WikiDer > Giperbolik metrik makon - Vikipediya

Matematikada a giperbolik metrik bo'shliq a metrik bo'shliq nuqtalar orasidagi ma'lum metrik munosabatlarni (miqdoriy jihatdan salbiy bo'lmagan haqiqiy soniga bog'liq) qondirish. Tomonidan kiritilgan ta'rif Mixael Gromov, klassik metrik xususiyatlarini umumlashtiradi giperbolik geometriya va of daraxtlar. Giperboliklik keng ko'lamli xususiyat bo'lib, ma'lum cheksizni o'rganish uchun juda foydali guruhlar (Gromov-) deb nomlangangiperbolik guruhlar.

Ta'riflar

Ushbu xatboshida biz a ning turli xil ta'riflarini beramiz ${ displaystyle delta}$-giperbolik makon. Metrik bo'shliq, agar u bo'lsa (Gromov-) giperbolik deyiladi ${ displaystyle delta}$- ba'zilar uchun giperbolik ${ displaystyle delta> 0}$.

Gromov mahsuloti yordamida ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle (X, d)}$ bo'lishi a metrik bo'shliq. The Gromov mahsuloti ikki nuqtadan ${ displaystyle y, z in X}$ uchinchisiga nisbatan ${ displaystyle x in X}$ quyidagi formula bilan belgilanadi:

${ displaystyle (y, z) _ {x} = { frac {1} {2}} chap (d (x, y) + d (x, z) -d (y, z) right). }$

Gromovning giperbolik metrik bo'shliqqa ta'rifi quyidagicha: ${ displaystyle X}$ bu ${ displaystyle delta}$-giperbolik va agar hammasi bo'lsa ${ displaystyle x, y, z, w in X}$ qondirish to'rt nuqta sharti

${ displaystyle (x, z) _ {w} geq min left ((x, y) _ {w}, (y, z) _ {w} right) - delta}$

E'tibor bering, agar bu shart hamma uchun qondirilsa ${ displaystyle x, y, z in X}$ va bitta sobit tayanch nuqtasi ${ displaystyle w_ {0}}$, keyin u hamma uchun doimiy bilan qondiriladi ${ displaystyle 2 delta}$.^[1] Shunday qilib, giperbolik holatni faqat bitta sobit tayanch nuqtasi uchun tekshirish kerak; shu sababli, ko'pincha Gromov mahsulotidan asosiy nuqta uchun pastki yozuv o'chiriladi.

Uchburchaklar yordamida ta'riflar

O'zgarishgacha ${ displaystyle delta}$ doimiy ko'paytma bo'yicha metrik bo'shliq uchburchaklarni o'z ichiga olgan ekvivalent geometrik ta'rif mavjud ${ displaystyle X}$ bu geodezik, ya'ni har qanday ikkita nuqta ${ displaystyle x, y in X}$ geodeziya segmentining so'nggi nuqtalari ${ displaystyle [x, y]}$ (ixcham subintervalning izometrik tasviri ${ displaystyle [a, b]}$ reallardan). ^{[2][3] [4]} Shuni esda tutingki, Gromov mahsulotlari orqali ta'rif bo'shliqning geodezik bo'lishini talab qilmaydi.

Ruxsat bering ${ displaystyle x, y, z in X}$. Tepalikli geodezik uchburchak ${ displaystyle x, y, z}$ uchta geodeziya segmentining birlashishi ${ displaystyle [x, y], [y, z], [z, x]}$ (qayerda ${ displaystyle [p, q]}$ so'nggi nuqtalari bo'lgan segmentni bildiradi ${ displaystyle p}$ va ${ displaystyle q}$).

