-to'lqinli vektorning yuqoridan fazaning salbiy 4-gradyaniga teng bo'lishi bilan bog'liq.${ displaystyle K ^ { mu} = mathbf {K} = chap ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} o'ng) = - mathbf { qisman} [ Phi]}$

HJE-ni olish uchun birinchi navbatda Lorentz skalyar o'zgarmas qoidasidan 4-impuls bo'yicha foydalaniladi:

${ displaystyle mathbf {P} cdot mathbf {P} = (m_ {0} c) ^ {2}}$

Ammo minimal ulanish qoida:

${ displaystyle mathbf {P} = mathbf {P_ {T}} -q mathbf {A}}$

Shunday qilib:

${ displaystyle ( mathbf {P_ {T}} -q mathbf {A}) cdot ( mathbf {P_ {T}} -q mathbf {A}) = (m_ {0} c) ^ {2 }}$

${ displaystyle ( mathbf {P_ {T}} -q mathbf {A}) ^ {2} = (m_ {0} c) ^ {2}}$

${ displaystyle (- mathbf { qismli} [S] -q mathbf {A}) ^ {2} = (m_ {0} c) ^ {2}}$

Vaqtinchalik va fazoviy tarkibiy qismlarga o'tish:

${ displaystyle (- kısalt _ {t} [S] / cq phi / c) ^ {2} - ( mathbf { nabla} [S] -q mathbf {a}) ^ {2} = ( m_ {0} c) ^ {2}}$

${ displaystyle ( mathbf { nabla} [S] -q mathbf {a}) ^ {2} - (1 / c) ^ {2} (- qismli _ {t} [S] -q phi ) ^ {2} + (m_ {0} c) ^ {2} = 0}$

${ displaystyle ( mathbf { nabla} [S] -q mathbf {a}) ^ {2} - (1 / c) ^ {2} ( qismli _ {t} [S] + q phi) ^ {2} + (m_ {0} c) ^ {2} = 0}$

bu erda relyativistik Gemilton-Jakobi tenglamasi.

Kvant mexanikasidagi Shredinger munosabatlarining tarkibiy qismi sifatida

4 gradyan bilan bog'langan kvant mexanikasi.

Orasidagi bog'liqlik 4 momentum ${ displaystyle mathbf {P}}$ va 4 gradyanli ${ displaystyle mathbf { kısalt}}$ beradi Shredinger bilan QM munosabatlari.^[28]

${ displaystyle mathbf {P} = chap ({ frac {E} {c}}, { vec {p}} right) = i hbar mathbf { qismli} = i hbar left ( { frac { kısalt _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng)}$

Vaqtinchalik komponent: ${ displaystyle E = i hbar kısalt _ {t}}$

Mekansal komponentlar quyidagilarni beradi. ${ displaystyle { vec {p}} = - i hbar { vec { nabla}}}$

Bu aslida ikkita alohida bosqichdan iborat bo'lishi mumkin.

Birinchisi:^[29]

${ displaystyle mathbf {P} = chap ({ frac {E} {c}}, { vec {p}} right) = hbar mathbf {K} = hbar chap ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} o'ng)}$ bu to'liq 4-vektorli versiyasi:

(Vaqtinchalik komponent) Plank-Eynshteyn munosabatlari ${ displaystyle E = hbar omega}$

(Fazoviy komponentlar) de Broyl materiya to'lqini munosabat ${ displaystyle { vec {p}} = hbar { vec {k}}}$

Ikkinchi:^[30]

${ displaystyle mathbf {K} = chap ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} o'ng) = i mathbf { qismli} = i chap ({ frac { kısalt _ {t}} {c}}, - { vec { nabla}} o'ng)}$ bu faqat 4 gradiyentli versiyasidir to'lqin tenglamasi uchun murakkab qadrli tekislik to'lqinlari

Vaqtinchalik komponent: ${ displaystyle omega = i qisman _ {t}}$

Mekansal komponentlar quyidagilarni beradi. ${ displaystyle { vec {k}} = - i { vec { nabla}}}$

Kvant almashtirish munosabati kovariant shaklining tarkibiy qismi sifatida

Kvant mexanikasida (fizika) kanonik kommutatsiya munosabati kanonik konjuge miqdorlar o'rtasidagi asosiy munosabatdir (bu ikkinchisining Furye konvertatsiyasi bo'lishi uchun ta'rifi bilan bog'liq bo'lgan miqdorlar).

