WikiDer > Π ni o'z ichiga olgan formulalar ro'yxati

Quyidagi o'z ichiga olgan muhim formulalar ro'yxati matematik doimiy π. Ro'yxat faqat formulalarni o'z ichiga oladi, ularning ahamiyati formulaning o'zi, maqoladagi maqolada belgilanadi Piyoki maqola Taxminan π.

Evklid geometriyasi

${ displaystyle pi = { frac {C} {d}}}$

qayerda C bo'ladi atrofi a doira, d bo'ladi diametri.

${ displaystyle A = pi r ^ {2}}$

qayerda A bo'ladi doira maydoni va r bo'ladi radius.

${ displaystyle V = {4 over 3} pi r ^ {3}}$

qayerda V hajmi a soha va r radiusi.

${ displaystyle SA = 4 pi r ^ {2}}$

qayerda SA bu sharning sirt maydoni va r radiusi.

Fizika

• The kosmologik doimiy:

${ displaystyle Lambda = {{8 pi G} ustidan {3c ^ {2}}} rho}$

• Geyzenbergning noaniqlik printsipi:

${ displaystyle Delta x , Delta p geq { frac {h} {4 pi}}}$

• Eynshteynning maydon tenglamasi ning umumiy nisbiylik:

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} g _ { mu nu} R + Lambda g _ { mu nu} = {8 pi G over c ^ {4 }} T _ { mu nu}}$

• Kulon qonuni uchun elektr kuchi:

${ displaystyle F = { frac {| q_ {1} q_ {2} |} {4 pi varepsilon _ {0} r ^ {2}}}}$

• Erkin bo'shliqning magnit o'tkazuvchanligi:

${ displaystyle mu _ {0} = 4 pi cdot 10 ^ {- 7} , mathrm {N} / mathrm {A} ^ {2}}$

• Oddiy davr mayatnik kichik amplituda:

${ displaystyle T taxminan 2 pi { sqrt { frac {L} {g}}}}$

• Keplerning sayyoralar harakatining uchinchi qonuni:

${ displaystyle { frac {R ^ {3}} {T ^ {2}}} = { frac {GM} {4 pi ^ {2}}}}$

• The buklanish formula:

${ displaystyle F = { frac { pi ^ {2} EI} {L ^ {2}}}}$

Formulalar π

Integrallar

${ displaystyle 2 int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {1-x ^ {2}}} , dx = pi}$ (ikkita yarmini birlashtirish ${ displaystyle y (x) = { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}$ radius doirasining maydonini olish uchun ${ displaystyle r = 1}$)

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operator nomi {sech} (x) , dx = pi}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {t} ^ { infty} e ^ {- 1 / 2t ^ {2} -x ^ {2} + xt} , dx , dt = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {t} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2} -1 / 2x ^ {2} + xt} , dx , dt = pi}$

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {dx} { sqrt {1-x ^ {2}}}} = pi}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} = pi}$ (ajralmas shakli Arktan davri berilib, uning butun domeni bo'ylab sarg'ish).

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi}}}$ (qarang Gauss integrali).

${ displaystyle oint { frac {dz} {z}} = 2 pi i}$ (integratsiya yo'li soatiga teskari yo'nalishda bir marta 0 atrofida aylanganda ham qarang Koshining integral formulasi).

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = pi}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} {x ^ {4} (1-x) ^ {4} over 1 + x ^ {2}} , dx = {22 over 7} - pi}$ (Shuningdek qarang 22/7 dan oshib ketganligining isboti π).

Nosimmetrik integrallar bilan e'tibor bering ${ displaystyle f (-x) = f (x)}$, shaklning formulalari ${ displaystyle int _ {- a} ^ {a} f (x) , dx}$ shuningdek formulalarga tarjima qilish mumkin ${ displaystyle 2 int _ {0} ^ {a} f (x) , dx}$.

Samarali cheksiz seriyalar

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {k!} {(2k + 1) !!}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {2 ^ {k} k! ^ {2}} {(2k + 1)!}} = { Frac { pi} {2}}}$ (Shuningdek qarang Ikkala faktorial)

${ displaystyle 12 sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (k!) ^ { 3} 640320 ^ {3k + 3/2}}} = { frac {1} { pi}}}$ (qarang Chudnovskiy algoritmi)

${ displaystyle { frac {2 { sqrt {2}}} {9801}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {{k !) ^ {4} 396 ^ {4k}}} = { frac {1} { pi}}}$ (qarang Srinivasa Ramanujan, Ramanujan - Sato seriyasi)

