WikiDer > Induktsiya metrikasi - Vikipediya

Bu maqola fizika bo'yicha mutaxassisning e'tiboriga muhtoj. Iltimos, sabab yoki a gapirish muammoni maqola bilan tushuntirish uchun ushbu shablonga parametr. WikiProject Fizika mutaxassisni jalb qilishda yordam berishi mumkin. (Oktyabr 2019)

Yilda matematika va nazariy fizika, indüklenen metrik bo'ladi metrik tensor a da aniqlangan submanifold metrik tenzordan kattaroq hisoblangan ko'p qirrali ichiga submanifold o'rnatilgan, orqali orqaga tortish. Uni quyidagi formuladan foydalanib hisoblash mumkin (yordamida yozilgan Eynshteyn konvensiyasi), bu orqaga tortish operatsiyasining tarkibiy shakli:^[1]

${ displaystyle g_ {ab} = kısalt _ {a} X ^ { mu} qisman _ {b} X ^ { nu} g _ { mu nu} }$

Bu yerda ${ displaystyle a, b }$ koordinatalar indekslarini tavsiflang ${ displaystyle xi ^ {a} }$ funktsiyalari paytida submanifoldning ${ displaystyle X ^ { mu} ( xi ^ {a}) }$ tangensli indekslari ko'rsatilgan yuqori o'lchovli manifoldga joylashtirishni kodlash ${ displaystyle mu, nu }$.

Misol - torusdagi egri chiziq

Ruxsat bering

${ displaystyle Pi colon { mathcal {C}} to mathbb {R} ^ {3}, tau mapsto { begin {case} { begin {aligned} x ^ {1} & = (a + b cos (n cdot tau)) cos (m cdot tau) x ^ {2} & = (a + b cos (n cdot tau)) sin (m cdot tau) x ^ {3} & = b sin (n cdot tau). end {hizalanmış}} end {holatlar}}}$

egri chizig'idan olingan xarita bo'ling ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ parametr bilan ${ displaystyle tau}$ Evklid kollektoriga ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$. Bu yerda ${ displaystyle a, b, m, n in mathbb {R}}$ doimiydir.

Keyin berilgan ko'rsatkich mavjud ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ kabi

${ displaystyle g = sum limitlar _ { mu, nu} g _ { mu nu} mathrm {d} x ^ { mu} otimes mathrm {d} x ^ { nu} quad { text {with}} quad g _ { mu nu} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$.

va biz hisoblaymiz

${ displaystyle g _ { tau tau} = sum limitlar _ { mu, nu} { frac { qismli x ^ { mu}} { qismli tau}} { frac { qismli x ^ { nu}} { kısmi tau}} underbrace {g _ { mu nu}} _ { delta _ { mu nu}} = sum limitlar _ { mu} chap ({ frac { qismli x ^ { mu}} { qismli tau}} o'ng) ^ {2} = m ^ {2} a ^ {2} + 2m ^ {2} ab cos (n cdot tau) + m ^ {2} b ^ {2} cos ^ {2} (n cdot tau) + b ^ {2} n ^ {2}}$

Shuning uchun ${ displaystyle g _ { mathcal {C}} = (m ^ {2} a ^ {2} + 2m ^ {2} ab cos (n cdot tau) + m ^ {2} b ^ {2} cos ^ {2} (n cdot tau) + b ^ {2} n ^ {2}) mathrm {d} tau otimes mathrm {d} tau}$

Shuningdek qarang

• Birinchi asosiy shakl

Adabiyotlar