WikiDer > Legendre ratsional funktsiyalari

Legendr n = 0,1,2 va 3 uchun ratsional funktsiyalar uchastkasi x 0,01 dan 100 gacha.

Yilda matematika The Legendre ratsional funktsiyalari ning ketma-ketligi ortogonal funktsiyalar [0, ∞) da. Ular quyidagilarni tuzish orqali olinadi Keyli o'zgarishi bilan Legendre polinomlari.

Darajaning oqilona Legendre funktsiyasi n quyidagicha aniqlanadi:

${displaystyle R_ {n} (x) = {frac {sqrt {2}} {x + 1}}, P_ {n} chap ({frac {x-1} {x + 1}} ight)}$

qayerda ${displaystyle P_ {n} (x)}$ Legendre polinomidir. Ushbu funktsiyalar o'ziga xos funktsiyalar birlik Shturm-Liovil muammosi:

${displaystyle (x + 1) qisman _ {x} (xpartial _ {x} ((x + 1) v (x))) + lambda v (x) = 0}$

o'zgacha qiymatlar bilan

${displaystyle lambda _ {n} = n (n + 1),}$

Xususiyatlari

Birinchi turdagi Legendre polinomlarining xususiyatlaridan ko'plab xususiyatlarni olish mumkin. Boshqa xususiyatlar funktsiyalarning o'ziga xosdir.

Rekursiya

${displaystyle R_ {n + 1} (x) = {frac {2n + 1} {n + 1}}, {frac {x-1} {x + 1}}, R_ {n} (x) - {frac {n} {n + 1}}, R_ {n-1} (x) to'rtlik matematik {for, ngeq 1}}$

va

${displaystyle 2 (2n + 1) R_ {n} (x) = (x + 1) ^ {2} (qisman _ {x} R_ {n + 1} (x) -partial _ {x} R_ {n- 1} (x)) + (x + 1) (R_ {n + 1} (x) -R_ {n-1} (x))}$

Xatti-harakatni cheklash

Ettinchi buyurtma uchastkasi (n = 7) Legendre ratsional funktsiyasi ko'paytiriladi 1 + x uchun x 0,01 dan 100 gacha. E'tibor bering n nolga teng nosimmetrik tarzda joylashtirilgan x = 1 va agar x₀ nolga teng, keyin 1 / x₀ nolga teng. Ushbu xususiyatlar barcha buyurtmalar uchun amal qiladi.

Buni ko'rsatish mumkin

${displaystyle lim _ {xightarrow infty} (x + 1) R_ {n} (x) = {sqrt {2}}}$

va

${displaystyle lim _ {xightarrow infty} xpartial _ {x} ((x + 1) R_ {n} (x)) = 0}$

Ortogonallik

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {m} (x), R_ {n} (x), dx = {frac {2} {2n + 1}} delta _ {nm}}$

qayerda ${displaystyle delta _ {nm}}$ bo'ladi Kronekker deltasi funktsiya.

Maxsus qiymatlar

${displaystyle R_ {0} (x) = 1,}$

${displaystyle R_ {1} (x) = {frac {x-1} {x + 1}},}$

${displaystyle R_ {2} (x) = {frac {x ^ {2} -4x + 1} {(x + 1) ^ {2}}},}$

${displaystyle R_ {3} (x) = {frac {x ^ {3} -9x ^ {2} + 9x-1} {(x + 1) ^ {3}}},}$

${displaystyle R_ {4} (x) = {frac {x ^ {4} -16x ^ {3} + 36x ^ {2} -16x + 1} {(x + 1) ^ {4}}},}$

Adabiyotlar

Chjun-Tsin, Vang; Ben-Yu, Guo (2005). "Siqilmas yopishqoq suyuqlik uchun cheksiz chiziqdagi aralash spektral usul". Mat Apl. Hisoblash. 24 (3). doi:10.1590 / S0101-82052005000300002.