WikiDer > Hölder holati - Vikipediya

Yilda matematika, haqiqiy yoki murakkab qiymatga ega funktsiya f kuni d- o'lchovli Evklid fazosi qoniqtiradi a Xölderning holati, yoki shunday Hölder doimiy, salbiy bo'lmagan doimiy konstantalar mavjud bo'lganda C, a> 0, shunday

${ displaystyle | f (x) -f (y) | leq C | x-y | ^ { alfa}}$

Barcha uchun x va y domenida f. Umuman olganda, har qanday ikkala funktsiya uchun shart tuzilishi mumkin metrik bo'shliqlar. A soniga deyiladi ko'rsatkich Hölder sharti. A> 1 bilan shartni qanoatlantiruvchi intervaldagi funktsiya doimiy. A = 1 bo'lsa, u holda funktsiya a ni qondiradi Lipschitsning holati. Har qanday a> 0 uchun shart bu funktsiyani bildiradi bir xilda uzluksiz. Shart nomlangan Otto Xolder.

Bizda a funktsiyalari uchun quyidagi qo'shimchalar zanjiri mavjud yopiq va chegaralangan trivial bo'lmagan interval haqiqiy chiziq

Doimiy ravishda farqlanadi ⊂ Lipschitz doimiy ⊂ a-Xolder uzluksiz ⊂ bir xilda uzluksiz = davomiy

bu erda 0

Hölder bo'shliqlari

Hölder shartini qondiradigan funktsiyalardan tashkil topgan Holder bo'shliqlari mintaqalarda asosiy hisoblanadi funktsional tahlil hal qilish bilan bog'liq qisman differentsial tenglamalarva dinamik tizimlar. Hölder maydoni C^{k, a}(Ω), bu erda Ω ba'zi bir Evklid fazosining ochiq to'plamidir va k ≥ 0 butun son, doimiy funktsiyaga ega bo'lgan funktsiyalardan iborat hosilalar buyurtma bo'yicha k va shunday kth qisman hosilalari a daraja bilan uzluksiz Xolder bo'lib, bu erda 0 topologik vektor maydoni. Agar Hölder koeffitsienti bo'lsa

${ displaystyle | f | _ {C ^ {0, alfa}} = sup _ {x neq y in Omega} { frac {| f (x) -f (y) |} { | xy | ^ { alfa}}},}$

cheklangan, keyin funktsiya f deb aytilgan (bir xilda) Xilder doimiy ravishda a ko'rsatkichi bilan Ω ga teng. Bunda Xolder koeffitsienti a vazifasini bajaradi seminar. Agar Hölder koeffitsienti faqat chegaralangan bo'lsa ixcham Ω ning pastki to'plamlari, keyin funktsiya f deb aytilgan mahalliy Hölder doimiy ravishda a ko'rsatkichi bilan Ω ga teng.

Agar funktsiya bo'lsa f va uning hosilalari buyurtma bo'yicha k Ω ning yopilishi, so'ngra Hölder makoni bilan chegaralanadi ${ displaystyle C ^ {k, alpha} ({ overline { Omega}})}$ norma tayinlanishi mumkin

${ displaystyle | f | _ {C ^ {k, alfa}} = | f | _ {C ^ {k}} + max _ {| beta | = k} left | D ^ { beta} f right | _ {C ^ {0, alfa}}}$

qaerda β oralig'ida ko'p indekslar va

${ displaystyle | f | _ {C ^ {k}} = max _ {| beta | leq k} sup _ {x in Omega} left | D ^ { beta} f ( x) o'ng |.}$

Ushbu seminarlar va me'yorlar ko'pincha oddiy tarzda belgilanadi ${ displaystyle | f | _ {0, alfa}}$ va ${ displaystyle | f | _ {k, alfa}}$ yoki shuningdek ${ displaystyle | f | _ {0, alfa, Omega} ;}$ va ${ displaystyle | f | _ {k, alfa, Omega}}$ domeniga bog'liqligini ta'kidlash uchun f. Agar Ω ochiq va chegaralangan bo'lsa, u holda ${ displaystyle C ^ {k, alfa} ({ overline { Omega}})}$ a Banach maydoni normaga nisbatan ${ displaystyle | cdot | _ {C ^ {k, alfa}}}$.