${ displaystyle x}$

${ displaystyle y}$

${ displaystyle z}$

${ displaystyle B _ { delta} ([x, y])}$

${ displaystyle B _ { delta} ([z, x])}$

${ displaystyle B _ { delta} ([y, z])}$

B-ingichka uchburchak sharti

Agar biron bir nuqta uchun bo'lsa ${ displaystyle m in [x, y]}$ bir nuqta bor ${ displaystyle [y, z] cup [z, x]}$ dan kam masofada ${ displaystyle delta}$ ning ${ displaystyle m}$, va shunga o'xshash boshqa qirralarning nuqtalari uchun va ${ displaystyle delta geq 0}$ u holda uchburchak deyiladi ${ displaystyle delta}$- ingichka .

A ta'rifi ${ displaystyle delta}$-giperbolik fazo - bu geodeziya uchburchagi bo'lgan barcha geodezik metrik faza ${ displaystyle delta}$- ingichka. Ushbu ta'rif odatda hisobga olinadi Eliyaxu Rips.

A tushunchasi yordamida yana bir ta'rif berilishi mumkin ${ displaystyle C}$- geodezik uchburchakning taxminiy markazi: bu eng uzoq masofada joylashgan nuqta ${ displaystyle C}$ uchburchakning istalgan qirrasi (ning "taxminiy" versiyasi rag'batlantirish). Bo'sh joy ${ displaystyle delta}$- har bir geodezik uchburchakda a bo'lsa, giperbolik ${ displaystyle delta}$- markaz.

A ning ikkita ta'rifi ${ displaystyle delta}$- geodeziya uchburchaklaridan foydalangan holda giperbolik makon to'liq ekvivalent emas, lekin mavjud ${ displaystyle k> 1}$ shunday a ${ displaystyle delta}$-giperbolik makon birinchi ma'noda ${ displaystyle k cdot delta}$- ikkinchisida giperbolik va aksincha.^[5] Shunday qilib, giperbolik makon tushunchasi tanlangan ta'rifga bog'liq emas.

Misollar

The giperbolik tekislik giperbolik: aslida aylana geodeziya uchburchagi - bu uchburchak tarkibidagi eng katta diametr doirasi va har bir geodezik uchburchak ideal uchburchakning ichki qismida joylashgan bo'lib, ularning hammasi diametri 2 log 3 bo'lgan izometrikdir.^[6] E'tibor bering, bu holda Gromov mahsuloti geodeziya uchburchagi aylanasi nuqtai nazaridan oddiy talqinga ega. Aslida miqdori (A,B)_C shunchaki giperbolik masofa p dan C atrofni qo'shni tomonlar bilan tutashgan joylaridan biriga: diagrammadan v = (a – p) + (b – p), Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida p = (a + b – v)/2 = (A,B)_C.^[7]

The Evklid samolyoti masalan, mavjudligi sababli giperbolik emas homotetiyalar.

Giperbolik bo'shliqlarning ikkita "degeneratsiyalangan" misoli chegaralangan diametrli bo'shliqlar (masalan, cheklangan yoki ixcham bo'shliqlar) va haqiqiy chiziq.

Metrik daraxtlar va umuman olganda haqiqiy daraxtlar giperbolik bo'shliqlarining eng oddiy qiziqarli misollari, chunki ular 0 giperbolik (ya'ni barcha uchburchaklar tripodlar).

Evklid teng qirrali uchburchaklar tomonidan uchburchakning 1-skeleti giperbolik emas (u aslida Evklid tekisligi uchun kvazizometrikdir). Samolyotning uchburchagi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ giperbolik 1-skeletga ega, agar har bir tepada 7 yoki undan yuqori daraja bo'lsa.

Ikki o'lchovli panjara giperbolik emas (u Evklid tekisligi uchun kvazizometrikdir). Bu Keyli grafigi ning asosiy guruh ning torus; yuqori darajadagi sirtning fundamental guruhlarining Keyli grafikalari giperbolik (bu giperbolik tekislik uchun aslida kvazizometrik).

