WikiDer > Loewnerning differentsial tenglamasi

Yilda matematika, Loewnerning differentsial tenglamasi, yoki Loewner tenglamasi, bu oddiy differentsial tenglama tomonidan kashf etilgan Charlz Lovner 1923 yilda kompleks tahlil va geometrik funktsiyalar nazariyasi. Dastlab yoriqlar xaritalarini o'rganish uchun kiritilgan (konformal xaritalar ning ochiq disk ustiga murakkab tekislik egri chiziq bilan 0 dan ∞ gacha olib tashlangan), keyinchalik Lewner usuli 1943 yilda rus matematikasi Pavel Parfenevich Kufarev (1909-1968) tomonidan ishlab chiqilgan. Ma'nosida doimiy ravishda kengayib boradigan murakkab tekislikdagi har qanday domenlar oilasi Karateodori butun tekislikka a deb nomlangan konformal xaritalashlarning bir parametrli oilasiga olib keladi Loewner zanjiri, shuningdek, ikkita parametr oilasi holomorfik o'zaro xaritalarni bir xilda tasvirlash ning birlik diskdeb nomlangan Loewner yarim guruhi. Ushbu yarim guruh diskdagi vaqtga bog'liq bo'lgan holomorfik vektor maydoniga mos keladi, bu diskdagi holomorf funktsiyalarning bitta parametr oilasi tomonidan berilgan. Loewner yarim guruhi a tushunchasini umumlashtiradi birlamchi yarim guruh.

Lovnerning differentsial tenglamasi echimida muhim rol o'ynagan bir xil bo'lmagan funktsiyalar uchun tengsizlikka olib keldi. Biberbaxning gumoni tomonidan Lui de Branj 1985 yilda Loewnerning o'zi 1923 yilda uchinchi koeffitsient uchun taxminni isbotlash uchun o'z texnikasidan foydalangan. The Shramm-Lyuner tenglamasi, tomonidan topilgan Loewner differentsial tenglamasining stoxastik umumlashtirilishi Oded Shramm 1990-yillarning oxirida keng rivojlangan ehtimollik nazariyasi va konformal maydon nazariyasi.

Subordinatsiyalangan univalent funktsiyalar

Ruxsat bering f va g bo'lishi holomorfik bir xil funktsiyalar birlik diskida D., |z| <1, bilan f(0) = 0 = g(0).

f deb aytilgan bo'ysunuvchi ga g agar $ phi $ ning teng bo'lmagan xaritasi mavjud bo'lsa D. o'z ichiga 0 ni o'rnatadi

${ displaystyle displaystyle {f (z) = g ( varphi (z))}}$

uchun |z| < 1.

Bunday xaritalashning mavjud bo'lishi uchun zarur va etarli shart - bu

${ displaystyle f (D) subseteq g (D).}$

Zarurlik darhol.

Aksincha φ quyidagicha belgilanishi kerak

${ displaystyle displaystyle { varphi (z) = g ^ {- 1} (f (z)).}}$

Ta'rifi bo'yicha $ mathbb {L} $ o'zaro xaritalashning bir xil bo'lmagan holomorfidir D. ph (0) = 0 bilan.

Bunday xarita 0 <| φ '(0) | ni qondirganligi sababli ≤ 1 va har bir diskni oladi D._r, |z| r <1, o'z-o'zidan, bundan kelib chiqadi

${ displaystyle displaystyle {| f ^ { prime} (0) | leq | g ^ { prime} (0) |}}$

va

${ displaystyle displaystyle {f (D_ {r}) subseteq g (D_ {r}).}}$

Loewner zanjiri

0 For uchun t ≤ ∞ ruxsat bering U(t) ochiq bog'langan va oddiygina bog'langan kichik guruhlar oilasi bo'lish C o'z ichiga olgan 0, shunday qilib

${ displaystyle U (s) subsetneq U (t)}$

agar s < t,

${ displaystyle U (t) = bigcup _ {s$

va

${ displaystyle U ( infty) = { mathbb {C}}.}$

Shunday qilib, agar ${ displaystyle s_ {n} uparrow t}$,

${ displaystyle U (s_ {n}) rightarrow U (t)}$

ma'nosida Karateodori yadrosi teoremasi.

