WikiDer > Tezlik funktsiyasi

Yilda matematika - aniq, ichida katta og'ishlar nazariyasi - a tezlik funktsiyasi miqdorini aniqlash uchun ishlatiladigan funktsiyadir ehtimolliklar noyob hodisalar. Formulalashda yordam beradigan bir nechta xususiyatlarga ega bo'lish talab qilinadi katta og'ish tamoyili.^{[tushuntirish kerak]} Qaysidir ma'noda katta og'ish printsipi analogidir ehtimollik o'lchovlarining zaif yaqinlashuvi, ammo kamdan-kam uchraydigan hodisalarning o'zini qanday tutishini hisobga oladigan narsa.

A tezlik funktsiyasi deb ham ataladi Cramér funktsiyasi, shved probabilistidan keyin Xarald Kramer.

Ta'riflar

Tezlik funktsiyasi An kengaytirilgan haqiqiy qiymatga ega funktsiya Men : X → bo'yicha belgilangan [0, + a] Hausdorff topologik makon X deb aytiladi a tezlik funktsiyasi agar u bir xil emas + is va bo'lsa pastki yarim uzluksiz, ya'ni barcha pastki darajadagi to'plamlar

${displaystyle {xin Xmid I (x) leq c} {mbox {for}} cgeq 0}$

bor yopiq yilda X. Agar bundan tashqari, ular bo'lsa ixcham, keyin Men deb aytiladi a yaxshi stavka funktsiyasi.

Bir oila ehtimollik o'lchovlari (m_δ)_δ > 0 kuni X qondirish uchun aytilgan katta og'ish tamoyili darajasi funktsiyasi bilan Men : X → [0, + ∞) (va darajasi 1 rate)δ) agar har bir yopiq to'plam uchun F ⊆ X va har bir ochiq to'plam G ⊆ X,

${displaystyle limsup _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (F) leq -inf _ {xin F} I (x), quad {mbox {(U)}}}$

${displaystyle liminf _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (G) geq -inf _ {xin G} I (x) .quad {mbox {(L)}}}$

Agar yuqori chegara (U) faqat ixcham (yopiq o'rniga) to'plamlar uchun bo'lsa F, keyin (m_δ)_δ>0 qondirish uchun aytilgan zaif katta og'ishlar printsipi (darajasi 1 1 bilanδ va zaif stavka funktsiyasi Men).

Izohlar

Ochiq va yopiq to'plamlarning katta og'ish tamoyilidagi roli ularning ehtimollik ko'rsatkichlarining zaif yaqinlashuvidagi roliga o'xshashdir: (m_δ)_δ > 0 ga zaif yaqinlashadi deyiladi m agar, har bir yopiq to'plam uchun F ⊆ X va har bir ochiq to'plam G ⊆ X,

${displaystyle limsup _ {delta downarrow 0} mu _ {delta} (F) leq mu (F),}$

${displaystyle liminf _ {delta downarrow 0} mu _ {delta} (G) geq mu (G).}$

Adabiyotda ishlatiladigan nomenklaturada biroz farq bor: masalan, Den Hollander (2000) shunchaki "stavka funktsiyasi" dan foydalanadi, bu erda ushbu maqola - Dembo & Zeitouni (1998) dan keyin "yaxshi stavka funktsiyasi" va "zaif stavka funktsiyasi" ishlatiladi. ". Tezlik funktsiyalari uchun ishlatilgan nomenklaturadan qat'i nazar, yopiq yoki ixcham to'plamlar uchun yuqori chegara tengsizligi (U) bo'lishi kerak yoki yo'qligini tekshirish, amaldagi katta og'ish printsipi kuchli yoki kuchsizligini bildiradi.

Xususiyatlari

O'ziga xoslik

Yuqoridagi umumiy ramkaning bir muncha mavhum holatini hisobga olgan holda, tabiiy ravishda berilgan savol, bu stavka funktsiyasi noyobmi. Bu shunday bo'lib chiqadi: ehtimollik o'lchovlari ketma-ketligi berilgan (m_δ)_δ>0 kuni X ikki darajali funktsiyalar uchun katta og'ish tamoyilini qondirish Men va J, bundan kelib chiqadiki Men(x) = J(x) Barcha uchun x ∈ X.

