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In dem Integralrechnung ist ein primitive Funktion von einem gegebenen Funktion${displaystyle f}$ jede Funktion, oft bezeichnet mit ${Anzeigestil F}$, von denen die Derivat ist gleich ${displaystyle f}$. Eine primitive Funktion von ${displaystyle f}$ mit Ausnahme einer zu addierenden festen Zahl (einer additiven Konstante) bestimmt wurde; schließlich ist die Ableitung einer festen Zahl null. Andere Namen für primitive Funktion sind Stammfunktion oder kurz Primitive. Der Einfachheit halber weiterführende Schule auch die primitive funktion inverse Ableitung erwähnt.

Definition

Eine Funktion ${Anzeigestil F}$ wird ein primitive Funktion der Funktion ${displaystyle f}$ genannt, as ${Anzeigestil F}$differenzierbar ist und die Derivat von ${Anzeigestil F}$ gleich ${displaystyle f}$.

Kontext

Die obige Definition kann in verschiedenen Kontexten angewendet werden, je nachdem, was unter einer differenzierbaren Funktion zu verstehen ist. Normalerweise ist es ein reellwertige Funktion was irgendwann Intervall ist stetig reell differenzierbar. In dem komplexe Analyse man erfüllt die (strengere) Forderung der komplexen Differenzierbarkeit (Holomorphie) auferlegen. In der Theorie der lebesgue integral sein ${Anzeigestil F}$ und ${displaystyle f}$ Klassen der gegenseitigen Äquivalent Funktionen (Funktionen, die nur Nullmenge Unterschiede) und dann ${Anzeigestil F}$fast überall wirklich differenzierbar, und ist die Derivat fast überall gleich ${displaystyle f}$.

wenn ${Anzeigestil F}$ ist ein Primitiv von ${displaystyle f}$ und ${Anzeigestil C}$ ist ein Konstante, dann ist ${Anzeigestil F C}$ auch ein Primitiv von ${displaystyle f}$. Es wird gesagt, dass ein Primitiv "bis auf eine Konstante bestimmt" ist.

Beispiele

In den Beispielen unten, ${Anzeigestil x}$ Der Unabhängige Variable einer reellen oder komplexen Funktion.

• Die Funktionen ${Anzeigestil F(x)=x}$ und ${Anzeigestil G(x)=x 3}$ sind beide Primitive der konstanten Funktion ${Anzeigestil f(x)=1}$.

• Die Funktion ${displaystyle F(x)={ frac {1}{2}}x^{2}}$ ist ein Primitiv der Funktion ${Anzeigestil f(x)=x}$

• Die Funktion ${displaystyle sin(x)}$ ist ein Primitiv von ${Anzeigestil cos(x)}$

• Hinweis ${Displaystil 1_{ }(x)}$ für die Funktion, die den Wert 1 für alle positiven annimmt ${Anzeigestil x}$ und an anderer Stelle den Wert 0. Hinweis ${Displaystil 1_{-}(x)}$ für die Funktion, die für alle negativen den Wert 1 annimmt ${Anzeigestil x}$ und an anderer Stelle den Wert 0. Dann für zwei beliebige reelle Konstanten ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ die Funktion ${displaystyle ln |x| a,1_{ }(x) b,1_{-}(x)}$ ein Primitiv von ${Anzeigestil 1/x}$. Beachten Sie, dass es Domain dieser Funktion und ihrer Primitive den Wert ${Anzeigestil x=0}$ ausschließt. Weil die Domain nicht kohärent möglich ist, sind zwei unabhängige Konstanten möglich.

Fundamentalsatz der Integralrechnung

sehen Fundamentalsatz der Integralrechnung für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Sie ${Anzeigestil F}$ ein Primitiv von ${displaystyle f}$ und sei das abgeschlossene Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ bis es intern aus dem Bereich von ${displaystyle f}$ gehören. Dann gilt

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),{m {d}}x=F(b)-F(a)}$

Mit anderen Worten, Derivat und Integral- sind umgekehrte Operationen. Daraus folgt auch, dass ein bestimmtes Integral mit einem unbestimmten Integral oder dem Primitiv berechnet werden kann. Umgekehrt ist das bestimmte Integral als Funktion der oberen Schranke b ein Primitiv der integrierten Funktion.

Der Fundamentalsatz der Integralrechnung gilt auch in der lebesgue-integrationstheorie, vorausgesetzt, das Gleichheitszeichen as fast überall wird gleich interpretiert.

Integrieren, Primitiv bestimmen

Streng genommen ist Integration mehr als nur das Finden des Primitivs einer Funktion, aber oft bedeutet "Integrieren" nur das Bestimmen des Primitiven. Das Finden der primitiven Funktion ist ein wichtiges Thema in der Integralrechnung. Tatsächlich sind alle Berechnungen erforderlich, um ein Integral zu berechnen, einen Teil der Integration.

Der am wenigsten komplizierte Teil der Integration besteht darin, das Primitiv einfacher Funktionen zu bestimmen, wie in a Liste der Integrale. Es gibt mehrere Techniken, um zusammengesetzte Funktionen zu integrieren. Die am häufigsten verwendeten Techniken sind durch Substitution integrieren, geteilter Bruch und teilweise integrieren.

Einige primitive Funktionen können nicht in elementaren Funktionen ausgedrückt werden, wie zum Beispiel:

• ${displaystyle int e^{x^{2}},{m {d}}x}$
• das Sinusintegral: ${displaystyle int {frac {sin(x)}{x}},{m {d}}x}$
• ${displaystyle int {frac {1}{ln(x)}},{m {d}}x}$