Hölder bo'shliqlarini ixcham joylashtirish

$ Phi $ ba'zi bir Evklid fazosining (yoki umuman, har qanday to'liq chegaralangan metrik fazoning) chegaralangan to'plami bo'lsin va 0

${ displaystyle C ^ {0, beta} ( Omega) to C ^ {0, alfa} ( Omega),}$

Hölder me'yorlari ta'rifi bo'yicha bizda quyidagilar mavjud:

${^ displaystyle forall f in C ^ {0, beta} ( Omega): qquad | f | _ {0, alpha, Omega} leq mathrm {diam} ( Omega) ^ { beta - alfa} | f | _ {0, beta, Omega}.}$

Bundan tashqari, ushbu qo'shilish ixchamdir, ya'ni $ ‖ · in $ bilan chegaralangan to'plamlar_{0, β} ‖ · ‖ normalari nisbatan ixcham_{0, a} norma. Bu to'g'ridan-to'g'ri natijadir Askoli-Arzela teoremasi. Haqiqatan ham, (siz_n) ning chegaralangan ketma-ketligi bo'lishi kerak C^{0, β}(Ω). Ascoli-Arzelà teoremasi tufayli biz umumiylikni yo'qotmasdan taxmin qilishimiz mumkin siz_n → siz bir xilda va biz ham taxmin qilishimiz mumkin siz = 0. Keyin

${ displaystyle | u_ {n} -u | _ {0, alfa} = | u_ {n} | _ {0, alfa} dan 0 gacha,}$

chunki

${ displaystyle { frac {| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ { alpha}}} = = chap ({ frac {| u_ {n} ( x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ { beta}}} o'ng) ^ { frac { alpha} { beta}} chap | u_ {n} (x) - u_ {n} (y) right | ^ {1 - { frac { alpha} { beta}}} leq | u_ {n} | _ {0, beta} ^ { frac { alpha} { beta}} chap (2 | u_ {n} | _ { infty} o'ng) ^ {1 - { frac { alpha} { beta}}} = o (1).}$

Misollar

• Agar 0 ${ displaystyle C ^ {0, beta} ({ overline { Omega}})}$ Hölder doimiy ravishda a cheklangan to'plam Ω ham ${ displaystyle C ^ {0, alfa} ({ overline { Omega}})}$ Hölder doimiy. Bunga ph = 1 va shuning uchun hammasi kiradi Lipschitz doimiy cheklangan to'plamdagi funktsiyalar ham C^{0, a} Hölder doimiy.

• Funktsiya f(x) = x^β (β-1 bilan) [0, 1] da aniqlangan funktsiyani prototipik namunasi bo'lib xizmat qiladi C^{0, a} Hölder 0 b uchun emas. Bundan tashqari, agar biz aniqlasak f o'xshash ${ displaystyle [0, infty)}$, bo'lishi mumkin C^{0, a} Hölder faqat a = for uchun uzluksiz.

• A> 1 uchun [0, 1] (yoki istalgan oraliqdagi) har qanday a-Hölder uzluksiz funktsiyasi doimiy bo'ladi.

• Hech qanday a uchun a-Hölder uzluksiz bo'lgan bir xil uzluksiz funktsiyalarning misollari mavjud. Masalan, [0, 1/2] tomonidan belgilangan funktsiya f(0) = 0 va tomonidan f(x) = 1 / log (x) aks holda doimiy, shuning uchun Geyn-Kantor teoremasi. Biroq, bu har qanday buyurtmaning Hölder shartini qondirmaydi.

• The Weierstrass funktsiyasi tomonidan belgilanadi:

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a ^ {n} cos left (b ^ {n} pi x right),}$

qayerda ${ displaystyle 0$ butun son, ${ displaystyle b geq 2}$ va ${ displaystyle ab> 1 + { tfrac {3 pi} {2}},}$ a-Xolder bilan doimiy

${ displaystyle alpha = - { frac { log (a)} { log (b)}}.}$^[1]

• The Kantor funktsiyasi Hölder har qanday ko'rsatkich uchun doimiydir ${ displaystyle alpha leq { tfrac { log 2} { log 3}},}$ va undan kattasi uchun. Avvalgi holatda, ta'rifning tengsizligi doimiy bilan saqlanadi C := 2.

• Peano egri chiziqlari [0, 1] dan kvadratga [0, 1]² 1/2 - Hölder uzluksiz bo'lishi mumkin. Qachon ekanligini isbotlash mumkin ${ displaystyle alpha> { tfrac {1} {2}}}$ birlik oralig'idan kvadratgacha bo'lgan a-Hölder uzluksiz funktsiyasining tasviri kvadratni to'ldirolmaydi.

