WikiDer > Lomis - Uitni tengsizligi

Yilda matematika, Lomis - Uitni tengsizligi natijasi geometriya, bu eng sodda shaklda a ning "o'lchamini" taxmin qilishga imkon beradi ${displaystyle d}$-o'lchovli uning o'lchamlari bilan belgilanadi ${displaystyle (d-1)}$- o'lchovli proektsiyalar. Tengsizlikning dasturlari mavjud tushish geometriyasi, "panjara hayvonlar" deb nomlangan va boshqa sohalarni o'rganish.

Natijada nomlangan Amerika matematiklar Lin Harold Lumis va Xassler Uitni, va 1949 yilda nashr etilgan.

Tengsizlik to'g'risidagi bayonot

O'lchamni aniqlang ${displaystyle dgeq 2}$ va proektsiyalarni ko'rib chiqing

${displaystyle pi _ {j}: mathbb {R} ^ {d} o mathbb {R} ^ {d-1},}$

${displaystyle pi _ {j}: x = (x_ {1}, nuqtalar, x_ {d}) mapsto {hat {x}} _ {j} = (x_ {1}, nuqtalar, x_ {j-1}, x_ {j + 1}, nuqta, x_ {d}).}$

Har bir 1 For uchun j ≤ d, ruxsat bering

${displaystyle g_ {j}: mathbb {R} ^ {d-1} o [0, + infty),}$

${displaystyle g_ {j} L ^ {d-1} da (mathbb {R} ^ {d-1}).}$

Keyin Lomis - Uitni tengsizligi ushlab turadi:

${displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {d}} prod _ {j = 1} ^ {d} g_ {j} (pi _ {j} (x)), mathrm {d} xleq prod _ {j = 1} ^ {d} | g_ {j} | _ {L ^ {d-1} (mathbb {R} ^ {d-1})}.}$

Teng ravishda, qabul qilish

${displaystyle f_ {j} (x) = g_ {j} (x) ^ {d-1},}$

${displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {d}} prod _ {j = 1} ^ {d} f_ {j} (pi _ {j} (x)) ^ {1 / (d-1)}, mathrm {d} xleq prod _ {j = 1} ^ {d} chap (int _ {mathbb {R} ^ {d-1}} f_ {j} ({hat {x}} _ {j}), mathrm {d} {shap {x}} _ {j} ight) ^ {1 / (d-1)}.}$

Maxsus ish

Loomis-Whitney tengsizligi bilan bog'liq bo'lishi mumkin Lebesg o'lchovi pastki qismining Evklid fazosi ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ koordinata yo'nalishlari bo'yicha uning "o'rtacha kengliklariga". Ruxsat bering E bir oz bo'ling o'lchovli ichki qism ning ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ va ruxsat bering

${displaystyle f_ {j} = mathbf {1} _ {pi _ {j} (E)}}$

bo'lishi ko'rsatkich funktsiyasi proyeksiyasining E ustiga jkoordinatali giperplan. Shundan kelib chiqadiki, har qanday nuqta uchun x yilda E,

${displaystyle prod _ {j = 1} ^ {d} f_ {j} (pi _ {j} (x)) ^ {1 / (d-1)} = 1.}$

Lomis-Uitni tengsizligi,

${displaystyle | E | leq prod _ {j = 1} ^ {d} | pi _ {j} (E) | ^ {1 / (d-1)},}$

va shuning uchun

${displaystyle | E | geq prod _ {j = 1} ^ {d} {frac {| E |} {| pi _ {j} (E) |}}.}$

Miqdor

${displaystyle {frac {| E |} {| pi _ {j} (E) |}}}$

ning o'rtacha kengligi deb o'ylash mumkin ${displaystyle E}$ ichida ${displaystyle j}$koordinata yo'nalishi. Lomis-Uitni tengsizligining bunday talqini, agar biz Evklid fazosining cheklangan kichik qismini ko'rib chiqsak va Lebesg o'lchovini o'rniga qo'ysak hisoblash o'lchovi.

Umumlashtirish

Lomis - Uitni tengsizligi - bu alohida holat Brascamp-Lieb tengsizligi, unda proektsiyalar π_j yuqoridagi qism umumiyroq bilan almashtiriladi chiziqli xaritalar, bir xil o'lchamdagi bo'shliqlarga xaritalash shart emas.

Adabiyotlar

• Loomis, Lin X.; Uitni, Xassler (1949). "Izoperimetrik tengsizlik bilan bog'liq tengsizlik". Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi. 55 (10): 961–962. doi:10.1090 / S0002-9904-1949-09320-5. JANOB0031538