WikiDer > Psevdometrik bo'shliq

Pseudometric space

Yilda matematika, a psevdometrik bo'shliq a umumlashtirish a metrik bo'shliq unda ikkita aniq nuqta orasidagi masofa nolga teng bo'lishi mumkin. Har kimga o'xshab normalangan bo'shliq a metrik bo'shliq, har bir seminar maydoni bu psevdometrik bo'shliq. Ushbu o'xshashlik tufayli atama semimetrik bo'shliq (bu boshqa ma'noga ega topologiya) ba'zan sinonim sifatida ishlatiladi, ayniqsa funktsional tahlil.

Psevdometriya oilasi yordamida topologiya hosil bo'lganda, bo'shliq a deb nomlanadi bo'shliqni o'lchash.

Ta'rif

Psevdometrik bo'shliq ${ displaystyle (X, d)}$ to'plamdir ${ displaystyle X}$ salbiy bo'lmagan real qiymatli funktsiya bilan birgalikda ${ displaystyle d ikki nuqta X marta X longrightarrow mathbb {R} _ { geq 0}}$ (a deb nomlangan psevdometrik) shunday, har bir kishi uchun ${ displaystyle x, y, z in X}$ ,

${ displaystyle d (x, x) = 0}$ .
${ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$ (simmetriya)
${ displaystyle d (x, z) leqslant d (x, y) + d (y, z)}$ (subadditivlik/uchburchak tengsizligi)

Metrik bo'shliqdan farqli o'laroq, psevdometrik bo'shliqdagi nuqta bo'lishi shart emas ajralib turadigan; ya'ni bo'lishi mumkin ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ alohida qadriyatlar uchun ${ displaystyle x neq y}$ .

Misollar

Psevdometriya tabiiy ravishda paydo bo'ladi funktsional tahlil. Joyni ko'rib chiqing ${ displaystyle { mathcal {F}} (X)}$ real baholanadigan funktsiyalar ${ displaystyle f colon X to mathbb {R}}$ maxsus nuqta bilan birgalikda ${ displaystyle x_ {0} in X}$ . Keyinchalik bu nuqta tomonidan berilgan funktsiyalar fazosiga psevdometrik induktsiya qiladi

{ displaystyle d (f, g) = | f (x_ {0}) - g (x_ {0}) |}

uchun

{ displaystyle f, g in { mathcal {F}} (X)}

Vektorli bo'shliqlar uchun ${ displaystyle V}$ , a seminar ${ displaystyle p}$ psevdometrikni chaqiradi ${ displaystyle V}$ , kabi

{ displaystyle d (x, y) = p (x-y).}

Aksincha, bir hil, tarjima-invariant psevdometrik seminar-treningni keltirib chiqaradi.

Psevdometriya giperbolik nazariyada ham vujudga keladi murakkab manifoldlar: qarang Kobayashi metrikasi.
Har bir bo'shliqni o'lchash ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {A}}, mu)}$ aniqlash orqali to'liq psevdometrik bo'shliq sifatida qaralishi mumkin

{ displaystyle d (A, B): = mu (A vartriangle B)}

Barcha uchun

{ displaystyle A, B in { mathcal {A}}}

, bu erda uchburchak bildiradi nosimmetrik farq.

Agar ${ displaystyle f: X_ {1} rightarrow X_ {2}}$ funktsiya va d₂ psevdometrik X₂, keyin ${ displaystyle d_ {1} (x, y): = d_ {2} (f (x), f (y))}$ psevdometrik beradi X₁. Agar d₂ metrik va f bu in'ektsion, keyin d₁ metrik hisoblanadi.

Topologiya

The psevdometrik topologiya bo'ladi topologiya tomonidan yaratilgan ochiq to'plar

{ displaystyle B_ {r} (p) = {x in X mid d (p, x)

shakllanadigan a asos topologiya uchun.^[1] Topologik makon deyiladi a psevdometrizatsiya qilinadigan bo'shliq^[2] agar kosmosga psevdometrik berilishi mumkin bo'lsa, psevdometrik topologiya kosmosdagi berilgan topologiyaga to'g'ri keladi.

Psevdometriya va metrikalar o'rtasidagi farq butunlay topologik. Ya'ni, psevdometrik metrik, agar u yaratadigan topologiya bo'lsa T₀ (ya'ni alohida fikrlar topologik jihatdan ajralib turadi).

Ning ta'riflari Koshi ketma-ketliklari va metrikani yakunlash chunki metrik bo'shliqlar o'zgarmagan holda psevdometrik bo'shliqlarga o'tadi.^[3]

Metrik identifikatsiyalash

Psevdometrikaning yo'q bo'lib ketishi an ekvivalentlik munosabati, deb nomlangan metrik identifikatsiya qilish, bu psevdometrik bo'shliqni to'laqonli tizimga aylantiradi metrik bo'shliq. Bu belgilash orqali amalga oshiriladi ${ displaystyle x sim y}$ agar ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ . Ruxsat bering ${ displaystyle X ^ {*} = X / { sim}}$ bo'lishi bo'sh joy ning X ushbu ekvivalentlik munosabati bilan va aniqlang

{ displaystyle { begin {aligned} d ^ {*} :( X / sim) & times (X / sim) longrightarrow mathbb {R} _ { geq 0} d ^ {*} ([x], [y]) & = d (x, y) end {hizalanmış}}}

