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In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik ist ein Normalisierer ein besonderer Untergruppe${Displaystil N_{G}(H)}$ von a Gruppe${Anzeigestil G}$ Zugehörigkeit zu einer Untergruppe ${Anzeigestil H}$. Das Normalisierer${Displaystil N_{G}(H)}$ ist die Untergruppe von ${Anzeigestil G}$ die aus den Elementen von besteht ${Anzeigestil G}$ für welche linke und rechte Unterklasse von ${Anzeigestil H}$ einander gleich sein. Es ist klar, dass die Untergruppe ${Anzeigestil H}$ ist auch eine Untergruppe seines Normalisierers. Anscheinend ${Anzeigestil H}$ sogar normaler sub gehört zum Normalisierer ${Displaystil N_{G}(H)}$.

Definition

Sie ${Anzeigestil G}$ eine Gruppe und ${Anzeigestil H}$ eine Teilmenge von ${Anzeigestil G}$, dann ist die Normalisierer${Displaystil N_{G}(H)}$ von ${Anzeigestil H}$ im ${Anzeigestil G}$ die Sammlung von allen ${displaystyle Gin G}$, für die:

${Anzeigestil gH=Hg}$,

oder anders gesagt: für alle ${Anzeigestil hin H}$ ist

${displaystyle ghg^{-1}in H}$

Mit anderen Worten, der Normalisierer besteht aus denen ${displaystyle Gin G}$ auf was trifft das zu ${Anzeigestil H}$ unten Konjugation mit ${displaystyle g}$ ist unveränderlich.

Es besteht also kein Anspruch auf ${Anzeigestil hin H}$ Welche ${displaystyle ghg^{-1}=h}$, mit anderen Worten ${displaystyle gh=hg}$ d.h. das ${displaystyle g}$ und ${displaystyle h}$ pendeln. In vielen Fällen wird das nicht stimmen.

Eigenschaften

• Der Normalisierer ist eine Teilmenge von ${Anzeigestil G}$.
• Eine Untergruppe ${Anzeigestil H}$ ist immer ein normaler sub in ihrem Normalisierer ${Displaystil N_{G}(H)}$. Genauer formuliert: ${Displaystil N_{G}(H)}$ ist das größte Untergruppe von ${Anzeigestil G}$ in welchem ${Anzeigestil H}$ ein normaler sub ist.
• Eine Untergruppe ist genau als eine normale Untergruppe in ${Anzeigestil G}$ wenn sie die ganze Gruppe normalisiert ${Anzeigestil G}$ ist.
• Man kann den Normalizer auch wie folgt einführen:
  einer verlässt die gruppe ${Anzeigestil G}$ die Menge ihrer Untergruppen durch Konjugation bearbeiten, dann de Stabilisator einer gegebenen Untergruppe für diese Operation genau den Normalisierer dieser Untergruppe.

Beispiel

Sie ${Anzeigestil G}$ das Gruppe von invertierbaren ${Anzeigestil n imes n}$-Matrizen (mit reellen Koeffizienten) für a natürliche Zahl${displaystyle n}$. Sie ${Anzeigestil H}$ weiter die Untergruppe der diagonale Matrizen. Dann ist der Normalisierer von ${Anzeigestil H}$ im ${Anzeigestil G}$ die Gruppe von Matrizen, bei der in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eingabewert ungleich Null ist. Es Quotient${Displaystil N_{G}(H)/H}$ ist isomorph mit dem symmetrische Gruppe${displaystyle S_{n}}$.

Verwandte Begriffe

Verlangt man das ${Anzeigestil H}$ pro Element unter der Konjugation mit Gruppenelementen invariant ist, dann erhält man das stärkere Verständnis der Zentralisierer${Displaystil C_{G}(H)}$. Der Zentralisierer ist ein normaler Teiler im jeweiligen Normalisierer.