WikiDer > Tengsizlik (matematika) - Vikipediya

Ushbu maqola umumiy ro'yxatini o'z ichiga oladi ma'lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo'lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering takomillashtirish tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2017 yil may) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

The mumkin bo'lgan hududlar ning chiziqli dasturlash tengsizliklar to'plami bilan belgilanadi.

Yilda matematika, an tengsizlik bu ikki raqam yoki boshqa matematik ifodalar o'rtasida teng bo'lmagan taqqoslashni amalga oshiradigan munosabatdir.^[1][2] Bu ikkita raqamni solishtirish uchun eng ko'p ishlatiladi raqamlar qatori ularning kattaligi bo'yicha. Turli xil tengsizliklarni ifodalash uchun bir nechta turli xil belgilar mavjud:

• Notation a < b shuni anglatadiki a dan kam b.
• Notation a > b shuni anglatadiki a dan katta b.

Ikkala holatda ham, a ga teng emas b. Ushbu munosabatlar sifatida tanilgan qat'iy tengsizliklar,^[2] shuni anglatadiki a -dan qat'iyan kamroq yoki undan kattaroqdir b. Ekvivalentlik chiqarib tashlandi.

Qat'iy tengsizliklardan farqli o'laroq, teng bo'lmagan munosabatlarning qat'iy bo'lmagan ikki turi mavjud:

• Notation a ≤ b yoki a ⩽ b shuni anglatadiki a dan kam yoki tengdir b (yoki teng ravishda, ko'pi bilan b, yoki kattaroq emas b).
• Notation a ≥ b yoki a ⩾ b shuni anglatadiki a dan katta yoki tengdir b (yoki teng ravishda, hech bo'lmaganda b, yoki kam emas b).

"Katta emas" munosabati, shuningdek, tomonidan ifodalanishi mumkin a ≯ b, "katta" belgisi "ikki tomonga bo'linadi," emas ". Xuddi shu narsa "kam emas" va a ≮ b.

Notation a ≠ b shuni anglatadiki a ga teng emas b, va ba'zida qat'iy tengsizlikning bir shakli sifatida qaraladi.^[3] Ulardan biri boshqasidan kattaroq deb aytilmagan; bu hatto talab qilmaydi a va b a'zosi bo'lish buyurtma qilingan to'plam.

Muhandislik fanlarida yozuvni kamroq rasmiy ravishda ishlatish, bu miqdorning boshqasiga nisbatan "juda katta" ekanligini, odatda bir nechta kattalik buyruqlari. Bu shuni anglatadiki, anning aniqligiga ozgina ta'sir ko'rsatib, kamroq qiymatni e'tiborsiz qoldirish mumkin taxminiy (masalan. kabi ultrarelativistik chegara fizikada).

• Notation a ≪ b shuni anglatadiki a ga qaraganda ancha kam b. (ichida.) o'lchov nazariyasiammo, bu yozuv uchun ishlatiladi mutlaq davomiylik, o'zaro bog'liq bo'lmagan tushuncha.^[4])
• Notation a ≫ b shuni anglatadiki a dan kattaroqdir b.^[5]

Yuqoridagi barcha holatlarda bir-birini aks ettiruvchi har qanday ikkita belgi nosimmetrikdir; a < b va b > a teng va boshqalar.

Raqam chizig'idagi xususiyatlar

Tengsizliklar quyidagilar bilan boshqariladi xususiyatlari. Bu xususiyatlarning barchasi, agar barcha qat'iy bo'lmagan tengsizliklar (their va ≥), ularning mos keladigan tengsizliklar bilan almashtirilsa () va - funktsiyani qo'llashda monotonik funktsiyalar cheklangan bo'lsa qat'iy ravishda monotonik funktsiyalar.

Suhbat

≤ va ≥ munosabatlar bir-biriga tegishli suhbatlashish, bu degani har qanday kishi uchun haqiqiy raqamlar a va b:

a ≤ b va b ≥ a tengdir.

Transitivlik

Tengsizlikning o'tish davri xususiyati har qanday uchun buni ta'kidlaydi haqiqiy raqamlar a, b, v:^[6]

Agar a ≤ b va b ≤ v, keyin a ≤ v.

Agar yoki binolarning qat'iy tengsizligi, keyin xulosa qat'iy tengsizlik:

Agar a ≤ b va b < v, keyin a < v.