Agar D. birlik diskini bildiradi C, bu teorema noyob bir xil xaritalarni nazarda tutadi f_t(z)

${ displaystyle f_ {t} (D) = U (t), , , , f_ {t} (0) = 0, , , , kısalt _ {z} f_ {t} (0 ) = 1}$

tomonidan berilgan Riemann xaritalash teoremasi bor bir xilda uzluksiz ixcham pastki to'plamda ${ displaystyle [0, infty) times D}$.

Bundan tashqari, funktsiya ${ displaystyle a (t) = f_ {t} ^ { prime} (0)}$ ijobiy, uzluksiz, qat'iy ravishda ko'payib boradi va doimiydir.

Reparametrizatsiya bilan buni taxmin qilish mumkin

${ displaystyle f_ {t} ^ { prime} (0) = e ^ {t}.}$

Shuning uchun

${ displaystyle f_ {t} (z) = e ^ {t} z + a_ {2} (t) z ^ {2} + cdots}$

Bir xil bo'lmagan xaritalar f_t(z) a deyiladi Loewner zanjiri.

The Koeb buzilish teoremasi zanjir haqidagi bilim ochiq to'plamlarning xususiyatlariga teng ekanligini ko'rsatadi U(t).

Loewner yarim guruhi

Agar f_t(z) Loewner zanjiri, keyin

${ displaystyle displaystyle {f_ {s} (D) subsetneq f_ {t} (D)}}$

uchun s < t shunday qilib diskning o'ziga xos yagona birlashtiruvchi o'z-o'zini xaritasi mavjud φ_{s, t}(z) 0 ni tuzatish

${ displaystyle displaystyle {f_ {s} (z) = f_ {t} ( varphi _ {s, t} (z)).}}$

O'ziga xosligi bo'yicha xaritalar φ_{s, t} quyidagi yarim guruh xususiyatiga ega:

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {t, r} circ varphi _ {s, t} = varphi _ {s, r}}}$

uchun s ≤ t ≤ r.

Ular a Loewner yarim guruhi.

O'z-o'zini xaritalar doimiy ravishda bog'liqdir s va t va qondirish

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {t, t} (z) = z.}}$

Loewnerning differentsial tenglamasi

The Loewnerning differentsial tenglamasi Loewner yarim guruhi uchun yoki teng ravishda Loewner zanjiri uchun olinishi mumkin.

Yarim guruh uchun ruxsat bering

${ displaystyle displaystyle {w_ {s} (z) = kısalt _ {t} varphi _ {s, t} (z) | _ {t = s}}}$

keyin

${ displaystyle displaystyle {w_ {s} (z) = - zp_ {s} (z)}}$

bilan

${ displaystyle displaystyle { Re , p_ {s} (z)> 0}}$

uchun |z| < 1.

Keyin w(t) = φ_{s, t}(z) qoniqtiradi oddiy differentsial tenglama

${ displaystyle displaystyle {{dw over dt} = - wp_ {t} (w)}}$

dastlabki shart bilan w(s) = z.

Loewner zanjiri tomonidan qondirilgan differentsial tenglamani olish uchun f_t(z) yozib oling

${ displaystyle displaystyle {f_ {t} (z) = f_ {s} ( varphi _ {s, t} (z))}}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida f_t(z) differentsial tenglamani qondiradi

${ displaystyle displaystyle { kısalt _ {t} f_ {t} (z) = zp_ {t} (z) qisman _ {z} f_ {t} (z)}}$

dastlabki shart bilan

${ displaystyle displaystyle {f_ {t} (z) | _ {t = 0} = f_ {0} (z).}}$

The Pikard-Lindelef teoremasi chunki oddiy differentsial tenglamalar ushbu tenglamalar echilishi va echimlar holomorf bo'lganligiga kafolat beradi z.

