WikiDer > Warings Problem

Es Warings Problem ist ein Problem innerhalb der Zahlentheorie entwickelt von Edward Waring. Er fragte sich, ob es für alle etwas Positives gab gerade Zahl${displaystyle k}$ eine ganze Zahl ${displaystyle s}$ ist, damit alle natürliche Zahl kann als Summe von geschrieben werden ${displaystyle s}$${displaystyle k}$- die Befugnisse. Zum Beispiel kann jede Zahl als Summe von 4 Quadraten, 9 Würfeln oder 19 Quadraten geschrieben werden.

Die Zahl g(k)

Für jede Zahl ${displaystyle k}$ ist ${Anzeigestil g(k)}$ definiert als kleinstmögliche Zahl ${displaystyle s}$s mit obiger Eigenschaft. Das Der Vier-Quadrat-Satz von Lagrange besagt, dass jede Zahl als Summe von vier Quadraten geschrieben werden kann. Drei Quadrate sind nicht möglich, da 7 = 4 1 1 1. Zum Beispiel braucht 23 neun Würfel: 23 = 8 8 1 1 1 1 1 1 1.

Euler vorausgesetzt, dass ${Anzeigestil g(k)=2^{k} [(3/2)^{k}]-2}$, in welchem ${Anzeigestil [x]}$ der ganze teil von ${Anzeigestil x}$ ist (siehe Funktion eingeben). Heutzutage ${Anzeigestil g(k)}$ für die meisten Zahlen ${displaystyle k}$ bekannt:

${displaystyle g(k)={ egin{cases}2^{k} [({ frac {3}{2}})^{k}]-2&{mbox{if }}2^{k}({ frac {3}{2}})^{k} [({ frac {3}{2}})^{k}]leq 2^{k}/2^{k} [({ frac {3}{2 }})^{k}] [({ frac {4}{3}})^{k}]-2&{mbox{if }}2^{k}({ frac {3}{2}})^ {k} [({ frac {3}{2}})^{k}]>2^{k}{mbox{en }}[({ frac {4}{3}})^{k}][ ({ frac {3}{2}})^{k}] [({ frac {4}{3}})^{k}] [({ frac {3}{2}})^{k}] =2^{k}/2^{k} [({ frac {3}{2}})^{k}] [({ frac {4}{3}})^{k}]-3&{mbox {if }}2^{k}({ frac {3}{2}})^{k} [({ frac {3}{2}})^{k}]>2^{k}{mbox{ und }}[({ frac {4}{3}})^{k}][({ frac {3}{2}})^{k}] [({ frac {4}{3}})^ {k}] [({ frac {3}{2}})^{k}]>2^{k}end{cases}}}$

Die Zahl G(k)

Wichtiger als ${Anzeigestil g(k)}$ ist die Zahl ${Anzeigestil G(k)}$. Dies ist die Zahl, mit der jede Zahl, die groß genug ist, als Summe von geschrieben werden kann ${displaystyle s}$${displaystyle k}$- die Befugnisse. Das bedeutet, dass es eine Zahl gibt ${Anzeigestil q}$ ist so, dass jede Zahl größer als ${Anzeigestil q}$ kann also geschrieben werden.

Untergrenze für G(k)

Die Nummer ${Anzeigestil G(k)}$ ist größer oder gleich:

• ${Displaystil 2^{r 2}}$ wenn ${Anzeigestil k=2^{r}}$ mit ${displaystyle rgeq 2}$ oder ${Anzeigestil k=3cdot 2^{r}}$;
• ${displaystyle p^{r 1}}$ wenn ${displaystyle p}$ eine Primzahl größer als 2 ist und ${Anzeigestil k=p^{r}(p-1)}$;
• ${displaystyle { frac {1}{2}}(p^{r 1}-1)}$ wenn ${displaystyle p}$ eine Primzahl größer als 2 ist und ${displaystyle k={ frac {1}{2}}p^{r}(p-1)}$;
• ${displaystyle k1}$ für alle Zahlen ${displaystyle k>1}$.

Obergrenze für G(k)

Folgende Obergrenzen sind bekannt für ${Anzeigestil G(k)}$:

${displaystyle k}$         3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20${Anzeigestil G(k)leq }$    7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142