Giperboliklik va egrilik

Giperbolik tekislik (va umuman olganda har qanday) Hadamard manifoldlari ning kesma egriligi ${ displaystyle leq -1}$) ${ displaystyle 2}$-giperbolik. Agar biz Riman metrikasini koeffitsient bo'yicha kattalashtirsak ${ displaystyle lambda> 0}$ keyin masofalar ko'paytiriladi ${ displaystyle lambda}$ va shu bilan biz bo'sh joy olamiz ${ displaystyle lambda cdot delta}$-giperbolik. Egrilik ko'paytiriladi ${ displaystyle lambda ^ {- 1}}$ biz ushbu misolda "bo'shliq qanchalik ko'p (salbiy) egri chiziqli bo'lsa, u shunchalik giperbolik (uning giperbolik doimiysi bilan o'lchanadi) ${ displaystyle delta}$)".

Shunga o'xshash misollar CAT bo'shliqlari salbiy egrilik. Egrilik va giperbolikaga nisbatan shuni ta'kidlash kerakki, egrilik asosan mahalliy xususiyatga ega bo'lsa, giperbolik - bu mahalliy (ya'ni chegaralangan mintaqada sodir bo'ladigan) metrik hodisalarni ko'rmaydigan keng ko'lamli xususiyatdir. Masalan, giperbolik bo'shliqning ixcham bo'shliq bilan birinchisini kengaytiradigan har qanday metrikaga qo'shilishi giperbolik bo'lib qoladi.

Muhim xususiyatlar

Kvazi-izometriya bo'yicha o'zgaruvchanlik

"Katta ko'lam" ma'nosini aniqlashtirishning usullaridan biri bu o'zgarmaslikni talab qilishdir kvaziizometriya. Bu giperbolikaga taalluqlidir.

Agar geodezik metrik bo'shliq bo'lsa ${ displaystyle Y}$ a-ga kvazizometrikdir ${ displaystyle delta}$-giperbolik makon ${ displaystyle X}$ keyin mavjud ${ displaystyle delta '}$ shu kabi ${ displaystyle Y}$ bu ${ displaystyle delta '}$-giperbolik.

Doimiy ${ displaystyle delta '}$ bog'liq ${ displaystyle delta}$ kvazi-izometriya uchun multiplikativ va qo'shimchali konstantalarda.^[8]

Giperbolik bo'shliqlarda taxminiy daraxtlar

Gromov mahsuloti nuqtai nazaridan giperbolik bo'shliqning ta'rifi, har qanday to'rt nuqta orasidagi metrik munosabatlar daraxtda bo'lgani kabi, qo'shimchali doimiyga qadar bo'lganligini aytishi mumkin. ${ displaystyle delta}$. Umuman olganda quyidagi xususiyat giperbolik makonning har qanday cheklangan to'plami cheklangan daraxtga o'xshab ko'rinishini ko'rsatadi.

Har qanday kishi uchun ${ displaystyle n, delta}$ doimiy bor ${ displaystyle C}$ shunday qilib quyidagilar amalga oshiriladi: agar ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ a nuqtalari ${ displaystyle delta}$-giperbolik makon ${ displaystyle X}$ cheklangan daraxt bor ${ displaystyle T}$ va ko'mish ${ displaystyle f: T to X}$ shu kabi ${ displaystyle x_ {i} in f (T)}$ Barcha uchun ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$ va

${ displaystyle forall i, j: d (f ^ {- 1} (x_ {i}), f ^ {- 1} (x_ {j})) leq d (x_ {i}, x_ {j} ) leq d (f ^ {- 1} (x_ {i}), f ^ {- 1} (x_ {j})) + C}$

Doimiy ${ displaystyle C}$ deb qabul qilinishi mumkin ${ displaystyle delta cdot h (n)}$ bilan ${ displaystyle h (n) = O ( log n)}$ va bu maqbul.^[9]

Masofa va izoperimetrik tengsizliklarning eksponent o'sishi

Giperbolik bo'shliqda ${ displaystyle X}$ bizda quyidagi xususiyat mavjud:^[10]

Lar bor ${ displaystyle mu, K> 0}$ hamma uchun shunday ${ displaystyle p, x, y in X}$ bilan ${ displaystyle d (p, x) = d (p, y) =: r}$, har bir yo'l ${ displaystyle alpha}$ qo'shilish ${ displaystyle x}$ ga ${ displaystyle y}$ va hech bo'lmaganda masofada qolish ${ displaystyle r}$ ning ${ displaystyle p}$ hech bo'lmaganda uzunlikka ega ${ displaystyle e ^ { mu cdot d (x, y)} - K}$.