Agar a < b va b ≤ v, keyin a < v.

Qo'shish va ayirish

Agar x < y, keyin x + a < y + a.

Umumiy doimiy v balki qo'shildi ga yoki olib tashlandi tengsizlikning ikkala tomonidan.^[3] Shunday qilib, har qanday kishi uchun haqiqiy raqamlar a, b, v:

Agar a ≤ b, keyin a + v ≤ b + v va a − v ≤ b − v.

Boshqacha qilib aytganda, tengsizlik munosabati qo'shilish (yoki ayirish) ostida saqlanib qoladi va haqiqiy sonlar an bo'ladi buyurtma qilingan guruh qo'shimcha ostida.

Ko'paytirish va bo'linish

Agar x < y va a > 0, keyin bolta < ay.

Agar x < y va a <0, keyin bolta > ay.

Bilan bog'liq xususiyatlar ko'paytirish va bo'linish har qanday haqiqiy son uchun, a, b va nolga teng emas v:

Agar a ≤ b va v > 0, keyin ak ≤ miloddan avvalgi va a/v ≤ b/v.

Agar a ≤ b va v <0, keyin ak ≥ miloddan avvalgi va a/v ≥ b/v.

Boshqacha qilib aytganda, tengsizlik munosabati ko'paytirish va musbat konstantaga bo'linish sharoitida saqlanib qoladi, ammo manfiy doimiy ishtirok etganda teskari bo'ladi. Umuman olganda, bu an uchun amal qiladi buyurtma qilingan maydon. Qo'shimcha ma'lumot olish uchun qarang § buyurtma qilingan maydonlar.

Qo'shimcha teskari

Uchun mulk qo'shimchali teskari har qanday haqiqiy son uchun a va b:

Agar a ≤ b, keyin -a ≥ −b.

Multiplikativ teskari

Agar ikkala raqam ham musbat bo'lsa, unda orasidagi tengsizlik munosabati multiplikativ inversiyalar asl sonlar orasidagi qarama-qarshi. Aniqrog'i, har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy sonlar uchun a va b ikkalasi ham ijobiy (yoki ikkalasi ham) salbiy):

Agar a ≤ b, keyin 1/a ≥ 1/b.

Belgilari uchun barcha holatlar a va b ham yozilishi mumkin zanjirli yozuv, quyidagicha:

Agar 0 a ≤ b, keyin 1/a ≥ 1/b > 0.

Agar a ≤ b < 0, then 0 > 1/a ≥ 1/b.

Agar a < 0 < b, keyin 1/a < 0 < 1/b.

Ikkala tomonga ham funktsiyani qo'llash

Ning grafigi y = ln x

Har qanday monotonik ortib bormoqda funktsiya, uning ta'rifiga ko'ra,^[7] tengsizlikning har ikkala tomoniga tengsizlik munosabatini buzmasdan tatbiq etilishi mumkin (har ikkala ifoda ham ichida bo'lishi sharti bilan domen bu funktsiya). Biroq, tengsizlikning ikkala tomoniga monoton kamaytiruvchi funktsiyani qo'llash, tengsizlik munosabati qaytarilishini anglatadi. Qo'shimcha teskari va ijobiy sonlar uchun ko'paytma teskari qoidalar ikkalasi ham monotonik kamayib boruvchi funktsiyani qo'llashga misoldir.

Agar tengsizlik qat'iy bo'lsa (a < b, a > b) va funktsiya qat'iy monotonik, keyin tengsizlik qat'iy bo'lib qoladi. Agar ushbu shartlardan faqat bittasi qat'iy bo'lsa, natijada yuzaga keladigan tengsizlik qat'iy emas. Aslida, qo'shimchalar va ko'paytma teskari tomonlari uchun qoidalar ikkalasini ham qo'llashning misolidir qat'iy ravishda bir xildagi kamayuvchi funktsiya.

Ushbu qoidaga bir nechta misollar:

• Tengsizlikning ikkala tomonini kuchga ko'tarish n > 0 (teng,. -n <0), qachon a va b ijobiy haqiqiy sonlar:

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ aⁿ ≤ bⁿ.

0 ≤ a ≤ b ⇔ a⁻ⁿ ≥ b⁻ⁿ ≥ 0.

