WikiDer > Kronecker limit formulasi

Matematikada klassik Kronecker limit formulasi at doimiy atamasini tavsiflaydi s = A haqiqiy analitik Eyzenshteyn seriyasi (yoki Epstein zeta funktsiyasi) jihatidan Dedekind eta funktsiyasi. Uning yanada murakkab Eyzenshteyn seriyasiga oid ko'plab umumlashmalari mavjud. Bu nomlangan Leopold Kronecker.

Kroneckerning birinchi formulasi

(Birinchi) Kronecker limit formulasida aytilgan

${displaystyle E (au, s) = {pi over s-1} + 2pi (gamma -log (2) -log ({sqrt {y}} | eta (au) | ^ {2})) + O (s) -1),}$

qayerda

• E(τ,s) tomonidan berilgan haqiqiy analitik Eyzenshteyn qatori

${displaystyle E (au, s) = sum _ {(m, n) eq (0,0)} {y ^ {s} | m au + n | ^ {2s}}}$

uchun Re (s)> 1 va kompleks sonning boshqa qiymatlari uchun analitik davomi bilan s.

• γ bo'ladi Eyler-Maskeroni doimiysi
• b = x + iy bilan y > 0.
• ${displaystyle eta (au) = q ^ {1/24} prod _ {ngeq 1} (1-q ^ {n})}$, bilan q = e^{2π i τ} bo'ladi Dedekind eta funktsiyasi.

Shunday qilib, Eyzenshteyn seriyasida qutb bor s = 1 qoldiq π, va (birinchi) Kronekker limit formulasi ning doimiy muddatini beradi Loran seriyasi bu qutbda.

Ikkinchi Kronecker limit formulasi

Ikkinchi Kronecker limit formulasida shunday deyilgan

${displaystyle E_ {u, v} (au, 1) = - 2pi log | f (u-v au; au) q ^ {v ^ {2} / 2} |,}$

qayerda

• siz va v haqiqiy va ikkala butun son emas.
• q = e^{2π i τ} va q^a = e^{2π i aτ}
• p = e^{2π i z} va p^a = e^{2π i az}
• ${displaystyle E_ {u, v} (au, s) = sum _ {(m, n) eq (0,0)} e ^ {2pi i (mu + nv)} {y ^ {s} | m au + n | ^ {2s}}}$

uchun Re (s)> 1 va kompleks sonning boshqa qiymatlari uchun analitik davomi bilan aniqlanadi s.

• ${displaystyle f (z, au) = q ^ {1/12} (p ^ {1/2} -p ^ {- 1/2}) prod _ {ngeq 1} (1-q ^ {n} p) (1-q ^ {n} / p).}$

Shuningdek qarang

• Herglotz-Zagier funktsiyasi

Adabiyotlar

• Serj Lang, Elliptik funktsiyalar, ISBN 0-387-96508-4
• C. L. Siegel, Raqamlarning analitik nazariyasi bo'yicha ma'ruzalar, Tata instituti 1961 yil.

Tashqi havolalar

• 0-bob. Pdf^{[o'lik havola]}