WikiDer > Hermitlarning o'ziga xosligi - Vikipediya

Yilda matematika, Hermitning shaxsiyatinomi bilan nomlangan Charlz Hermit, a qiymatini beradi yig'ish bilan bog'liq qavat funktsiyasi. Unda aytilishicha, har bir kishi uchun haqiqiy raqam x va har bir ijobiy uchun tamsayı n quyidagi shaxsiyat ushlab turadi:^[1][2]

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} left lfloor x + { frac {k} {n}} right rfloor = lfloor nx rfloor.}$

Isbot

Split ${ displaystyle x}$ uning ichiga butun qism va kasr qismi, ${ displaystyle x = lfloor x rfloor + {x }}$. To'liq bitta ${ displaystyle k ' in {1, ldots, n }}$ bilan

${ displaystyle lfloor x rfloor = left lfloor x + { frac {k'-1} {n}} right rfloor leq x < left lfloor x + { frac {k '} {n} } right rfloor = lfloor x rfloor +1.}$

Xuddi shu tamsayıni olib tashlash orqali ${ displaystyle lfloor x rfloor}$ bu tengsizlikning chap va o'ng tomonidagi qavat operatsiyalari sifatida qayta yozilishi mumkin

${ displaystyle 0 = left lfloor {x } + { frac {k'-1} {n}} right rfloor leq {x } < left lfloor {x } + { frac {k '} {n}} right rfloor = 1.}$

Shuning uchun,

${ displaystyle 1 - { frac {k '} {n}} leq {x } <1 - { frac {k'-1} {n}},}$

va ikkala tomonni ko'paytiramiz ${ displaystyle n}$ beradi

${ displaystyle n-k ' leq n , {x }$

Endi Germitning shaxsiyati bo'yicha yig'indisi indeks bo'yicha ikki qismga bo'linadigan bo'lsa ${ displaystyle k '}$, bo'ladi

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {k = 0} ^ {n-1} left lfloor x + { frac {k} {n}} right rfloor & = sum _ {k = 0} ^ {k'-1} lfloor x rfloor + sum _ {k = k '} ^ {n-1} ( lfloor x rfloor +1) = n , lfloor x rfloor + n -k ' [8pt] & = n , lfloor x rfloor + lfloor n , {x } rfloor = left lfloor n , lfloor x rfloor + n , { x } right rfloor = lfloor nx rfloor. end {hizalangan}}}$

Muqobil dalil

Funktsiyani ko'rib chiqing

${ displaystyle f (x) = lfloor x rfloor + left lfloor x + { frac {1} {n}} right rfloor + ldots + left lfloor x + { frac {n-1} {n}} right rfloor - lfloor nx rfloor}$

Shunda identifikatsiya bayonotga aniq teng keladi ${ displaystyle f (x) = 0}$ hamma uchun haqiqiy ${ displaystyle x}$. Ammo keyin biz topamiz,

${ displaystyle f left (x + { frac {1} {n}} right) = left lfloor x + { frac {1} {n}} right rfloor + left lfloor x + { frac {2} {n}} right rfloor + ldots + left lfloor x + 1 right rfloor - lfloor nx + 1 rfloor = f (x)}$

Oxirgi tenglikda biz qaerda haqiqatni qo'llaymiz ${ displaystyle lfloor x + p rfloor = lfloor x rfloor + p}$ barcha butun sonlar uchun ${ displaystyle p}$. Ammo keyin ${ displaystyle f}$ davri bor ${ displaystyle 1 / n}$. Keyin buni isbotlash kifoya ${ displaystyle f (x) = 0}$ Barcha uchun ${ displaystyle x in [0,1 / n)}$. Ammo bu holda har bir yig'indining ajralmas qismi ${ displaystyle f}$ 0 ga teng. Biz barcha haqiqiy kirishlar uchun funktsiya haqiqatan ham 0 ekanligini aniqlaymiz ${ displaystyle x}$.

Adabiyotlar