• Olish tabiiy logaritma tengsizlikning ikkala tomonida, qachon a va b ijobiy haqiqiy sonlar:

0 < a ≤ b Ln ln (a≤ ln (b).

0 < a < b Ln ln (a) b).

(bu to'g'ri, chunki tabiiy logaritma qat'iy ravishda ortib boruvchi funktsiya.)

Rasmiy ta'riflar va umumlashmalar

A (qat'iy bo'lmagan) qisman buyurtma a ikkilik munosabat ≤ ustidan o'rnatilgan P qaysi reflektiv, antisimetrikva o'tish davri.^[8] Bu hamma uchun a, bva v yilda P, quyidagi uchta bandni qondirishi kerak:

1. a ≤ a (refleksivlik)
2. agar a ≤ b va b ≤ a, keyin a = b (antisimmetriya)
3. agar a ≤ b va b ≤ v, keyin a ≤ v (tranzitivlik)

Qisman tartibli to'plam a deb nomlanadi qisman buyurtma qilingan to'plam.^[9] Bular har qanday buyurtmani qondirishi kerak bo'lgan asosiy aksiomalardir. To'plamdagi buyurtmalarning boshqa ta'riflari uchun mavjud bo'lgan boshqa aksiomalar P quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1. Har bir kishi uchun a va b yilda P, a ≤ b yoki b ≤ a (umumiy buyurtma).
2. Barcha uchun a va b yilda P buning uchun a < bbor v yilda P shu kabi a < v < b (zich tartib).
3. Har bir bo'sh emas kichik to'plam ning P bilan yuqori chegara bor kamida yuqori chegara (supremum) in P (eng kam chegaralangan xususiyat).

Buyurtma qilingan maydonlar

Agar (F, +, ×) bu a maydon va ≤ a umumiy buyurtma kuni F, keyin (F, +, ×, ≤) an deyiladi buyurtma qilingan maydon agar va faqat:

• a ≤ b nazarda tutadi a + v ≤ b + v;
• 0 ≤ a va 0 ≤ b 0 ≤ degan ma'noni anglatadi a × b.

Ikkalasi ham (Q, +, ×, ≤) va (R, +, ×, ≤) quyidagilar buyurtma qilingan maydonlar, lekin qilish uchun ≤ ni aniqlab bo'lmaydi (C, +, ×, ≤) an buyurtma qilingan maydon,^[10] chunki −1 ning kvadrati men va shuning uchun ijobiy bo'ladi.

Buyurtma qilingan maydon bo'lishdan tashqari, R ham bor Eng yuqori chegaradagi xususiyat. Aslini olib qaraganda, R ushbu sifatga ega bo'lgan yagona buyurtma qilingan maydon sifatida aniqlanishi mumkin.^[11]

Zanjirli yozuv

Notation a < b < v degani "a < b va b < v", undan yuqoridagi tranzitivlik xususiyati bilan shundan kelib chiqadiki a < v. Yuqoridagi qonunlarga binoan har qanday uchta hadga bir xil sonni qo'shish yoki ayirish, yoki uchta hadni bir xil nolga teng songa ko'paytirish yoki bo'lish va agar bu raqam manfiy bo'lsa, barcha tengsizliklarni qaytarish mumkin. Shuning uchun, masalan, a < b + e < v ga teng a − e < b < v − e.

Ushbu yozuv har qanday sonli atamalar uchun umumlashtirilishi mumkin: masalan, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n shuni anglatadiki a_men ≤ a_men+1 uchun men = 1, 2, ..., n - 1. Tranzitivlik bo'yicha bu holat tengdir a_men ≤ a_j har qanday 1 for uchun men ≤ j ≤ n.

Tengsizlikni zanjirli yozuv yordamida yechishda, atamalarni mustaqil ravishda baholash mumkin va ba'zan zarur bo'ladi. Masalan, tengsizlikni echish uchun 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2, ajratish mumkin emas x qo'shish yoki ayirish orqali tengsizlikning istalgan qismida. Buning o'rniga, tengsizliklar mustaqil ravishda echilishi kerak x <1/2 va x $ Phi -1 $ ga mos keladi, bu $ phi 1 $ ning yakuniy echimiga birlashtirilishi mumkin x < 1/2.