Loewner zanjiri Loewner yarim guruhidan limitga o'tish orqali tiklanishi mumkin:

${ displaystyle displaystyle {f_ {s} (z) = lim _ {t rightarrow infty} e ^ {t} phi _ {s, t} (z).}}$

Va nihoyat har qanday bir xil o'zaro xaritalash berilgan ψ (z) ning D., 0 ni o'rnatgan holda, Loewner yarim guruhini qurish mumkin possible_{s, t}(z) shu kabi

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {0,1} (z) = psi (z).}}$

Xuddi shunday univalentli funktsiya berilgan g kuni D. bilan g(0) = 0, shunday g(D.) yopiq blok diskini o'z ichiga oladi, Loewner zanjiri mavjud f_t(z) shu kabi

${ displaystyle displaystyle {f_ {0} (z) = z, , , , f_ {1} (z) = g (z).}}$

Ushbu turdagi natijalar are yoki bo'lsa darhol paydo bo'ladi g doimiy ravishda ∂ ga qadar uzaytiringD.. Ular xaritalarni almashtirish orqali umuman ergashadilar f(z) taxminlar bo'yichaf(rz)/r va keyin standart ixchamlik argumentidan foydalaning.^[1]

Yoritilgan xaritalar

Holomorfik funktsiyalar p(z) ustida D. ijobiy real qism bilan va normalizatsiya qilingan p(0) = 1 Gerglotz vakillik teoremasi:

${ displaystyle displaystyle {p (z) = int _ {0} ^ {2 pi} {1 + e ^ {- i theta} z over 1-e ^ {- i theta} z} , d mu ( theta),}}$

bu erda m - doiradagi ehtimollik o'lchovi. Nuqta o'lchovini olish funktsiyalarni ajratib turadi

${ displaystyle displaystyle {p_ {t} (z) = {1+ kappa (t) z over 1- kappa (t) z}}}$

bilan | κ (t) | = 1, ular birinchi bo'lib ko'rib chiqilgan Loewner (1923).

Birlik diskidagi bir xil bo'lmagan funktsiyalar uchun tengsizlikni ixcham kichik to'plamlarda bir hil konvergentsiya uchun zichlik yordamida isbotlash mumkin. yorilgan xaritalar. Bu birlik diskining murakkab tekislikdagi Iordaniya yoyi bilan konformal xaritalari, cheklangan nuqtani ∞ qoldirilgan bilan bog'laydi. Zichlik quyidagicha qo'llaniladi Karateodori yadrosi teoremasi. Aslida har qanday bir xil funktsiya f(z) funktsiyalar bo'yicha taxminiy hisoblanadi

${ displaystyle displaystyle {g (z) = f (rz) / r}}$

bu birlik doirasini analitik egri chiziqqa olib boradi. Ushbu egri chiziqdagi nuqta Iordaniya yoyi bilan cheksizlikka bog'lanishi mumkin. Tanlangan nuqtaning bir tomoniga analitik egri chiziqning kichik qismini tashlab yuborish natijasida olingan mintaqalar yaqinlashadi g(D.) ning mos keladigan bir xil xaritalari D. ushbu mintaqalarga yaqinlashadi g ixcham to'plamlarda bir xilda.^[2]

Loewner differentsial tenglamasini yoriq funktsiyasiga qo'llash uchun f, tashlab qo'yilgan Iordaniya yoyi v(t) sonli nuqtadan ∞ gacha parametrlarni [0, ∞) bilan parametrlash mumkin, shunday qilib xarita bir xil xarita f_t ning D. ustiga C Kamroq v([t, ∞)) shakli mavjud

${ displaystyle displaystyle {f_ {t} (z) = e ^ {t} (z + b_ {2} (t) z ^ {2} + b_ {3} (t) z ^ {3} + cdots )}}$

bilan b_n davomiy. Jumladan

${ displaystyle displaystyle {f_ {0} (z) = f (z).}}$

Uchun s ≤ t, ruxsat bering

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {s, t} (z) = f_ {t} ^ {- 1} circ f_ {s} (z) = e ^ {st} (z + a_ {2} ( s, t) z ^ {2} + a_ {3} (s, t) z ^ {3} + cdots)}}$

bilan a_n davomiy.

