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In dem Mathematik ist ein integrale Transformation ein Transformation${Anzeigestil T}$ des Formulars:

${displaystyle (Tf)(u)=int limit _{t_{1}}^{t_{2}}f(t),K(t,u),mathrm {d} t}$

Darin steht die Funktion ${Anzeigestil K}$ die Zugehörigkeit zur Transformation integraler Kern, auch kurz mit Ader angegeben.

Die Transformation addiert zu a Funktion${displaystyle f}$ eine andere Funktion ${displaystyle Tf}$ die für einige Anwendungen zur weiteren Analyse geeignet ist, ihre ursprüngliche Funktion jedoch nicht.

Eine ganzzahlige Transformation ist a lineares Bild, ähnlich denen in der Lineare Algebra. Für so ein Bild ${Anzeigestil T}$ lass das bild ${displaystyle Tx}$ des Vektors ${Anzeigestil x}$ sich relativ zu Auserwählten Basen schreibe in der üblichen Weise als:

${displaystyle (Tx)_{u}=Summe _{t}x_{t}K_{tu}}$

in welchem ${Anzeigestil K}$ die entsprechende Matrix von ${Anzeigestil T}$ ist und ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil t,}$ sind die Indizes. Hierin ist die Analogie zur obigen Definition deutlich zu erkennen.

Es gibt viele nützliche Integraltransformationen, die den verschiedenen Auswahlmöglichkeiten des Integralkerns entsprechen ${Anzeigestil K}$ und die integralen Grenzen.

Tabelle der Integraltransformationen

Transformation	Symbol	Ader	t1	t2
Fourier-Transformation	${displaystyle {mathcal {F}}}$	${displaystyle {frac {e^{iut}}{sqrt {2pi}}}}$	${displaystyle -infty }$	${displaystyle infty }$
Mellin-Transformation	${displaystyle {mathcal {M}}}$	${displaystyle t^{u-1}}$	${Anzeigestil 0}$	${displaystyle infty }$
Zweiseitige Laplace-Transformation	${displaystyle {mathcal {B}}}$	${displaystyle e^{-ut}}$	${displaystyle -infty }$	${displaystyle infty }$
Laplace-Transformation	${displaystyle {mathcal {L}}}$	${displaystyle e^{-ut}}$	${Anzeigestil 0}$	${displaystyle infty }$
Hankel-Transformation		${displaystyle t,J_{u}(ut)}$	${Anzeigestil 0}$	${displaystyle infty }$
Abel-Transformation		${displaystyle {frac {t}{sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$	${Anzeigestil u}$	${displaystyle infty }$
Hilbert-Transformation	${displaystyle {mathcal {H}}}$	${displaystyle {frac {1}{pi }}{frac {1}{u-t}}}$	${displaystyle -infty }$	${displaystyle infty }$
Identitätstransformation		${Anzeigestil Delta (u-t),}$	${displaystyle t_{1}$	${displaystyle t_{2}>u}$

Wenn als Kern überhaupt verallgemeinerte Funktion erlaubt ist, sind alle linearen Abbildungen von einem Funktionsraum auf einen Funktionsraum ganzzahlige Transformationen (dies wird in einem wichtigen Satz genauer formuliert durch schwartz).

Externe Links

• Tabellen der Integraltransformationen auf EqWorld: Die Welt der mathematischen Gleichungen.

Literaturverzeichnis

• A. D. Polyanin und A. V. Manzhirov, Handbuch der Integralgleichungen, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4