Ba'zan turli yo'nalishdagi tengsizliklar bilan zanjirli yozuvlardan foydalaniladi, bu holda ma'no mantiqiy birikma qo'shni atamalar orasidagi tengsizliklar. Masalan, a zigzag poset kabi yoziladi a₁ < a₂ > a₃ < a₄ > a₅ < a₆ > .... Aralash zanjirli yozuvlar <, =, like kabi mos keluvchi munosabatlar bilan ko'proq qo'llaniladi. Masalan; misol uchun, a < b = v ≤ d shuni anglatadiki a < b, b = vva v ≤ d. Ushbu belgi bir nechta mavjud dasturlash tillari kabi Python. Aksincha, taqqoslash natijalari turiga buyurtma beradigan dasturlash tillarida, masalan C, hatto bir hil zanjirlar ham butunlay boshqacha ma'noga ega bo'lishi mumkin.^[12]

Keskin tengsizliklar

Tengsizlik deyiladi o'tkir, agar mumkin bo'lmasa bo'shashgan va umuman umuman amal qiladi. Rasmiy ravishda, a universal miqdoriy tengsizlik φ har bir haqiqiy universal miqdordagi tengsizlik uchun keskin deb nomlanadi ψ, agar ψ ⇒ φ ushlab turadi, keyin ψ ⇔ φ shuningdek ushlab turadi. Masalan, tengsizlik ∀a ∈ ℝ. a² ≥ 0 keskin, holbuki tengsizlik ∀a ∈ ℝ. a² ≥ −1 o'tkir emas.^{[iqtibos kerak]}

Vositalar orasidagi tengsizlik

Vositalar o'rtasida ko'plab tengsizliklar mavjud. Masalan, har qanday ijobiy sonlar uchun a₁, a₂, …, a_n bizda ... bor H ≤ G ≤ A ≤ Q, qayerda

${ displaystyle H = { frac {n} {{ frac {1} {a_ {1}}} + { frac {1} {a_ {2}}} + cdots + { frac {1} { a_ {n}}}}}}$	(garmonik o'rtacha),
${ displaystyle G = { sqrt [{n}] {a_ {1} cdot a_ {2} cdots a_ {n}}}}$	(geometrik o'rtacha),
${ displaystyle A = { frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}}}$	(o'rtacha arifmetik),
${ displaystyle Q = { sqrt { frac {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + cdots + a_ {n} ^ {2}} {n}}}}$	(kvadratik o'rtacha).

Koshi-Shvarts tengsizligi

Koshi-Shvarts tengsizligi barcha vektorlar uchun buni ta'kidlaydi siz va v ning ichki mahsulot maydoni bu haqiqat

${ displaystyle | langle mathbf {u}, mathbf {v} rangle | ^ {2} leq langle mathbf {u}, mathbf {u} rangle cdot langle mathbf {v} , mathbf {v} rangle,}$

qayerda ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ bo'ladi ichki mahsulot. Ichki mahsulotlarning namunalariga haqiqiy va murakkab kiradi nuqta mahsuloti; Yilda Evklid fazosi Rⁿ standart ichki mahsulot bilan Koshi-Shvarts tengsizligi

${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} v_ {i} right) ^ {2} leq left ( sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2} o'ng) chap ( sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} ^ {2} o'ng).}$

Quvvat tengsizligi

A "quvvat tengsizligi"bu shakl atamalarini o'z ichiga olgan tengsizlik a^b, qayerda a va b haqiqiy musbat sonlar yoki o'zgaruvchan ifodalar. Ular ko'pincha paydo bo'ladi matematik olimpiadalar mashqlar.

Misollar

• Haqiqat uchun x,

${ displaystyle e ^ {x} geq 1 + x.}$

• Agar x > 0 va p > 0, keyin

${ displaystyle { frac {x ^ {p} -1} {p}} geq ln (x) geq { frac {1 - { frac {1} {x ^ {p}}}}} { p}}.}$

Chegarasida p → 0, yuqori va pastki chegaralar ln ga yaqinlashadi (x).