Keyin ${ displaystyle d ^ {*}}$ metrik hisoblanadi ${ displaystyle X ^ {*}}$ va ${ displaystyle (X ^ {*}, d ^ {*})}$ yaxshi nomlangan metrik bo'shliq bo'lib, deb nomlanadi psevdometrik faza tomonidan induktsiya qilingan metrik bo'shliq ${ displaystyle (X, d)}$ .^[4]^[5]

Metrik identifikatsiya qilish induktsiya qilingan topologiyalarni saqlaydi. Ya'ni, kichik to'plam ${ displaystyle A subseteq X}$ ochiq (yoki yopiq) ${ displaystyle (X, d)}$ agar va faqat agar ${ displaystyle pi (A) = [A]}$ ochiq (yoki yopiq) ${ displaystyle (X ^ {*}, d ^ {*})}$ va A to'yingan. Topologik identifikatsiya - bu Kolmogorovning so'zlari.

Ushbu qurilishning misoli metrik bo'shliqni to'ldirish uning tomonidan Koshi ketma-ketliklari.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ "Psevdometrik topologiya". PlanetMath.
^ Willard, p. 23
^ Qobil, Jorj (2000 yil yoz). "7-bob: To'liq psevdometrik bo'shliqlar" (PDF). Arxivlandi asl nusxasidan 2020 yil 7 oktyabrda. Olingan 7 oktyabr 2020.
^ Xau, Norman R. (1995). Zamonaviy tahlil va topologiya. Nyu-York, NY: Springer. p. 27. ISBN 0-387-97986-7. Olingan 10 sentyabr 2012. Ruxsat bering ${ displaystyle (X, d)}$ psevdometrik makon bo'ling va ekvivalentlik munosabatini aniqlang ${ displaystyle sim}$ yilda ${ displaystyle X}$ tomonidan ${ displaystyle x sim y}$ agar ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ . Ruxsat bering ${ displaystyle Y}$ bo'sh joy bo'ling ${ displaystyle X / sim}$ va ${ displaystyle p ikki nuqta X dan Ygacha$ ning har bir nuqtasini xaritalaydigan kanonik proektsiya ${ displaystyle X}$ uni o'z ichiga olgan ekvivalentlik sinfiga. Metrikani aniqlang ${ displaystyle rho}$ yilda ${ displaystyle Y}$ tomonidan ${ displaystyle rho (a, b) = d (p ^ {- 1} (a), p ^ {- 1} (b))}$ har bir juftlik uchun ${ displaystyle a, b in Y}$ . Buni osongina ko'rsatish mumkin ${ displaystyle rho}$ haqiqatan ham metrik va ${ displaystyle rho}$ bo'yicha topologiyani belgilaydi ${ displaystyle Y}$ .
^ Simon, Barri (2015). Tahlil qilishning keng qamrovli kursi. Providence, Rod-Aylend: Amerika matematik jamiyati. ISBN 978-1470410995.

Adabiyotlar

Arxangel'skii, A.V .; Pontryagin, L.S. (1990). Umumiy topologiya I: asosiy tushuncha va inshootlar o'lchov nazariyasi. Matematika fanlari entsiklopediyasi. Springer. ISBN 3-540-18178-4.
Stin, Lin Artur; Seebach, Artur (1995) [1970]. Topologiyada qarshi misollar (yangi tahr.). Dover nashrlari. ISBN 0-486-68735-X.
Uillard, Stiven (2004) [1970], Umumiy topologiya (Dover 1970 yildagi nashr), Addison-Uesli
Ushbu maqola Psevdometrik fazodan olingan materiallarni o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.
"Psevdometrik bo'shliqqa misol". PlanetMath.

[1] "Psevdometrik topologiya". PlanetMath.

[2] Willard, p. 23

[3] Qobil, Jorj (2000 yil yoz). "7-bob: To'liq psevdometrik bo'shliqlar" (PDF). Arxivlandi asl nusxasidan 2020 yil 7 oktyabrda. Olingan 7 oktyabr 2020.

[4] Xau, Norman R. (1995). Zamonaviy tahlil va topologiya. Nyu-York, NY: Springer. p. 27. ISBN 0-387-97986-7. Olingan 10 sentyabr 2012. Ruxsat bering ${ displaystyle (X, d)}$ psevdometrik makon bo'ling va ekvivalentlik munosabatini aniqlang ${ displaystyle sim}$ yilda ${ displaystyle X}$ tomonidan ${ displaystyle x sim y}$ agar ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ . Ruxsat bering ${ displaystyle Y}$ bo'sh joy bo'ling ${ displaystyle X / sim}$ va ${ displaystyle p ikki nuqta X dan Ygacha$ ning har bir nuqtasini xaritalaydigan kanonik proektsiya ${ displaystyle X}$ uni o'z ichiga olgan ekvivalentlik sinfiga. Metrikani aniqlang ${ displaystyle rho}$ yilda ${ displaystyle Y}$ tomonidan ${ displaystyle rho (a, b) = d (p ^ {- 1} (a), p ^ {- 1} (b))}$ har bir juftlik uchun ${ displaystyle a, b in Y}$ . Buni osongina ko'rsatish mumkin ${ displaystyle rho}$ haqiqatan ham metrik va ${ displaystyle rho}$ bo'yicha topologiyani belgilaydi ${ displaystyle Y}$ .

[5] Simon, Barri (2015). Tahlil qilishning keng qamrovli kursi. Providence, Rod-Aylend: Amerika matematik jamiyati. ISBN 978-1470410995.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Navigation