Norasmiy ravishda bu radius "aylanasi" atrofi degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle r}$ bilan muttasil o'sib boradi ${ displaystyle r}$. Bu eslatadi Evklid tekisligidagi izoperimetrik muammo. Bu erda aniqroq bayonot mavjud.^[11]

Aytaylik ${ displaystyle X}$ a hujayra kompleksi uning 1-skeleti giperbolik bo'lganligi va mavjud bo'lganligi uchun 2 o'lchamdagi ${ displaystyle C}$ shunday qilib har qanday 2 hujayraning chegarasi ko'pi bilan o'z ichiga oladi ${ displaystyle C}$ 1-hujayralar. Keyin doimiy bor ${ displaystyle lambda> 0}$ har qanday cheklangan subkompleks uchun ${ displaystyle Y subset X}$ bizda ... bor

${ displaystyle operator nomi {maydon} (Y) leq lambda cdot operator nomi {uzunlik ( qisman Y)}}$

Bu erda 2-kompleksning maydoni 2-hujayralar soni va 1-kompleksning uzunligi 1-hujayralar soni. Yuqoridagi bayonot chiziqli izoperimetrik tengsizlik ; shunday izoperimetrik tengsizlikka ega bo'lish Gromov-giperbolik bo'shliqlarini xarakterlaydi.^[12] Lineer izoperimetrik tengsizliklar kichik bekor qilish shartlari kombinatorial guruh nazariyasi.

Quasiconvex pastki bo'shliqlari

Subspace ${ displaystyle Y}$ geodeziya metrik fazasining ${ displaystyle X}$ Agar doimiy bo'lsa, kvazikonveks deyiladi ${ displaystyle C}$ shunday qilib har qanday geodeziya ${ displaystyle x}$ ning ikki nuqtasi o'rtasida ${ displaystyle Y}$ masofada qoladi ${ displaystyle C}$ ning ${ displaystyle Y}$.

Giperbolik fazoning kvazi-konveks pastki fazosi giperbolikdir.

Asimptotik konuslar

Hammasi asimptotik konuslar giperbolik bo'shliqning haqiqiy daraxtlar. Ushbu xususiyat giperbolik bo'shliqlarni tavsiflaydi.^[13]

Giperbolik fazoning chegarasi

Qurilishini umumlashtirish tugaydi Soddalashtirilgan daraxtda giperbolik bo'shliqlar uchun cheksiz chegara degan tabiiy tushuncha mavjud bo'lib, bu guruh harakatlarini tahlil qilish uchun juda foydali ekanligini isbotladi.

Ushbu xatboshida ${ displaystyle X}$ giperbolik bo'lgan geodezik metrik makon.

Gromov mahsuloti yordamida ta'rif

Ketma-ketlik ${ displaystyle (x_ {n}) in X ^ { mathbb {N}}}$ deyiladi cheksizlikka yaqinlashmoq agar biron bir (yoki biron bir) nuqta uchun bo'lsa ${ displaystyle p}$ bizda shunday ${ displaystyle (x_ {n}, x_ {m}) _ {p} rightarrow infty}$ ikkalasi kabi ${ displaystyle n}$ va ${ displaystyle m}$ cheksizlikka boring. Ikki ketma-ketlik ${ displaystyle (x_ {n}), (y_ {n})}$ cheksizlikka yaqinlashganda qachon teng deb hisoblanadi ${ displaystyle lim _ {n to + infty} (x_ {n}, y_ {n}) _ {p} = + infty}$ (kimdir yoki kimdir uchun ${ displaystyle p}$). The chegara ning ${ displaystyle X}$ cheksizlikka yaqinlashadigan ketma-ketliklarning ekvivalentlik sinflari to'plami,^[14] belgilanadi ${ displaystyle kısmi X}$.