• Agar x > 0, keyin

${ displaystyle x ^ {x} geq left ({ frac {1} {e}} right) ^ { frac {1} {e}}.}$

• Agar x > 0, keyin

${ displaystyle x ^ {x ^ {x}} geq x.}$

• Agar x, y, z > 0, keyin

${ displaystyle chap (x + y o'ng) ^ {z} + chap (x + z o'ng) ^ {y} + chap (y + z o'ng) ^ {x}> 2.}$

• Haqiqiy aniq raqamlar uchun a va b,

${ displaystyle { frac {e ^ {b} -e ^ {a}} {b-a}}> e ^ {(a + b) / 2}.}$

• Agar x, y > 0 va 0 < p <1, keyin

${ displaystyle x ^ {p} + y ^ {p}> chap (x + y o'ng) ^ {p}.}$

• Agar x, y, z > 0, keyin

${ displaystyle x ^ {x} y ^ {y} z ^ {z} geq left (xyz right) ^ {(x + y + z) / 3}.}$

• Agar a, b > 0, keyin^[13]

${ displaystyle a ^ {a} + b ^ {b} geq a ^ {b} + b ^ {a}.}$

• Agar a, b > 0, keyin^[14]

${ displaystyle a ^ {ea} + b ^ {eb} geq a ^ {eb} + b ^ {ea}.}$

• Agar a, b, v > 0, keyin

${ displaystyle a ^ {2a} + b ^ {2b} + c ^ {2c} geq a ^ {2b} + b ^ {2c} + c ^ {2a}.}$

• Agar a, b > 0, keyin

${ displaystyle a ^ {b} + b ^ {a}> 1.}$

Taniqli tengsizliklar

Matematiklar tez-tez aniq formulalarni osonlikcha hisoblash mumkin bo'lmagan bog'langan kattaliklarga tengsizliklardan foydalaning. Ba'zi tengsizliklar shu qadar tez-tez ishlatiladi, ularning nomlari bor:

Murakkab sonlar va tengsizliklar

To'plami murakkab sonlar Operations uning operatsiyalari bilan qo'shimcha va ko'paytirish a maydon, lekin har qanday munosabatni belgilashning iloji yo'q, shunday qilib (ℂ, +, ×, ≤) ga aylanadi buyurtma qilingan maydon. Qilish (ℂ, +, ×, ≤) an buyurtma qilingan maydon, u quyidagi ikkita xususiyatni qondirishi kerak edi:

• agar a ≤ b, keyin a + v ≤ b + v;
• agar 0 ≤ a va 0 ≤ b, keyin 0 ≤ ab.

Chunki $ a $ - bu umumiy buyurtma, istalgan raqam uchun a, yoki 0 ≤ a yoki a ≤ 0 (u holda yuqoridagi birinchi xususiyat shuni anglatadi 0 ≤ −a). Ikkala holatda ham 0 ≤ a²; bu shuni anglatadiki men² > 0 va 1² > 0; shunday −1 > 0 va 1 > 0, bu (-1 + 1)> 0 degan ma'noni anglatadi; ziddiyat.

Biroq, an operatsiyani faqat birinchi xususiyatni qondiradigan qilib belgilash mumkin (ya'ni, "agar a ≤ b, keyin a + v ≤ b + v"). Ba'zan leksikografik tartib ta'rif ishlatiladi:

• a ≤ b, agar
  • Qayta (a) b), yoki
  • Qayta (a) = Qayta (b) va Men (a) ≤ Im (b)

Ushbu ta'rif uchun buni osongina isbotlash mumkin a ≤ b nazarda tutadi a + v ≤ b + v.

Vektorli tengsizliklar

Yuqorida tavsiflanganga o'xshash tengsizlik munosabatlari uchun ham belgilanishi mumkin ustunli vektorlar. Agar biz vektorlarga ruxsat bersak ${ displaystyle x, y in mathbb {R} ^ {n}}$ (bu degani ${ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) ^ { mathsf {T}}}$ va ${ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {n}) ^ { mathsf {T}}}$, qayerda ${ displaystyle x_ {i}}$ va ${ displaystyle y_ {i}}$ uchun haqiqiy raqamlar ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$), biz quyidagi munosabatlarni aniqlay olamiz:

• ${ displaystyle x = y}$, agar ${ displaystyle x_ {i} = y_ {i}}$ uchun ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$.
• ${ displaystyle x$, agar ${ displaystyle x_ {i}$ uchun ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$.
• ${ displaystyle x leq y}$, agar ${ displaystyle x_ {i} leq y_ {i}}$ uchun ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$ va ${ displaystyle x neq y}$.
• ${ displaystyle x leqq y}$, agar ${ displaystyle x_ {i} leq y_ {i}}$ uchun ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$.