Bu Loewner zanjiri va Loewner yarim guruhini beradi

${ displaystyle displaystyle {p_ {t} (z) = {1+ kappa (t) z over 1- kappa (t) z}}}$

bu erda κ ​​- birlik doirasiga [0, ∞) dan uzluksiz xarita.^[3]

Κ ni aniqlash uchun φ ga e'tibor bering_{s, t} ichki diskdan tortib olingan chegaraga qadar Iordaniya yoyi bilan birlik diskka birlik diskini xaritalaydi. Chegaraga tegadigan nuqta unga bog'liq emas s va doimiy funktsiyani belgilaydi λ (t) [0, ∞) dan birlik doirasiga. κ (t) - λ (ning teskari) murakkab konjugati (yoki teskari)t):

${ displaystyle displaystyle { kappa (t) = lambda (t) ^ {- 1}.}}$

Teng ravishda, tomonidan Karateodori teoremasi f_t yopiq blok diskka uzaytirilishini va mits (t), ba'zan haydash funktsiyasi, tomonidan belgilanadi

${ displaystyle displaystyle {f_ {t} ( lambda (t)) = c (t).}}$

Har bir doimiy funktsiya κ yorilgan xaritalashdan kelib chiqmaydi, ammo Kufarev κ doimiy hosilaga ega bo'lganda buni to'g'ri ekanligini ko'rsatdi.

Bieberbax taxminiga ariza

Loewner (1923) isbotlash uchun yorilgan xaritalash uchun uning differentsial tenglamasidan foydalangan Biberbaxning gumoni

${ displaystyle displaystyle {| a_ {3} | leq 3}}$

univalentsial funktsiyaning uchinchi koeffitsienti uchun

${ displaystyle displaystyle {f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + cdots}}$

Bunday holda, agar kerak bo'lsa, aylantirib, shunday deb taxmin qilish mumkin a₃ manfiy emas.

Keyin

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {0, t} (z) = e ^ {- t} (z + a_ {2} (t) z ^ {2} + a_ {3} (t) z ^ { 3} + cdots)}}$

bilan a_n davomiy. Ular qondirishadi

${ displaystyle displaystyle {a_ {n} (0) = 0, , , a_ {n} ( infty) = a_ {n}.}}$

Agar

${ displaystyle displaystyle { alfa (t) = e ^ {- t} kappa (t),}}$

Loewner differentsial tenglamasi nazarda tutadi

${ displaystyle displaystyle {{ dot {a_ {2}}} = - 2 alfa}}$

va

${ displaystyle displaystyle {{ nuqta {a_ {3}}} = - 2 alfa ^ {2} -4 alfa , a_ {2}.}}$

Shunday qilib

${ displaystyle displaystyle {a_ {2} = - 2 int _ {0} ^ { infty} alpha (t) , dt}}$

bu darhol Biberbaxning tengsizligini anglatadi

${ displaystyle displaystyle {| a_ {2} | leq 2.}}$

Xuddi shunday

${ displaystyle displaystyle {a_ {3} = - 2 int _ {0} ^ { infty} alpha ^ {2} , dt + 4 left ( int _ {0} ^ { infty} alfa , dt o'ng) ^ {2}}}$

Beri a₃ manfiy emas va | κ (t)| = 1,

${ displaystyle displaystyle {| a_ {3} | = 2 int _ {0} ^ { infty} | Re alpha ^ {2} | , dt + 4 left ( int _ {0} ^ { infty} Re alpha , dt right) ^ {2}} leq 2 int _ {0} ^ { infty} | Re alpha ^ {2} | , dt + 4 chap ( int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} , dt right) chap ( int _ {0} ^ { infty} e ^ {t} ( Re alpha) ^ {2} , dt right) = 1 + 4 int _ {0} ^ { infty} (e ^ {- t} -e ^ {- 2t}) ( Re kappa) ^ {2} , dt leq 3,}$

yordamida Koshi-Shvarts tengsizligi.

Izohlar

Adabiyotlar

• Duren, P. L. (1983), Noyob funktsiyalar, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Kufarev, P. P. (1943), "Analitik funktsiyalarning bir parametrli oilalari to'g'risida", Mat Sbornik, 13: 87–118
• Lawler, G. F. (2005), Tekislikdagi konformal o'zgarmas jarayonlar, Matematik tadqiqotlar va monografiyalar, 114, Amerika matematik jamiyati, ISBN 0-8218-3677-3
• Loewner, S (1923), "Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, I", Matematika. Ann., 89: 103–121, doi:10.1007 / BF01448091, hdl:10338.dmlcz / 125927
• Pommerenke, S (1975), Gerd Jensen tomonidan kvadratik differentsiallarga bag'ishlangan noyob funktsiyalar, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoek va Ruprext