WikiDer > Markov bo'limi

Bu maqola mavzu bilan tanish bo'lmaganlar uchun etarli bo'lmagan kontekstni taqdim etadi. Iltimos yordam bering maqolani yaxshilang tomonidan o'quvchi uchun ko'proq kontekstni taqdim etish. (2010 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

A Markov bo'limi da ishlatiladigan vosita dinamik tizimlar usullariga imkon beradigan nazariya ramziy dinamikasi o'rganish uchun qo'llanilishi kerak giperbolik dinamikasi. Markov bo'limidan foydalanib, tizim diskret vaqtga o'xshab ketishi mumkin Markov jarayoni, a sifatida ko'rsatilgan tizimning uzoq muddatli dinamik xususiyatlari bilan Markov smenasi. "Markov" apellyatsiyasi mos keladi, chunki tizimning dinamikasi quyidagilarga bo'ysunadi Markov mulki. Shunday qilib, Markov bo'limi standart usullardan foydalanishga imkon beradi ramziy dinamikasi qo'llanilishi kerak, shu jumladan hisoblash kutish qiymatlari, o'zaro bog'liqlik, topologik entropiya, topologik zeta funktsiyalari, Fredxolm determinantlari va shunga o'xshash narsalar.

Motivatsiya

Ruxsat bering (M,φ) diskret dinamik tizim bo'lishi mumkin. Uning dinamikasini o'rganishning asosiy usuli bu a ni topishdir ramziy vakillik: nuqtalarini sodda kodlash M xarita kabi belgilar ketma-ketligi bo'yicha φ ga aylanadi smena xaritasi.

Aytaylik M qismlarga bo'lingan E₁,E₂,…,E_rkabi kichik va mahalliylashtirilgan deb o'ylashadi, deyarli bir-birining ustiga chiqmaydi. Nuqtaning harakati x iteratlar ostida φ har biri uchun yozib olish orqali kuzatilishi mumkin n, qismi E_men o'z ichiga oladi φⁿ(x). Natijada alfavitda cheksiz ketma-ketlik paydo bo'ladi {1,2,…r} nuqtani kodlovchi. Umuman olganda, bu kodlash noaniq bo'lishi mumkin (bir xil ketma-ketlik turli xil nuqtalarni aks ettirishi mumkin) va shu tarzda paydo bo'ladigan ketma-ketliklar to'plamini ta'riflash qiyin bo'lishi mumkin. Markov bo'limining qat'iy ta'rifida aniq ko'rsatilgan ba'zi sharoitlarda ketma-ketlikni bir nuqtaga belgilash M deyarli birma-bir xaritaga aylanadi, uning tasviri a deb nomlangan maxsus turdagi ramziy dinamik tizimdir chekli turdagi siljish. Bunday holda, ramziy vakillik dinamik tizimning xususiyatlarini tekshirish uchun kuchli vosita hisoblanadi (M,φ).

Rasmiy ta'rif

Markov bo'limi^[1] a cheklangan qopqoq ning o'zgarmas to'plam egri chiziqli to'rtburchaklar to'plami bilan manifoldning ${displaystyle {E_ {1}, E_ {2}, ldots, E_ {r}}}$ shu kabi

• Har qanday juftlik uchun ${displaystyle x, yin E_ {i}}$, bu ${displaystyle W_ {s} (x) cap W_ {u} (y) in E_ {i}}$
• ${displaystyle operatorname {Int} E_ {i} cap operatorname {Int} E_ {j} = emptyset}$ uchun ${displaystyle ieq j}$
• Agar ${displaystyle xin operator nomi {Int} E_ {i}}$ va ${displaystyle varphi (x) operator nomidagi {Int} E_ {j}}$, keyin

${displaystyle varphi chap [W_ {u} (x) shapka E_ {i} ight] supset W_ {u} (varphi x) shapka E_ {j}}$

${displaystyle varphi chapda [W_ {s} (x) shapka E_ {i} ight] kichik to'plam W_ {s} (varphi x) shapka E_ {j}}$

Bu yerda, ${displaystyle W_ {u} (x)}$ va ${displaystyle W_ {s} (x)}$ beqaror va barqaror manifoldlar ning xnavbati bilan va ${displaystyle operator nomi {Int} E_ {i}}$ ning ichki qismini bildiradi ${displaystyle E_ {i}}$.

Ushbu so'nggi ikkita shartni. Ning bayonoti sifatida tushunish mumkin Markov mulki ramziy dinamikasi uchun; ya'ni traektoriyaning bir ochiq qopqoqdan ikkinchisiga harakatlanishi tizimning tarixi emas, balki faqat so'nggi qopqoq bilan belgilanadi. "Markov" apellyatsiyasiga loyiq bo'lgan qopqoqning ushbu xususiyati. Natijada paydo bo'lgan dinamikalar a Markov smenasi; bu haqiqatan ham shunday bo'lgan teoremalar bilan bog'liq Yakov Sinay (1968)^[2] va Rufus Bouen (1975),^[3] bu bilan ramziy dinamikani mustahkam poydevorga qo'yish.

Parcha geometriyasidagi shartlarga mos keladigan ta'rifning variantlari topilgan ${displaystyle E_ {i}}$.^[4]

Misollar

Markov bo'limlari bir nechta vaziyatlarda qurilgan.

• Anosov diffeomorfizmlari ning torus.^{[iqtibos kerak]}
• Dinamik bilyard, bu holda qoplamani hisoblash mumkin.^{[iqtibos kerak]}

Markov bo'limlari gomoklinika va heteroklinik orbitalar ta'riflash ayniqsa oson.^{[iqtibos kerak]}

Tizim ${displaystyle ([0,1), xmapsto 2x mod 1)}$ Markov bo'limiga ega ${displaystyle E_ {0} = (0,1 / 2), E_ {1} = (1 / 2,1)}$, va bu holda haqiqiy sonning ramziy tasviri ${displaystyle [0,1)}$ uning ikkilik kengayishi. Masalan: ${displaystyle xin E_ {0}, Txin E_ {1}, T ^ {2} xin E_ {1}, T ^ {3} xin E_ {1}, T ^ {4} xin E_ {0} Rightarrow x = ( 0.01110 ...) _ {2}}$. Ballarni belgilash ${displaystyle [0,1)}$ Markov bo'limidagi ularning ketma-ketligi dyadik mantiqdan tashqari yaxshi aniqlangan - axloqiy ma'noda, buning sababi ${displaystyle (0.01111dots) _ {2} = (0.10000dots) _ {2}}$, xuddi shu tarzda ${displaystyle 1 = 0.999 nuqta}$ o'nlik kengaytmalarida

Adabiyotlar

• Lind, Duglas; Markus, Brayan (1995). Ramziy dinamikaga va kodlashga kirish. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-0-521-55124-3. Zbl 1106.37301.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berti, Valeri; Ferentszi, Sebastyan; Mod, nasroniy; Siegel, Anne (tahrir). Dinamikada, arifmetikada va kombinatorikada almashtirishlar. Matematikadan ma'ruza matnlari. 1794. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44141-0. Zbl 1014.11015.