Xuddi shunday, biz uchun munosabatlarni belgilashimiz mumkin ${ displaystyle x> y}$, ${ displaystyle x geq y}$va ${ displaystyle x geqq y}$. Ushbu yozuv Matthias Ehrgott tomonidan ishlatilgan Ko'p o'lchovli optimallashtirish (Adabiyotga qarang).

The trixotomiya xususiyati (aytilganidek yuqorida) vektor munosabatlari uchun yaroqsiz. Masalan, qachon ${ displaystyle x = (2,5) ^ { mathsf {T}}}$ va ${ displaystyle y = (3,4) ^ { mathsf {T}}}$, bu ikki vektor o'rtasida to'g'ri tengsizlik aloqasi mavjud emas. Shuningdek, a multiplikativ teskari Ushbu xususiyatni ko'rib chiqishdan oldin uni vektorda aniqlash kerak bo'ladi. Biroq, yuqorida aytib o'tilgan xususiyatlarning qolgan qismida, vektor tengsizligi uchun parallel xususiyat mavjud.

Tengsizliklar tizimlari

Tizimlari chiziqli tengsizliklar tomonidan soddalashtirilishi mumkin Furye-Motzkinni chiqarib tashlash.^[15]

The silindrsimon algebraik parchalanish polinom tenglamalari va tengsizliklar tizimining echimlari borligini tekshirishga imkon beradigan algoritm bo'lib, agar echimlar mavjud bo'lsa, ularni tavsiflaydi. Ushbu algoritmning murakkabligi shundaki ikki marta eksponent o'zgaruvchilar sonida. Algoritmlarni konkret holatlarda samaraliroq loyihalashtirish faol tadqiqot sohasi hisoblanadi.

Shuningdek qarang

• Ikkilik munosabat
• Qavs (matematika), shunga o'xshash ‹va› belgilaridan foydalanish uchun qavslar
• Kiritish (to'plam nazariyasi)
• Tenglama
• Interval (matematika)
• Tengsizliklar ro'yxati
• Uchburchak tengsizliklari ro'yxati
• Qisman buyurtma qilingan to'plam
• Relyatsion operatorlar, dasturlash tillarida tengsizlikni ko'rsatish uchun ishlatiladi

Adabiyotlar

Manbalar

• Hardy, G., Littlewood J. E., Polya, G. (1999). Tengsizliklar. Kembrij matematik kutubxonasi, Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 0-521-05206-8.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
• Bekkenbax, E. F., Bellman, R. (1975). Tengsizliklarga kirish. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
• Drachman, Bayron C., Klod, Maykl J. (1998). Tengsizliklar: muhandislikka qo'llaniladigan dasturlar bilan. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
• Grinshpan, A. Z. (2005), "Umumiy tengsizliklar, oqibatlar va qo'llanmalar", Amaliy matematikaning yutuqlari, 34 (1): 71–100, doi:10.1016 / j.aam.2004.05.001
• Murray S. Klamkin. "'Quickie tengsizliklari " (PDF). Matematik strategiyalar.
• Artur Lohuoter (1982). "Tengsizliklarga kirish". PDF formatidagi onlayn elektron kitob.
• Xarold Shapiro (2005). "Matematik masalalar echish". Eski muammo bo'yicha seminar. Kungliga Tekniska högskolan.
• "3-USAMO". Arxivlandi asl nusxasi 2008-02-03 da.
• Pachpatte, B. G. (2005). Matematik tengsizliklar. Shimoliy-Gollandiya matematik kutubxonasi. 67 (birinchi nashr). Amsterdam, Gollandiya: Elsevier. ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509. JANOB 2147066. Zbl 1091.26008.
• Ehrgott, Matias (2005). Ko'p o'lchovli optimallashtirish. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.
• Stil, J. Maykl (2004). Koshi-Shvarts mahorat darsi: Matematik tengsizlik san'atiga kirish. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-0-521-54677-5.

Tashqi havolalar

Vikimedia Commons-ga tegishli ommaviy axborot vositalari mavjud Tengsizliklar (matematika).

• "Tengsizlik", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Tengsizliklar grafigi tomonidan Ed Pegg, kichik
• Tengsizliklar haqida AoPS Wiki-ga kirish