WikiDer > Inverses Element

In einem monoid${Anzeigestil(V,*)}$ mit neutrales Element${displaystyle e}$, das Element heißt ${displaystyle b}$ ein inverses Element oder symmetrisches Element des Elements ${Anzeigestil a}$ wenn:

${Anzeigestil b*a=e=a*b}$

Das inverse Element ist eindeutig bestimmt, denn angenommen ${displaystyle b}$ und ${Anzeigestil c}$ beide inverse Elemente sind von ${Anzeigestil a}$, dann ist:

${Anzeigestil c=c*e=c*a*b=e*b=b}$

Es ist daher üblich, das inverse Element von zu verwenden ${Anzeigestil a}$ angegeben werden als ${Displaystil a^{-1}}$.

Eigenschaften

Aus der Definition folgt, dass das Element ${Anzeigestil a}$ die Umkehrung ist von ${Displaystil a^{-1}}$.

Die Umkehrung von ${Anzeigestil a*b}$ ist ${displaystyle b^{-1}*a^{-1}}$ Letztendlich ${displaystyle a*(b*b^{-1})*a^{-1}=a*e*a^{-1}=a*a^{-1}=e}$

Beispiele

• In der Sammlung der ganze Zahlen mit der bearbeiten summieren ist ${displaystyle -a}$ das inverse Element von ${Anzeigestil a}$.

${Anzeigestil 5 (-5)=0}$

• In der Sammlung der reale Nummern ohne 0 mit der Operation Multiplikation ist ${displaystyle a^{-1}=1/a}$ das inverse Element von ${Anzeigestil a}$.

${displaystyle 3imes { frac {1}{3}}=1}$

Siehe auch

• Absorptionselement
• Idempotentes Element
• Neutrales Element