WikiDer > Oktonion

Octonion

Erinnerung an Fan für die Oktonionen

In dem Mathematik sind die Oktonionen ein nicht assoziativ Erweiterung der Quaternionen. Ihre 8-dimensionalen normierte Divisionalgebra über die reale Nummern ist das umfassendste Formular, das man mit der Cayley-Dickson-Konstruktion entwickeln kann. Die Oktonionenalgebra wird oft mit . bezeichnet Ö, oder in sogenanntem Tafelfett von ${displaystyle mathbb {O} }$ .

Vielleicht, weil sie die assoziative Multiplikation nicht kennen, wird den Oktonionen manchmal weniger Aufmerksamkeit geschenkt als den Quaternionen. Trotz ihrer geringen Popularität sind die Oktonionen mit einigen außergewöhnlichen Strukturen in der Mathematik verbunden, einschließlich der außergewöhnliche Lügengruppen. Darüber hinaus haben Oktonionen in anderen Bereichen Anwendung gefunden, wie z Stringtheorie, spezielle Relativitätstheorie und Quantenlogik.

Geschichte

Die Oktonionen waren in 1843 entdeckt von John T. Graves, ein Freund von William Hamilton. Gräber nannten sie Oktaven. Sie wurden auch unabhängig von . entdeckt Arthur Cayley, der einen ersten Artikel über Oktonionen in . veröffentlichte 1845. Deshalb bezeichnen die Leute manchmal Oktonionen als Cayley-Zahlen oder wenn die Cayleyalgebra.

Definition

Die Oktonionen kann man sich als Oktette (oder 8-Tupel) reeller Zahlen vorstellen. Jedes Oktonion ist ein echtes lineare Kombination des Einheit Oktanionen ${Anzeigestil 1,i,j,k,l,m,n,o}$ . Das bedeutet, dass jede Oktonion ${Anzeigestil x}$ kann in der Form geschrieben werden

{displaystyle x=x_{0} x_{1}i x_{2}j x_{3}k x_{4}l x_{5}m x_{6}n x_{7}o}

mit echt Koeffizienten ${displaystyle x_{0},x_{1},ldots ,x_{7}}$ .

Die Addition von Oktonionen wird durch Addition der entsprechenden Koeffizienten erreicht, wie dies bei der komplexe Zahlen und der Quaternionen. Aufgrund der Linearität wird die Multiplikation von Oktonionen vollständig durch die folgenden bestimmt Multiplikationstabelle für die Einheit Oktanionen.

		${displaystyle e_{2}}$
	${displaystyle e_{1}e_{2}}$	${Anzeigestil 1}$	${Anzeigestil i}$	${Anzeigestil j}$	${displaystyle k}$	${displaystyle l}$	${displaystyle m}$	${displaystyle n}$	${displaystyle o}$
${displaystyle e_{1}}$	${Anzeigestil 1}$	${Anzeigestil 1}$	${Anzeigestil i}$	${Anzeigestil j}$	${displaystyle k}$	${displaystyle l}$	${displaystyle m}$	${displaystyle n}$	${displaystyle o}$
	${Anzeigestil i}$	${Anzeigestil i}$	${Anzeigestil -1}$	${displaystyle k}$	${displaystyle -j}$	${displaystyle m}$	${displaystyle -l}$	${displaystyle -o}$	${displaystyle n}$
	${Anzeigestil j}$	${Anzeigestil j}$	${displaystyle -k}$	${Anzeigestil -1}$	${Anzeigestil i}$	${displaystyle n}$	${displaystyle o}$	${displaystyle -l}$	${displaystyle -m}$
	${displaystyle k}$	${displaystyle k}$	${Anzeigestil j}$	${displaystyle -i}$	${Anzeigestil -1}$	${displaystyle o}$	${displaystyle -n}$	${displaystyle m}$	${displaystyle -l}$
	${displaystyle l}$	${displaystyle l}$	${displaystyle -m}$	${displaystyle -n}$	${displaystyle -o}$	${Anzeigestil -1}$	${Anzeigestil i}$	${Anzeigestil j}$	${displaystyle k}$
	${displaystyle m}$	${displaystyle m}$	${displaystyle l}$	${displaystyle -o}$	${displaystyle n}$	${displaystyle -i}$	${Anzeigestil -1}$	${displaystyle -k}$	${Anzeigestil j}$
	${displaystyle n}$	${displaystyle n}$	${displaystyle o}$	${displaystyle l}$	${displaystyle -m}$	${displaystyle -j}$	${displaystyle k}$	${Anzeigestil -1}$	${displaystyle -i}$
	${displaystyle o}$	${displaystyle o}$	${displaystyle -n}$	${displaystyle m}$	${displaystyle l}$	${displaystyle -k}$	${displaystyle -j}$	${Anzeigestil i}$	${Anzeigestil -1}$

Das hier gegebene Base denn die Oktonionen sind nicht so universell wie die Standardbasis für die Quaternionen; fast alle anderen Auswahlmöglichkeiten unterscheiden sich von den Quaternionen nur in Reihenfolge und Vorzeichen.

Cayley-Dickson-Konstruktion

Eine systematischere Methode zur Definition von Oktonionen ist die Verwendung der Cayley-Dickson-Konstruktion. So wie Quaternionen als Paare komplexer Zahlen definiert werden können, können die Oktonionen als Quaternionenpaare definiert werden. Die Addition wird paarweise definiert. Das Produkt zweier Quaternionenpaare ${Anzeigestil (a,b)}$ und ${Anzeigestil (c, d)}$ ist definiert durch

{Anzeigestil (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da bc^{*})}

wahr ${displaystyle z^{*}}$ das Konjugat des Quaternions ${Anzeigestil z}$ schlägt vor. Diese Definition entspricht der oben gegebenen Definition bei der Identifizierung der acht Einheits-Oktonionen als Paare

{Anzeigestil 1=(1,0),i=(i,0),j=(j,0),k=(k,0),l=(0.1),m=(0,i), n= (0,j),o=(0,k)}

Siehe auch

Oktonionen teilen
Octonion-Algebra
Hyperkomplexe Zahlen
- Quaternionen
- Sedenions
Kegeloktonionen (aus dem Museum Hyperzahlen)
Trialität
Spinne(8)
Siebendimensionales Kreuzprodukt

Verweise

John Baez, Die Oktonionen, Stier. amer. Mathematik. Sozial. 39 (2002), 145-205. Online-HTML-Version unter https://web.archive.org/web/20081009232658/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
Conway, John Hortonund Smith, Derek A., (2003) Über Quaternionen und Oktonionen: ihre Geometrie, Arithmetik und Symmetrie, A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 . (Rezension).

Für Oktonionen, die im Physik sehen:

V. Dzhunushaliev, Spielzeugmodelle einer nichtassoziativen Quantenmechanik, Fortschritte in der Hochenergiephysik, voll. 2007, Artikel-ID 12387, 10 Seiten, 2007. doi:10.1155/2007/12387; arXiv:0706.2398 [quant-ph].

Navigation