WikiDer > Operatorlar bilan guruhlash

Yilda mavhum algebra, filiali matematika, algebraik tuzilish operatorlar bilan guruh yoki Ω-guruh deb qarash mumkin guruh bilan o'rnatilgan Ω guruh elementlarida maxsus usulda ishlaydi.

Operatorlar bilan guruhlar tomonidan keng o'rganilgan Emmi Noether va uning maktabi 1920-yillarda. U uchta kontseptsiyani asl formulasida ishlatgan Noeter izomorfizm teoremalari.

Ta'rif

A operatorlar bilan guruh ${displaystyle (G, Omega)}$ aniqlanishi mumkin^[1] guruh sifatida ${displaystyle G = (G, cdot)}$ to'plam harakati bilan birgalikda ${displaystyle Omega}$ kuni ${displaystyle G}$:

${displaystyle Omega Gightarrow G imes: (omega, g) mapsto g ^ {omega}}$

anavi tarqatuvchi guruh qonuniga nisbatan:

${displaystyle (gcdot h) ^ {omega} = g ^ {omega} cdot h ^ {omega}.}$

Har biriga ${displaystyle omega in Omega}$, dastur ${displaystyle gmapsto g ^ {omega}}$ keyin an endomorfizm ning G. Bundan kelib chiqadiki, b-guruhni ham guruh sifatida ko'rish mumkin G bilan indekslangan oila ${displaystyle (u_ {omega}) _ {omega in Omega}}$ ning endomorfizmlari G.

${displaystyle Omega}$ deyiladi operator domeni. Birlashtiruvchi endomorfizmlar^[2] deyiladi homotetiyalar ning G.

Ikki guruh berilgan G, H bir xil operator domeni bilan ${displaystyle Omega}$, a homomorfizm operatorlar bilan guruhlarning guruh homomorfizmi ${displaystyle phi: G o H}$ qoniqarli

${displaystyle phi (g ^ {omega}) = (phi (g)) ^ {omega}}$ Barcha uchun ${displaystyle omega in Omega}$ va ${displaystyle gin G.}$

A kichik guruh S ning G deyiladi a barqaror kichik guruh, ${displaystyle omega}$- kichik guruh yoki ${displaystyle Omega}$-variant kichik guruh agar u gometiklarni hurmat qilsa, ya'ni

${displaystyle s ^ {omega} in S}$ Barcha uchun ${displaystyle sin S}$ va ${displaystyle omega in Omega.}$

Kategoriya-nazariy izohlar

Yilda toifalar nazariyasi, a operatorlar bilan guruh aniqlanishi mumkin^[3] a ob'ekti sifatida funktsiya toifasi Grp^M qayerda M a monoid (ya'ni a toifasi bittasi bilan ob'ekt) va Grp belgisini bildiradi guruhlar toifasi. Ushbu ta'rif taqdim etilgan avvalgisiga teng ${displaystyle Omega}$ monoid (aks holda biz uni identifikator va barcha kompozitsiyalarni o'z ichiga olishi uchun kengaytira olamiz).

A morfizm ushbu toifadagi a tabiiy o'zgarish ikkitasi o'rtasida funktsiyalar (ya'ni bir xil operator domeniga ega bo'lgan operatorlarga ega bo'lgan ikkita guruh M). Shunga qaramay, biz operatorlar bilan guruhlarning homomorfizmining yuqoridagi ta'rifini tiklaymiz (bilan f The komponent tabiiy o'zgarish).

Operatorlari bo'lgan guruh ham xaritalashdir

${displaystyle Omega qurol-yarog 'operatori nomi {End} _ {mathbf {Grp}} (G),}$

qayerda ${displaystyle operator nomi {End} _ {mathbf {Grp}} (G)}$ ning guruh endomorfizmlari to'plamidir G.

Misollar

• Har qanday guruh berilgan G, (G, ∅) - bu ahamiyatsiz operatorlar guruhi
• Berilgan modul M ustidan uzuk R, R tomonidan harakat qiladi skalar ko'paytmasi tagida abeliy guruhi ning M, shunday qilib (M, R) operatorlari bo'lgan guruhdir.
• Yuqoridagilarning alohida holati sifatida, har bir vektor maydoni ustidan maydon k operatorlari bo'lgan guruh (V, k).

Ilovalar

The Iordaniya-Xolder teoremasi operator guruhlari tarkibida ham mavjud. Guruhning a talablari kompozitsiyalar seriyasi ga o'xshash ixchamlik yilda topologiya, va ba'zan juda kuchli talab bo'lishi mumkin. "To'plamga nisbatan ixchamlik" haqida gapirish tabiiy, ya'ni har biri (normal) kichik guruh - operatorlar to'plamiga nisbatan operator-kichik guruh X, ko'rib chiqilayotgan guruhning.

Shuningdek qarang

• Guruh harakati

Izohlar

Adabiyotlar

• Burbaki, Nikolas (1974). Matematika elementlari: Algebra I 1-3 boblar. Hermann. ISBN 2-7056-5675-8.CS1 maint: ref = harv (havola)
• Burbaki, Nikolas (1998). Matematika elementlari: Algebra I 1-3 boblar. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.CS1 maint: ref = harv (havola)
• Mak Leyn, Sonders (1998). Ishchi matematik uchun toifalar. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.CS1 maint: ref = harv (havola)