Ning ixtiyoriy ikkilik raqamlarini hisoblash uchun quyidagilar samarali bo'ladi π:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {16 ^ {k}}} chap ({ frac {4} {8k + 1}} - { frac { 2} {8k + 4}} - { frac {1} {8k + 5}} - { frac {1} {8k + 6}} right) = pi}$ (qarang Beyli-Borwein-Plouffe formulasi)

${ displaystyle { frac {1} {2 ^ {6}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {{(-1)} ^ {n}} {2 ^ {10n }}} chap (- { frac {2 ^ {5}} {4n + 1}} - { frac {1} {4n + 3}} + { frac {2 ^ {8}} {10n + 1}} - { frac {2 ^ {6}} {10n + 3}} - { frac {2 ^ {2}} {10n + 5}} - { frac {2 ^ {2}} {10n +7}} + { frac {1} {10n + 9}} right) = pi}$

Boshqa cheksiz seriyalar

${ displaystyle zeta (2) = { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2 }}} + { frac {1} {4 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {6}}}$ (Shuningdek qarang Bazel muammosi va Riemann zeta funktsiyasi)

${ displaystyle zeta (4) = { frac {1} {1 ^ {4}}} + { frac {1} {2 ^ {4}}} + { frac {1} {3 ^ {4 }}} + { frac {1} {4 ^ {4}}} + cdots = { frac { pi ^ {4}} {90}}}$

${ displaystyle zeta (2n) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {2n}}} , = { frac {1} {1 ^ {2n }}} + { frac {1} {2 ^ {2n}}} + { frac {1} {3 ^ {2n}}} + { frac {1} {4 ^ {2n}}} + cdots = (- 1) ^ {n + 1} { frac {B_ {2n} (2 pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}$ , qayerda B_2n a Bernulli raqami.

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {3 ^ {n} -1} {4 ^ {n}}} , zeta (n + 1) = pi}$^[1]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {7}} + { frac {1} {9}} - cdots = arctan {1} = { frac { pi} {4 }}}$ (qarang Leybnits pi uchun formulasi)

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ { 2}}} - { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} - { frac {1} {4 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {12}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {(2n) ^ {2}}} = { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {4 ^ {2}}} + { frac {1} {6 ^ {2}}} + { frac {1} {8 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {24}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} o'ng) ^ {2} = { frac { 1} {1 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + { frac {1} {5 ^ {2}}} + { frac {1} {7 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {8}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} o'ng) ^ {3} = { frac { 1} {1 ^ {3}}} - { frac {1} {3 ^ {3}}} + { frac {1} {5 ^ {3}}} - { frac {1} {7 ^ {3}}} + cdots = { frac { pi ^ {3}} {32}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} o'ng) ^ {4} = { frac { 1} {1 ^ {4}}} + { frac {1} {3 ^ {4}}} + { frac {1} {5 ^ {4}}} + { frac {1} {7 ^ {4}}} + cdots = { frac { pi ^ {4}} {96}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} o'ng) ^ {5} = { frac { 1} {1 ^ {5}}} - { frac {1} {3 ^ {5}}} + { frac {1} {5 ^ {5}}} - { frac {1} {7 ^ {5}}} + cdots = { frac {5 pi ^ {5}} {1536}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} o'ng) ^ {6} = { frac { 1} {1 ^ {6}}} + { frac {1} {3 ^ {6}}} + { frac {1} {5 ^ {6}}} + { frac {1} {7 ^ {6}}} + cdots = { frac { pi ^ {6}} {960}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(4n + 1) (4n + 3)}} = { frac {1} {1 cdot 3}} + { frac {1} {5 cdot 7}} + { frac {1} {9 cdot 11}} + cdots = { frac { pi} {8}}}$

${ displaystyle pi = 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {4}} - { frac {1} {5} } + { frac {1} {6}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {8}} + { frac {1} {9}} - { frac { 1} {10}} + { frac {1} {11}} + { frac {1} {12}} - { frac {1} {13}} + cdots}$ (Eyler, 1748)

Dastlabki ikkita haddan keyin belgilar quyidagicha aniqlanadi: Agar maxraj 4-shaklning tubi bo'lsam - 1, belgisi ijobiy; agar maxraj 4-shakldagi tub son bo'lsam + 1, belgisi salbiy; kompozit sonlar uchun belgi uning omillari belgilarining ko'paytmasiga tengdir.^[2]

Shuningdek:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {F_ {2n}} {n ^ {2} { binom {2n} {n}}}} = { frac {4 pi ^ {2}} {25 { sqrt {5}}}}}$

qayerda ${ displaystyle F_ {n}}$ bo'ladi n-chi Fibonachchi raqami.

Tegishli ba'zi formulalar π va garmonik sonlar berilgan Bu yerga.