• Namuna yo'llari Braun harakati a-Hölder deyarli hamma joyda mavjud ${ displaystyle alpha <{ tfrac {1} {2}}.}$

• Mahalliy ravishda birlashtiriladigan va integrallari tegishli o'sish shartini qondiradigan funktsiyalar ham Xölder doimiydir. Masalan, biz ruxsat bergan bo'lsak

${ displaystyle u_ {x, r} = { frac {1} {| B_ {r} |}} int _ {B_ {r} (x)} u (y) dy}$

va siz qondiradi

${ displaystyle int _ {B_ {r} (x)} chap | u (y) -u_ {x, r} o'ng | ^ {2} dy leq Cr ^ {n + 2 alfa},}$

keyin siz a ko'rsatkichi bilan doimiy Xolder.^[2]

• Kimning funktsiyalari tebranish masofaga nisbatan belgilangan tezlikda parchalanish, parchalanish tezligi bilan belgilanadigan ko'rsatkich bilan uzluksiz Hölderdir. Masalan, agar

${ displaystyle w (u, x_ {0}, r) = sup _ {B_ {r} (x_ {0})} u- inf _ {B_ {r} (x_ {0})} u}$

ba'zi funktsiyalar uchun siz(x) qondiradi

${ displaystyle w chap (u, x_ {0}, { tfrac {r} {2}} o'ng) leq lambda w chap (u, x_ {0}, r o'ng)}$

0 <λ <1 va barcha etarlicha kichik qiymatlari bilan sobit for uchun r, keyin siz Hölder doimiydir.

• Vazifalar Sobolev maydoni orqali tegishli Hölder maydoniga joylashtirilishi mumkin Morreyning tengsizligi agar fazoviy o'lcham Sobolev fazosining ko'rsatkichidan kichik bo'lsa. Aniqrog'i, agar ${ displaystyle n$

  unda doimiy mavjud C, faqat bog'liq p va n, shu kabi:

${ displaystyle forall u in C ^ {1} ( mathbf {R} ^ {n}) cap L ^ {p} ( mathbf {R} ^ {n}): qquad | u | _ {C ^ {0, gamma} ( mathbf {R} ^ {n})} leq C | u | _ {W ^ {1, p} ( mathbf {R} ^ {n}) },}$

qayerda ${ displaystyle gamma = 1 - { tfrac {n} {p}}.}$ Shunday qilib, agar siz ∈ V^{1, p}(Rⁿ), keyin siz aslida Xölder $ Delta $ doimiy ko'rsatkichi bo'lib, ehtimol 0 o'lchovlar to'plamida qayta aniqlangandan keyin.

Xususiyatlari

• Cheksiz o'lchovli Hilbert fazosining yopiq qo'shimchasi kichik guruhi Ha-Hölder uzluksiz yoyi a> 1/2 bilan bog'langan, chiziqli pastki bo'shliqdir. Ning yopiq qo'shimchasi kichik guruhlari mavjud H, chiziqli pastki bo'shliqlar emas, 1/2 - Hölder uzluksiz yoylari bilan bog'langan. Masalan, qo'shimchalarning kichik guruhi L²(R, Z) Hilbert makonining L²(R, R).

• Har qanday a – Hölder doimiy funktsiyasi f metrik bo'shliqda X tan oladi a Lipschitz taxminan funktsiyalar ketma-ketligi yordamida (f_k) shu kabi f_k bu k-Lipschitz va

${ displaystyle | f-f_ {k} | _ { infty, X} = O chap (k ^ {- { frac { alpha} {1- alfa}}} o'ng).}$

Aksincha, har qanday bunday ketma-ketlik (f_k) Lipschitz funktsiyalari a-Hölder doimiy uzluksiz chegarasiga yaqinlashadi f.

• Har qanday a-Hölder funktsiyasi f kichik to'plamda X normalangan maydon E tan oladi a bir xil uzluksiz kengaytma butun kosmosga, ya'ni bir xil doimiylik bilan Hölder uzluksiz C va bir xil ko'rsatkich a. Bunday kengaytmaning eng kattasi:

${ displaystyle f ^ {*} (x): = inf _ {y in X} left {f (y) + C | x-y | ^ { alpha} right }.}$

• Har qanday kishining tasviri ${ displaystyle U subset mathbb {R} ^ {n}}$ a-Hölder funktsiyasi ostida eng ko'p Hausdorff o'lchamlari mavjud ${ displaystyle { tfrac { dim _ {H} (U)} { alfa}}}$, qayerda ${ displaystyle dim _ {H} (U)}$ ning Hausdorff o'lchovidir ${ displaystyle U}$.

• Bo'sh joy ${ displaystyle C ^ {0, alfa} ( Omega), 0 < alfa leq 1}$ ajratib bo'lmaydigan.

• Joylashtirish ${ displaystyle C ^ {0, beta} ( Omega) subset C ^ {0, alpha} ( Omega), 0 < alpha < beta leq 1}$ zich emas.

Izohlar

Adabiyotlar

• Lourens C. Evans (1998). Qisman differentsial tenglamalar. Amerika Matematik Jamiyati, Providence. ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Trudinger, Nil (1983). Ikkinchi tartibli elliptik qisman differentsial tenglamalar. Nyu-York: Springer. ISBN 3-540-41160-7..
• Xan, Tsin; Lin, Fangxua (1997). Elliptik qisman differentsial tenglamalar. Nyu York: Matematika fanlari Courant instituti. ISBN 0-9658703-0-8. OCLC 38168365. JANOB1669352