WikiDer > Integratsiya tartibi (hisob-kitob)

Yilda hisob-kitob, almashinuvi integratsiya tartibi o'zgartiradigan metodikadir takrorlanadigan integrallar (yoki ko'p integrallar yordamida Fubini teoremasi) funktsiyalarni integratsiyani bajarish tartibini o'zgartirib, boshqa, umid qilamanki sodda, integrallarga. Ba'zi hollarda, integratsiya tartibi haqiqiy ravishda almashtirilishi mumkin; boshqalarda buni qila olmaydi.

Muammoni hal qilish

Imtihon uchun muammo bu shaklning ajralmas qismini baholashdir

${displaystyle iint _ {D} f (x, y) dx, dy,}$

qayerda D. bu ikki o'lchovli maydon xy- samolyot. Ba'zi funktsiyalar uchun f to'g'ridan-to'g'ri integratsiya qilish mumkin, ammo bu to'g'ri bo'lmagan hollarda, integralni tartibini o'zgartirib, ba'zan oddiyroq shaklga tushirish mumkin. Ushbu almashinuvdagi qiyinchilik domen tavsifidagi o'zgarishni belgilaydi D..

Usul boshqalarga ham tegishli ko'p integrallar.^[1][2]

Ba'zan, hatto to'liq baholash qiyin bo'lsa ham, yoki raqamli integratsiyani talab qilsa ham, ikkilamchi integralni keyingi rasmda ko'rsatilgandek bitta integralga kamaytirish mumkin. Bitta integratsiyaga qisqartirish a qiladi raqamli baholash ancha oson va samaraliroq.

Qismlar bo'yicha integratsiya bilan bog'liqlik

1-rasm: Uchburchak maydon bo'ylab integratsiya birinchi qadam sifatida vertikal yoki gorizontal chiziqlar yordamida amalga oshirilishi mumkin. Bu z o'qidan x-y tekisligiga qarab yuqoridagi ko'rinish. Eğimli chiziq bu egri chiziq y = x.

Takrorlangan integralni ko'rib chiqing

${displaystyle int _ {a} ^ {z}, int _ {a} ^ {x}, h (y), dy, dx}$,

biz odatda fizikada ko'rilgan prefiks belgisi yordamida yozamiz:

${displaystyle int _ {a} ^ {z} dx, int _ {a} ^ {x}, h (y), dy}$.

Ushbu ifodada ikkinchi integral avval y va x ga nisbatan doimiy ravishda aniqlanadi - kenglik chizig'i dx birinchi navbatda birlashtirilgan y- yo'nalish (x yo'nalishidagi dx kenglik chizig'i y yo'nalishi bo'yicha y o'zgaruvchiga nisbatan birlashtirilgan), kenglikning cheksiz to'rtburchaklar miqdorini qo'shish dy y o'qi bo'ylab. Bu uch o'lchovli bo'lakni hosil qiladi dx x o'qi bo'ylab keng, y o'qi bo'ylab y = a dan y = x gacha va z yo'nalishi bo'yicha z = f (x, y). E'tibor bering, agar dx qalinligi cheksiz kichik bo'lsa, x kesmada faqat cheksiz darajada o'zgaradi. Biz x doimiy deb taxmin qilishimiz mumkin.^[3] Ushbu integratsiya 1-rasmning chap panelida ko'rsatilgandek, lekin ayniqsa funktsiyani bajarishda noqulay h (y) osonlikcha birlashtirilmaydi. Rasmning o'ng panelida ko'rsatilgandek, integratsiya tartibini o'zgartirib, integralni bitta integralga kamaytirish mumkin. Ushbu o'zgaruvchan o'zgarishni amalga oshirish uchun kenglik chizig'i dy birinchi navbatda chiziqdan birlashtiriladi x = y cheklovgacha x = zva keyin natija birlashtiriladi y = a ga y = z, ni natijasida:

${displaystyle int _ {a} ^ {z} dx int _ {a} ^ {x} h (y) dy = int _ {a} ^ {z} h (y) dy int _ {y} ^ {z} dx = int _ {a} ^ {z} chap (z-kech) h (y), dy.}$

Ushbu natija uchun formulaga misol bo'lishi mumkin qismlar bo'yicha integratsiya, quyida aytib o'tilganidek:^[4]

${displaystyle int _ {a} ^ {z} f (x) g '(x), dx = left [f (x) g (x) ight] _ {a} ^ {z} -int _ {a} ^ {z} f '(x) g (x), dx!}$

Zaxira:

${displaystyle f (x) = int _ {a} ^ {x} h (y), dy {ext {and}} g '(x) = 1.}$

Qaysi natijani beradi.

Asosiy qiymat integrallari

Ariza berish uchun asosiy qiymat integrallari, Uittaker va Uotsonga qarang,^[5] Gaxov,^[6] Lu,^[7] yoki Zwillinger.^[8] Shuningdek, Obolashvilidagi Puankare-Bertranning o'zgarishi haqidagi muhokamaga qarang.^[9] Birlashtirish tartibini almashtirib bo'lmaydigan misol Kanval tomonidan keltirilgan:^[10]

${displaystyle {frac {1} {(2pi i) ^ {2}}} int _ {L} ^ {*} {frac {d {au} _ {1}} {{au} _ {1} -t} } int _ {L} ^ {*} g (au) {frac {d au} {au - au _ {1}}} = {frac {1} {4}} g (t),}$

esa:

${displaystyle {frac {1} {(2pi i) ^ {2}}} int _ {L} ^ {*} g (au) d au left (int _ {L} ^ {*} {frac {d au _ {1}} {chap (au _ ​​{1} -tiq) chap (au - au _ {1} ight)}} ight) = 0.}$

Ikkinchi shakl a yordamida baholanadi qisman fraktsiya yordamida kengaytirish va baholash Soxotski-Plemelj formulasi:^[11]

${displaystyle int _ {L} ^ {*} {frac {d au _ {1}} {au _ {1} -t}} = int _ {L} ^ {*} {frac {d au _ {1} } {au _ {1} -t}} = pi i.}$

Notation ${displaystyle int _ {L} ^ {*}}$ a ni bildiradi Koshining asosiy qiymati. Kanvalga qarang.^[10]

Asosiy teoremalar

Integratsiya tartibini o'zgartirish asoslari haqida bahs kitobda keltirilgan Furye tahlili tomonidan T.W. Körner.^[12] U o'z munozarasini misol bilan keltiradi, chunki integratsiya almashinuvi ikki xil javobga olib keladi, chunki quyida II Teorema shartlari qondirilmaydi. Mana misol:

${displaystyle int _ {1} ^ {infty} {frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {left (x ^ {2} + y ^ {2} ight) ^ {2}}} dy = chap [{frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ight] _ {1} ^ {infty} = - {frac {1} {1 + x ^ {2}}} chap [ xgeq 1ight].}$

${displaystyle int _ {1} ^ {infty} left (int _ {1} ^ {infty} {frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {left (x ^ {2} + y ^ {2) } ight) ^ {2}}} dyight) dx = - {frac {pi} {4}}.}$

${displaystyle int _ {1} ^ {infty} left (int _ {1} ^ {infty} {frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {left (x ^ {2} + y ^ {2) } ight) ^ {2}}} dxight) dy = {frac {pi} {4}}.}$

O'zaro almashinuvni qabul qilishni tartibga soluvchi ikkita asosiy teoremalar quyida Chaudri va Zubayrdan keltirilgan:^[13]

I teorema — Ruxsat bering f(x, y) uchun belgilangan doimiy belgining doimiy funktsiyasi bo'lishi kerak a ≤ x <∞, c ≤ y <∞va integrallarga ruxsat bering

${displaystyle J (y): = int _ {a} ^ {infty} f (x, y) dx}$           va           ${displaystyle J ^ {*} (x) = int _ {c} ^ {infty} f (x, y) dy}$

mos keladigan parametrning funktsiyalari sifatida qaraladi, mos ravishda uchun doimiy c ≤ y <∞, a ≤ x <∞. Keyin takrorlanadigan integrallardan kamida bittasi bo'lsa

${displaystyle int _ {c} ^ {infty} chap (int _ {a} ^ {infty} f (x, y) dxight) dy}$           va           ${displaystyle int _ {a} ^ {infty} chap (int _ {c} ^ {infty} f (x, y) dyight) dx}$

yaqinlashadi, boshqa integral ham yaqinlashadi va ularning qiymatlari mos keladi.

II teorema — Ruxsat bering f(x, y) uchun doimiy bo'lishi a ≤ x <∞, c ≤ y <∞va integrallarga ruxsat bering

${displaystyle J (y): = int _ {a} ^ {infty} f (x, y) dx}$           va           ${displaystyle J ^ {*} (x) = int _ {c} ^ {infty} f (x, y) dy}$

har bir cheklangan oraliqda bir xil konvergent bo'lishi kerak c ≤ y va har bir cheklangan oraliqda a ≤ x . Keyin takrorlanadigan integrallardan kamida bittasi bo'lsa

${displaystyle int _ {c} ^ {infty} chap (int _ {a} ^ {infty} | f (x, y) | dxight) dy}$           va           ${displaystyle int _ {a} ^ {infty} chap (int _ {c} ^ {infty} | f (x, y) | dyight) dx}$

yaqinlashadi, takrorlanadigan integrallar

${displaystyle int _ {c} ^ {infty} chap (int _ {a} ^ {infty} f (x, y) dxight) dy}$           va           ${displaystyle int _ {a} ^ {infty} chap (int _ {c} ^ {infty} f (x, y) dyight) dx}$

ham yaqinlashadi va ularning qiymatlari tengdir.

Ilovalar uchun eng muhim teorema Protter va Morreydan keltirilgan:^[14]

Teorema — Aytaylik F tomonidan berilgan mintaqadir ${displaystyle F = chap {(x, y): aleq xleq b, p (x) leq yleq q (x) ight},}$ qayerda p va q doimiy va p(x) ≤ q(x) uchun a ≤ x ≤ b. Aytaylik f(x, y) uzluksiz F. Keyin

${displaystyle iint _ {F} f (x, y) dA = int _ {a} ^ {b} int _ {p (x)} ^ {q (x)} f (x, y), dy dx.}$

Agar yopiq mintaqa bo'lsa, tegishli natija bo'ladi F vakolatiga ega ${displaystyle F = chap {(x, y): cleq yleq d, r (y) leq xleq s (y) ight}}$ qayerda r(y) ≤ s(y) uchun c ≤ y ≤ d. Bunday holatda,

${displaystyle iint _ {F} f (x, y) dA = int _ {c} ^ {d} int _ {r (y)} ^ {s (y)} f (x, y), dx dy.}$

Boshqacha qilib aytganda, har ikkala takrorlanadigan integrallar, hisoblash mumkin bo'lganda, ikkilangan integralga teng va shuning uchun bir-biriga teng.

Shuningdek qarang