Mashinaga o'xshash formulalar

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = arctan 1}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = arctan { frac {1} {2}} + arctan { frac {1} {3}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 2 arctan { frac {1} {2}} - arctan { frac {1} {7}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 2 arctan { frac {1} {3}} + arctan { frac {1} {7}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 4 arctan { frac {1} {5}} - arctan { frac {1} {239}}}$ (asl nusxasi Machinning formula)

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 5 arctan { frac {1} {7}} + 2 arctan { frac {3} {79}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 6 arctan { frac {1} {8}} + 2 arctan { frac {1} {57}} + arctan { frac {1 } {239}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 12 arctan { frac {1} {49}} + 32 arctan { frac {1} {57}} - 5 arctan { frac { 1} {239}} + 12 arctan { frac {1} {110443}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 44 arctan { frac {1} {57}} + 7 arctan { frac {1} {239}} - 12 arctan { frac { 1} {682}} + 24 arctan { frac {1} {12943}}}$

${ displaystyle { frac { pi} {2}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} arctan { frac {1} {F_ {2n + 1}}} = arctan { frac {1} {1}} + arctan { frac {1} {2}} + arctan { frac {1} {5}} + arctan { frac {1} {13}} + cdots }$

qayerda ${ displaystyle F_ {n}}$ bo'ladi n-chi Fibonachchi raqami.

Cheksiz seriyalar

$ Delta $ ishtirokidagi ba'zi cheksiz qatorlar:^[3]

${ displaystyle pi = { frac {1} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {((2n)!) ^ {3} (42n + 5)} {(n!) ^ {6} {16}) ^ {3n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (4n)! (21460n + 1123)} {(n!) ^ {4} { 441} ^ {2n + 1} {2} ^ {10n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(6n + 1) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} ^ {3 }} {{4 ^ {n}} (n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {32} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {{ sqrt {5}} - 1} {2}} o'ng) ^ {8n} { frac { (42n { sqrt {5}} + 30n + 5 { sqrt {5}} - 1) chap ({ frac {1} {2}} o'ng) _ {n} ^ {3}} {{ 64 ^ {n}} (n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {27} {4Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {2} {27}} o'ng) ^ {n} { frac {(15n + 2) chap ( { frac {1} {2}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {1} {3}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {2} {3}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {15 { sqrt {3}}} {2Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {4} {125}} o'ng) ^ {n} { frac {(33n + 4) chap ( { frac {1} {2}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {1} {3}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {2} {3}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {85 { sqrt {85}}} {18 { sqrt {3}} Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {4} {85}} o'ng) ^ {n} { frac {(133n + 8) chap ( { frac {1} {2}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {1} {6}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {5} {6}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {5 { sqrt {5}}} {2 { sqrt {3}} Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} chap ({ frac {4} {125}} o'ng) ^ {n} { frac {(11n + 1) chap ( { frac {1} {2}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {1} {6}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {5} {6}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {2 { sqrt {3}}} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(8n + 1) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {3} {4}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3} {9} ^ {n}}}}$
${ displaystyle pi = { frac { sqrt {3}} {9Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(40n + 3) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {3} {4}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3} {49} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {2 { sqrt {11}}} {11Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(280n + 19) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {3} {4}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3} {99} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac { sqrt {2}} {4Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(10n + 1) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {3} {4}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3} {9} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4 { sqrt {5}}} {5Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(644n + 41) left ({ frac {1} {2}} right) _ {n} left ( { frac {1} {4}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {3} {4}} o'ng) _ {n}} {(n!) ^ {3} 5 ^ { n} {72} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4 { sqrt {3}}} {3Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (28n + 3) left ({ frac {1} {2}} right) ) _ {n} chap ({ frac {1} {4}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {3} {4}} o'ng) _ {n}} {(n! ) {{3} {3 ^ {n}} {4} ^ {n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {4} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (20n + 3) left ({ frac {1} {2}} right) ) _ {n} chap ({ frac {1} {4}} o'ng) _ {n} chap ({ frac {3} {4}} o'ng) _ {n}} {(n! ) {{3} {2} ^ {2n + 1}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {72} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (4n)! (260n + 23)} {(n!) ^ {4} 4 ^ {4n} 18 ^ {2n}}}}$
${ displaystyle pi = { frac {3528} {Z}}}$	${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (4n)! (21460n + 1123)} {(n!) ^ {4} 4 ^ {4n} 882 ^ {2n}}}}$

qayerda ${ displaystyle (x) _ {n}}$ bo'ladi Pochhammer belgisi ko'tarilayotgan faktorial uchun. Shuningdek qarang Ramanujan - Sato seriyasi.

