WikiDer > Kravchuk polinomlari

Kravchuk polynomials

Kravchuk polinomlari yoki Krawtchouk polinomlari (shuningdek, "Kravchuk" ukrain familiyasining bir nechta boshqa translyatsiyalari yordamida yozilgan) diskret ortogonal polinomlar bilan bog'liq binomial taqsimottomonidan kiritilgan Myxaylo Kravchuk (1929Birinchi bir nechta polinomlar (uchun q=2):

${displaystyle {mathcal {K}} _ {0} (x; n) = 1}$
${displaystyle {mathcal {K}} _ {1} (x; n) = - 2x + n}$
${displaystyle {mathcal {K}} _ {2} (x; n) = 2x ^ {2} -2nx + {n tanlang 2}}$
${displaystyle {mathcal {K}} _ {3} (x; n) = - {frac {4} {3}} x ^ {3} + 2nx ^ {2} - (n ^ {2} -n + {frac {2} {3}}) x + {n 3} ni tanlang.}$

Kravchuk polinomlari - bu maxsus holat Meixner polinomlari birinchi turdagi.

Ta'rif

Har qanday kishi uchun asosiy kuch q va musbat tamsayı n, Kravchuk polinomini aniqlang

{displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = {mathcal {K}} _ {k} (x) = sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} (q-1) ^ {kj} {inom {x} {j}} {inom {nx} {kj}}, to'rtlik k = 0,1, ldots, n.}

Xususiyatlari

Kravchuk polinomida quyidagi muqobil iboralar mavjud:

{displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = sum _ {j = 0} ^ {k} (- q) ^ {j} (q-1) ^ {kj} {inom {nj} {kj}} {inom {x} {j}}.}

{displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} q ^ {kj} {inom {n-k + j} {j}} {inom {nx} {kj}}.}

Simmetriya munosabatlari

Butun sonlar uchun ${displaystyle i, kgeq 0}$ , bizda shunday

{displaystyle {egin {aligned} (q-1) ^ {i} {n tanlang i} {mathcal {K}} _ {k} (i; n, q) = (q-1) ^ {k} {n k} {mathcal {K}} _ {i} (k; n, q) ni tanlang .end {hizalangan}}}

Ortogonallik munosabatlari

Salbiy bo'lmagan butun sonlar uchun r, s,

{displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {inom {n} {i}} (q-1) ^ {i} {mathcal {K}} _ {r} (i; n, q) {mathcal {K}} _ {s} (i; n, q) = q ^ {n} (q-1) ^ {r} {inom {n} {r}} delta _ {r, s}.}

Yaratuvchi funktsiya

The ishlab chiqaruvchi seriyalar Kravchuk polinomlarining soni quyida keltirilgan. Bu yerda ${displaystyle z}$ rasmiy o'zgaruvchidir.

{displaystyle {egin {aligned} (1+ (q-1) z) ^ {nx} (1-z) ^ {x} & = sum _ {k = 0} ^ {infty} {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) {z ^ {k}}. oxiri {hizalanmış}}}

Shuningdek qarang

Hermit polinomlari

Adabiyotlar

Kravchuk, M. (1929), "Sur une généralisation des polynomes d'Hermite.", Comptes Rendus Mathématique (frantsuz tilida), 189: 620–622, JFM 55.0799.01
Koornwinder, Tom X.; Vong, Roderik S. S.; Koekoek, Roelof; Svartov, René F. (2010), "Hahn Class: Ta'riflar", yilda Olver, Frank V. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Klark, Charlz V. (tahr.), NIST Matematik funktsiyalar bo'yicha qo'llanma, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 978-0-521-19225-5, JANOB 2723248
Nikiforov, A. F.; Suslov, S. K .; Uvarov, V. B. (1991), Diskret o'zgaruvchining klassik ortogonal polinomlari, Hisoblash fizikasidagi Springer seriyasi, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51123-7, JANOB 1149380.
Levenshtein, Vladimir I. (1995), "Krawtchouk polinomlari va Hamming bo'shliqlarida kodlar va dizaynlar uchun universal chegaralar", Axborot nazariyasi bo'yicha IEEE operatsiyalari, 41 (5): 1303–1321, doi:10.1109/18.412678, JANOB 1366326.
MacWilliams, F. J .; Sloane, N. J. A. (1977), Xatolarni tuzatish kodlari nazariyasi, Shimoliy Gollandiya, ISBN 0-444-85193-3

Navigation