${ displaystyle [P ^ { mu}, X ^ { nu}] = i hbar [ kısmi ^ { mu}, X ^ { nu}] = i hbar qisman ^ { mu} [ X ^ { nu}] = i hbar eta ^ { mu nu}}$^[31]

${ displaystyle [p ^ {j}, x ^ {k}] = i hbar eta ^ {jk}}$: Mekansal komponentlarni olish:

${ displaystyle [p ^ {j}, x ^ {k}] = - i hbar delta ^ {jk}}$: chunki ${ displaystyle eta ^ { mu nu} = operator nomi {diag} [1, -1, -1, -1]}$

${ displaystyle [x ^ {k}, p ^ {j}] = i hbar delta ^ {kj}}$: chunki ${ displaystyle [a, b] = - [b, a]}$

${ displaystyle [x ^ {j}, p ^ {k}] = i hbar delta ^ {jk}}$: indekslarni qayta nomlash odatdagi kvant kommutatsiya qoidalarini beradi

Relyativistik kvant mexanikasida to'lqin tenglamalari va ehtimollik oqimlarining tarkibiy qismi sifatida

4-gradyan relyativistik to'lqin tenglamalarining bir qismidir:^[32][33]

In Klein-Gordon relyativistik kvant to'lqini tenglamasi spin-0 zarralari uchun (masalan, Xiggs bozon):^[34]

${ displaystyle [( kısmi ^ { mu} qisman _ { mu}) + chap ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} o'ng) ^ {2}] psi = 0}$

In Dirakning relyativistik kvant to'lqinining tenglamasi spin-1/2 zarralari uchun (masalan, elektronlar):^[35]

${ displaystyle [i gamma ^ { mu} kısalt _ { mu} - { frac {m_ {0} c} { hbar}}] psi = 0}$

qayerda ${ displaystyle gamma ^ { mu}}$ ular Dirak gamma matritsalari va ${ displaystyle psi}$ relyativistikdir to'lqin funktsiyasi.

${ displaystyle psi}$ bu Lorents skalar Klein-Gordon tenglamasi uchun va a spinor Dirak tenglamasi uchun.

Gamma matritsalarning o'zlari SR ning asosiy jihati, Minkovskiy metrikasiga murojaat qilganlari ma'qul:^[36]

${ displaystyle { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} } = gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + gamma ^ { nu} gamma ^ { mu} = 2 eta ^ { mu nu} I_ {4} ,}$

4 ta ehtimollik oqim zichligini saqlash doimiylik tenglamasidan kelib chiqadi:^[37]

${ displaystyle mathbf { kısalt} cdot mathbf {J} = qisman _ {t} rho + { vec { mathbf { nabla}}} cdot { vec { mathbf {j}} } = 0}$

The 4-ehtimollik oqim zichligi relyativistik kovariant ifodasiga ega:^[38]

${ displaystyle J_ {prob} ^ { mu} = { frac {i hbar} {2m_ {0}}} ( psi ^ {*} kısalt ^ { mu} psi - psi qismli ^ { mu} psi ^ {*})}$

The 4 zaryadli oqim zichligi faqat zaryad (q) 4 ehtimollik oqim zichligidan oshadi:^[39]

${ displaystyle J_ {charge} ^ { mu} = { frac {i hbar q} {2m_ {0}}} ( psi ^ {*} qismli ^ { mu} psi - psi qism ^ { mu} psi ^ {*})}$

Kvant mexanikasi va relyativistik kvant to'lqin tenglamalarini maxsus nisbiylikdan olishning asosiy komponenti sifatida

Relativistik to'lqin tenglamalari kovariant bo'lish uchun 4-vektordan foydalaning.^[40][41]

Standart SR 4-vektorlardan boshlang:^[42]