Agar ${ displaystyle xi, eta}$ chegaradagi ikkita nuqta bo'lib, ularning Gromov mahsuloti quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle ( xi, eta) = sup _ {(x_ {n}) = xi, (y_ {n}) = eta} left ( liminf _ {n, m to + infty } (x_ {n}, y_ {m}) _ {p} o'ng)}$

bu cheklangan va bog'liq emas ${ displaystyle p in X}$. Keyin topologiyani aniqlash mumkin ${ displaystyle kısmi X}$ funktsiyalardan foydalanish ${ displaystyle ( cdot, xi)}$.^[15] Ushbu topologiya yoqilgan ${ displaystyle kısmi X}$ metrisable va Gromov mahsuloti yordamida aniqlangan metrikaning taniqli oilasi mavjud.^[16]

Nurlar yordamida to'g'ri bo'shliqlar ta'rifi

Ruxsat bering ${ displaystyle alfa, beta}$ ikki bo'ling kvaziizometrik ko'milishlar ning ${ displaystyle [0, + infty [}$ ichiga ${ displaystyle X}$ ("kvazi-geodeziya nurlari"). Agar ular funktsiya bo'lsa, ular teng deb hisoblanadi ${ displaystyle t mapsto d ( alfa (t), beta (t))}$ chegaralangan ${ displaystyle [0, + infty [}$. Agar bo'sh joy bo'lsa ${ displaystyle X}$ Bu tabiiy barcha topologiyalar bilan modul ekvivalentligining barcha birikmalarining to'plami gomomorfikdir ${ displaystyle kısmi X}$ yuqorida ta'riflanganidek.^[17]

Shunga o'xshash amalga oshirish bazepointni tuzatish va faqat shu nuqtadan kelib chiqqan kvazi geodeziya nurlarini hisobga olishdir. Bo'lgan holatda ${ displaystyle X}$ geodezik hisoblanadi va to'g'ri geodeziya nurlari bilan cheklanishi mumkin.

Misollar

Qachon ${ displaystyle X = T}$ bu oddiy oddiy daraxt bo'lib, chegara faqat Kantor to'plami bo'lgan uchlarning bo'sh joyidir. Nuqtani aniqlash ${ displaystyle x in T}$ tabiiy masofani beradi ${ displaystyle qisman T}$: nurlar bilan ifodalangan ikkita nuqta ${ displaystyle alfa, beta}$ kelib chiqishi ${ displaystyle x}$ masofada joylashgan ${ displaystyle exp (- operatorname {Length} ( alpha cap beta))}$.

Qachon ${ displaystyle X}$ bu birlik disk, ya'ni Poincaré disk modeli giperbolik tekislik uchun diskdagi giperbolik metrik

${ displaystyle ds ^ {2} = {4 | dz | ^ {2} over (1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}$

va Gromov chegarasini birlik doirasi bilan aniqlash mumkin.

Ning chegarasi ${ displaystyle n}$- o'lchovli giperbolik bo'shliq ga nisbatan gomomorfdir ${ displaystyle n-1}$o'lchovli soha va ko'rsatkichlar yuqoridagiga o'xshashdir.

Busemann funktsiyalari

Agar ${ displaystyle X}$ to'g'ri bo'lsa, uning chegarasi kosmosga nisbatan gomomorfikdir Busemann funktsiyalari kuni ${ displaystyle X}$ modulli tarjimalar.^[18]

Chegaradagi izometriyalarning ta'siri va ularning tasnifi

Ikki giperbolik bo'shliq orasidagi kvaziizometriya ${ displaystyle X, Y}$ chegaralar orasidagi gomomorfizmni keltirib chiqaradi.