Cheksiz mahsulotlar

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = chap ( prod _ {p equiv 1 { pmod {4}}} { frac {p} {p-1}} o'ng) cdot chap ( prod _ {p equiv 3 { pmod {4}}} { frac {p} {p + 1}} o'ng) = { frac {3} {4}} cdot { frac {5} {4}} cdot { frac {7} {8}} cdot { frac {11} {12}} cdot { frac {13} {12}} cdots,}$ (Eyler)

bu erda raqamlar toq sonlar; har bir maxraj - bu songa yaqin bo'lgan to'rtlikning ko'paytmasi.

${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} { frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} = { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {6} {5}} cdot { frac {6} {7}} cdot { frac {8} {7}} cdot { frac {8} {9}} cdots = { frac {4} {3}} cdot { frac { 16} {15}} cdot { frac {36} {35}} cdot { frac {64} {63}} cdots = { frac { pi} {2}}}$ (Shuningdek qarang Wallis mahsuloti)

Vite formulasi:

${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}} cdot { frac { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} {2}} cdot { frac { sqrt { 2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} {2}} cdot cdots = { frac {2} { pi}}}$

Arktangens formulalar

${ displaystyle { frac { pi} {2 ^ {k + 1}}} = arctan { frac { sqrt {2-a_ {k-1}}} {a_ {k}}}, qquad qquad k geq 2}$

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = sum _ {k geq 2} arctan { frac { sqrt {2-a_ {k-1}}} {a_ {k}}} ,}$

qayerda ${ displaystyle a_ {k} = { sqrt {2 + a_ {k-1}}}}$ shu kabi ${ displaystyle a_ {1} = { sqrt {2}}}$.

Davomiy kasrlar

${ displaystyle pi = {3 + { cfrac {1 ^ {2}} {6 + { cfrac {3 ^ {2}} {6 + { cfrac {5 ^ {2}} {6 + { cfrac {7 ^ {2}} {6+ ddots ,}}}}}}}}}}}$

${ displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {3 + { cfrac {2 ^ {2}} {5 + { cfrac {3 ^ {2} } {7 + { cfrac {4 ^ {2}} {9+ ddots}}}}}}}}}}}}$

${ displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2 + { cfrac {5 ^ {2} } {2 + { cfrac {7 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}}}}}}}}$

${ displaystyle 2 pi = {6 + { cfrac {2 ^ {2}} {12 + { cfrac {6 ^ {2}} {12 + { cfrac {10 ^ {2}} {12+ { cfrac {14 ^ {2}} {12 + { cfrac {18 ^ {2}} {12+ ddots}}}}}}}}}}}}}$

Uchinchi shaxs haqida ko'proq ma'lumot olish uchun qarang Eylerning davom etgan fraksiya formulasi.

(Shuningdek qarang Davomi kasr va Umumlashtirilgan davom etgan fraktsiya.)

Turli xil

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} chap ({ frac {n} {e}} o'ng) ^ {n}}$ (Stirlingning taxminiy qiymati)

${ displaystyle e ^ {i pi} + 1 = 0}$ (Eylerning shaxsi)

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} varphi (k) sim { frac {3n ^ {2}} { pi ^ {2}}}}$ (qarang Eylerning totient funktsiyasi)

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac { varphi (k)} {k}} sim { frac {6n} { pi ^ {2}}}}$ (qarang Eylerning totient funktsiyasi)

${ displaystyle Gamma left ({1 over 2} right) = { sqrt { pi}}}$ (Shuningdek qarang Gamma funktsiyasi)

${ displaystyle pi = { frac { Gamma chap ({1/4} o'ng) ^ {4/3} operator nomi {agm} (1, { sqrt {2}}) ^ {2/3 }} {2}}}$ (bu erda agm o'rtacha arifmetik - geometrik o'rtacha)

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { frac {1} {n ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} (n { bmod {k}}) = 1 - { frac { pi ^ {2}} {12}}}$ (qayerda ${ textstyle n { bmod {k}}}$ bo'ladi qoldiq bo'linishi bilan n tomonidank)

${ displaystyle pi = lim _ {n rightarrow infty} { frac {4} {n ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} { sqrt {n ^ {2 } -k ^ {2}}}}$ (Riman summasi birlik doirasini baholash uchun)

${ displaystyle pi = lim _ {n rightarrow infty} { frac {2 ^ {4n}} {n {2n select n} ^ {2}}}}$ (tomonidan Stirlingning taxminiy qiymati)

Shuningdek qarang

• Bilan bog'liq mavzular ro'yxati π

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Piter Borwein, Ajoyib raqamli Pi
• Kazuya Kato, Nobushige Kurokava, Saito Takeshi: Raqamlar nazariyasi 1: Fermaning tushi. Amerika Matematik Jamiyati, Providence 1993, ISBN 0-8218-0863-X.