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EIN Sammlung${Anzeigestil T}$ der reellen Zahlen (hier als weiße und grüne Kugeln dargestellt), eine Teilmenge ${Anzeigestil S}$ von ${Anzeigestil T}$ (dargestellt als grüne Kugeln) und das Infimum, die größte Zahl in ${Anzeigestil T}$ das ist kleiner oder gleich allen Zahlen in ${Displaystil S.}$ Beachten Sie, dass für endliche Mengen das infimum und das Minimum einander gleich sein.

In dem Ordnungstheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist der infimum (Plural infima) von a Teilmenge von irgendwelchen teilweise bestelltSammlung es größtes Element (nicht unbedingt in der Teilmenge), die kleiner oder gleich allen Elementen in dieser Teilmenge ist. Folglich ist der Begriff größte untere Grenze (auch abgekürzt als gog oder GOG) Oft benutzt. Infima von reale Nummern sind ein häufiger Sonderfall, der in der Analyse.

Das Infimum hat das duale Konzept des höchste.

Infima der reellen Zahlen

In dem Analyse wird die infimale oder größte untere Schranke einer Teilmenge ${Anzeigestil S}$ des reale Nummern bezeichnet durch ${displaystyle inf(S)}$ und dieses Infimum ist definiert als die größte reelle Zahl, die kleiner oder gleich einer beliebigen Zahl in ist ${Displaystil S.}$ Wenn keine solche Nummer existiert (weil ${Anzeigestil S}$ ist nicht von unten begrenzt), dann definiert man ${displaystyle inf(S)=-infty .}$ wenn ${Anzeigestil S}$ das leere Sammlung ist, man definiert ${displaystyle inf(S)= infty.}$

Eine wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen ist, dass jede Menge reeller Zahlen ein Infimum hat (jede nichtleere beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen hat ein Infimum in den nicht erweiterten reellen Zahlen).

Beispiele:

${displaystyle inf{1,2,3}=1.}$

${displaystyle inf{xin mathbb {R} :0$

${displaystyle inf{xin mathbb {Q} :x^{3}>2}={sqrt[{3}]{2}}.}$

${displaystyle inf{(-1)^{n} 1/n:n=1,2,3,dots}=-1.}$

Wenn eine Menge ein kleinstes Element hat, wie im ersten Beispiel, dann ist das kleinste Element das Infimum für die Menge. (Wenn das Infimum Teil der Menge ist, wird es auch als . bezeichnet Minimum). Wie die letzten drei Beispiele zeigen, muss das Infimum einer Menge nicht zur Menge gehören.

Siehe auch

• höchste

Externer Link

• (und) Infimum (PlanetMath)