Xususan izometriyalari guruhi ${ displaystyle X}$ gomomorfizmlari bilan harakat qiladi ${ displaystyle kısmi X}$. Ushbu harakatdan foydalanish mumkin^[19] daraxtlar va klassik giperbolik bo'shliqlar uchun umumlashtirgan holda izometriyalarni chegaradagi dinamik harakatlariga qarab tasniflash. Ruxsat bering ${ displaystyle g}$ ning izometriyasi bo'ling ${ displaystyle X}$, keyin quyidagi holatlardan biri yuz beradi:

• Birinchi holat: ${ displaystyle g}$ cheklangan orbitaga ega ${ displaystyle X}$ (bo'lgan holatda ${ displaystyle X}$ bu shuni anglatadiki, bu to'g'ri ${ displaystyle g}$ ning belgilangan nuqtasi bor ${ displaystyle X}$). Keyin u an deb nomlanadi elliptik izometriya.
• Ikkinchi holat: ${ displaystyle g}$ aniq ikkita aniq nuqtaga ega ${ displaystyle xi _ {+}, xi _ {-}}$ kuni ${ displaystyle kısmi X}$ va har qanday ijobiy orbit ${ displaystyle {g ^ {n} xi: n geq 0 }, xi not = xi _ {-}}$ faqat at to'planadi ${ displaystyle xi _ {+}}$. Keyin ${ displaystyle g}$ deyiladi giperbolik izometriya.
• Uchinchi holat: ${ displaystyle g}$ chegarasida aniq bitta aniq nuqtaga ega va barcha orbitalar shu nuqtada to'planadi. Keyin u a deb nomlanadi parabolik izometriya.

Ko'proq misollar

Nazariyasining kichik to'plamlari giperbolik guruhlar ko'proq giperbolik bo'shliqlarga misollar keltirish uchun foydalanish mumkin, masalan Keyli grafigi a kichik bekor qilish guruhi. Shuningdek, ma'lum bo'lgan modellarning Keyli grafikalari ma'lum tasodifiy guruhlar (bu tasodifiy ravishda yaratilgan cheksiz muntazam grafik) ko'pincha giperbolikaga moyil.

Ba'zi bo'shliqlarning giperbolik ekanligini isbotlash qiyin va qiziqarli bo'lishi mumkin. Masalan, quyidagi giperbolikaning natijalari ularga ta'sir ko'rsatadigan guruhlar uchun yangi hodisalarni kashf etishga olib keldi.

• Ning giperbolikligi egri murakkab^[20] xaritalash klassi guruhida yangi natijalarga olib keldi.^[21]
• Xuddi shunday, ba'zi bir grafiklarning giperbolikligi^[22] tashqi avtomorfizm guruhi bilan bog'liq Chiqdi (Fn) ushbu guruhda yangi natijalarga olib keldi.

Shuningdek qarang

• Salbiy egri guruh
• Ideal uchburchak

Izohlar

Adabiyotlar

• Bowditch, Brayan (2006), Geometrik guruh nazariyasi kursi (PDF), Mat. sots. Yaponiya
• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Ijobiy bo'lmagan egrilikning metrik bo'shliqlari, Springer
• Koornaert, M .; Delzant, T .; Papadopulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov, Matematikadan ma'ruzalar (frantsuz tilida), 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
• de la Harpe, Per; Gis, Etien (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Mixael Gromov (frantsuz tilida), Birkxauzer
• Gromov, Mixael (1987), "Giperbolik guruhlar", Gerstenda, S.M. (tahr.), Guruh nazariyasidagi insholar, Springer, 75-264 betlar
• Ro, Jon (2003), Dag'al geometriya bo'yicha ma'ruzalar, Universitet ma'ruzalar seriyasi, 31, Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-0-8218-3332-2
• Vaysales, Jussi (2005), "Gromov giperbolik bo'shliqlari" (PDF), Mathematicae ekspozitsiyalari, 23 (3): 187–231, doi:10.1016 / j.exmath.2005.01.010, JANOB 2164775.