4-pozitsiya ${ displaystyle mathbf {X} = (ct, { vec { mathbf {x}}})}$

4 tezlik ${ displaystyle mathbf {U} = gamma (c, { vec { mathbf {u}}})}$

4 momentum ${ displaystyle mathbf {P} = chap ({ frac {E} {c}}, { vec { mathbf {p}}} o'ng)}$

4-to'lqinli vektor ${ displaystyle mathbf {K} = chap ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} o'ng)}$

4 gradyanli ${ displaystyle mathbf { qismli} = chap ({ frac { kısalt _ {t}} {c}}, - { vec { mathbf { nabla}}} o'ng)}$

Oldingi boblardagi quyidagi oddiy munosabatlarga e'tibor bering, bu erda har bir 4-vektor boshqasiga a bilan bog'liq Lorents skalar:

${ displaystyle mathbf {U} = { frac {d} {d tau}} mathbf {X}}$, qayerda ${ displaystyle tau}$ bo'ladi to'g'ri vaqt

${ displaystyle mathbf {P} = m_ {0} mathbf {U}}$, qayerda ${ displaystyle m_ {0}}$ bo'ladi dam olish massasi

${ displaystyle mathbf {K} = (1 / hbar) mathbf {P}}$, bu 4-vektor versiyasi Plank-Eynshteyn munosabatlari & de Broyl materiya to'lqini munosabat

${ displaystyle mathbf { qismli} = -i mathbf {K}}$, bu 4 gradiyentli versiyasi murakkab qadrli tekislik to'lqinlari

Endi Lorentz skalar mahsulotining standart qoidasini har biriga qo'llang:

${ displaystyle mathbf {U} cdot mathbf {U} = (c) ^ {2}}$

${ displaystyle mathbf {P} cdot mathbf {P} = (m_ {0} c) ^ {2}}$

${ displaystyle mathbf {K} cdot mathbf {K} = chap ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} o'ng) ^ {2}}$

${ displaystyle mathbf { kısalt} cdot mathbf { qismli} = chap ({ frac {-im_ {0} c} { hbar}} o'ng) ^ {2} = - chap ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} o'ng) ^ {2}}$

Oxirgi tenglama (4 gradyanli skaler mahsulot bilan) bu asosiy kvant munosabati.

Lorents skalar maydoniga qo'llanganda ${ displaystyle psi}$, kvantning eng asosiysi Klein-Gordon tenglamasini oladi relyativistik to'lqin tenglamalari:^[43]

${ displaystyle [ mathbf { kısalt} cdot mathbf { qismli} + chap ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} o'ng) ^ {2}] psi = 0}$

The Shredinger tenglamasi bu past tezlik cheklovchi ish {| v | ning << c} Klayn - Gordon tenglamasi.^[44]

Agar kvant munosabati 4 vektorli maydonga qo'llanilsa ${ displaystyle A ^ { mu}}$ Lorents skalar maydoni o'rniga ${ displaystyle psi}$, then one gets the Proka tenglamasi:^[45]

${displaystyle [mathbf {partial } cdot mathbf {partial } +left({frac {m_{0}c}{hbar }} ight)^{2}]A^{mu }=0^{mu }}$

If the rest mass term is set to zero (light-like particles), then this gives the free Maksvell tenglamasi:

${displaystyle [mathbf {partial } cdot mathbf {partial } ]A^{mu }=0^{mu }}$

More complicated forms and interactions can be derived by using the minimal coupling qoida:

As a component of the RQM covariant derivative (internal particle spaces)

Zamonaviy boshlang'ich zarralar fizikasi, a ni aniqlash mumkin gauge covariant derivative which utilizes the extra RQM fields (internal particle spaces) now known to exist.

The version known from classical EM (in natural units) is:^[46]

${displaystyle D^{mu }=partial ^{mu }-igA^{mu }}$

The full covariant derivative for the asosiy o'zaro ta'sirlar ning Standart model that we are presently aware of (in tabiiy birliklar) bu:^[47]

${displaystyle D^{mu }=partial ^{mu }-ig_{1}(Y/2)B^{mu }-ig_{2}( au _{i}/2)cdot W_{i}^{mu }-ig_{3}(lambda _{a}/2)cdot G_{a}^{mu }}$