Eksponensial zichlik

Agar choralar etarlicha tez birlashsa, zaif katta og'ish tamoyilini kuchli printsipga aylantirish mumkin. Agar yuqori chegara ixcham to'plamlar uchun bajarilsa F va chora-tadbirlar ketma-ketligi (m_δ)_δ>0 bu haddan tashqari qattiq, keyin yuqori chegara ham yopiq to'plamlar uchun amal qiladi F. Boshqacha qilib aytganda, eksponensial zichlik zaif og'ish printsipini kuchli printsipga aylantirishga imkon beradi.

Davomiylik

Naiflik bilan, ikkita tengsizlikni (U) va (L) barcha Borel to'plamlari uchun bitta talab bilan almashtirishga harakat qilish mumkin. S ⊆ X,

${displaystyle lim _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (S) = - inf _ {xin S} I (x) .quad {mbox {(E)}}}$

Tenglik (E) juda cheklangan, chunki ko'plab qiziqarli misollar (U) va (L) ni qondiradi, ammo (E) emas. Masalan, o'lchov m_δ bo'lishi mumkin atom bo'lmagan Barcha uchun δ, shuning uchun tenglik (E) bajarilishi mumkin edi S = {x} faqat agar Men bir xil + ∞ edi, bu ta'rifga yo'l qo'yilmaydi. Biroq, (U) va (L) tengsizliklar (E) deb atalmish tenglikni bildiradi Men-davomiy to'plamlar S ⊆ X, ular uchun

${displaystyle I {ig (} {stackrel {circ} {S}} {ig)} = I {ig (} {ar {S}} {ig)},}$

qayerda ${displaystyle {stackrel {circ} {S}}}$ va ${displaystyle {ar {S}}}$ ni belgilang ichki makon va yopilish ning S yilda X navbati bilan. Ko'pgina misollarda ko'plab qiziqarli / voqealar mavjud Men-davomiy. Masalan, agar Men a doimiy funktsiya, keyin barcha to'plamlar S shu kabi

${displaystyle Ssubseteq {ar {stackrel {circ} {S}}}}$

bor Men-davomiy; barcha ochiq to'plamlar, masalan, ushbu cheklovni qondiradi.

Katta og'ish tamoyillarini o'zgartirish

Bir fazoda katta og'ish tamoyilini hisobga olgan holda, boshqa fazoda katta og'ish tamoyilini tuzish ko'pincha qiziqish uyg'otadi. Ushbu sohada bir nechta natijalar mavjud:

• The qisqarish printsipi bitta bo'shliqdagi katta og'ish printsipi qanday qilib "oldinga siljiydi" oldinga ehtimollik o'lchovining) boshqa fazoda katta og'ish tamoyiliga orqali a doimiy funktsiya;
• The Douson-Gärtner teoremasi bo'shliqlar ketma-ketligi bo'yicha katta og'ish tamoyillari ketma-ketligi qanday o'tishini aytadi proektiv chegarasi.
• The katta og'ish tamoyili eksponentning integrallari uchun katta og'ish tamoyilini beradi funktsional.
• eksponent jihatdan teng keladigan choralar bir xil katta og'ish tamoyillariga ega.

Tarix va asosiy rivojlanish

Stavka funktsiyasi tushunchasi 1930-yillarda shved matematikasi bilan paydo bo'lgan Xarald Kramerning ketma-ketligini o'rganish i.i.d. tasodifiy o'zgaruvchilar (Z_men)_i∈ℕ. Masalan, o'lchovni ba'zi mulohazalari orasida Kramer o'rtacha taqsimotning xatti-harakatlarini o'rgangan ${displaystyle X_ {n} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} Z_ {i}}$ kabi n→∞.^[1] U tarqatish dumlari ekanligini aniqladi X_n kabi eksponent ravishda parchalanadi e^−nλ(x) bu erda omil λ(x) ko'rsatkichda Legendre - Fenchel konvertatsiyasi (a. a. the qavariq konjugat) ning kumulyantishlab chiqarish funktsiyasi ${displaystyle Psi _ {Z} (t) = log operator nomi {E} e ^ {tZ}.}$ Shuning uchun bu aniq funktsiya λ(x) ba'zan Cramér funktsiyasi. Ushbu maqolada yuqorida tavsiflangan tarif funktsiyasi bu Kramer tushunchasining keng umumlashtirilishi bo'lib, u mavhumroq ehtimollik maydoni, o'rniga davlat maydoni tasodifiy o'zgaruvchining

Shuningdek qarang

• Haddan tashqari qiymat nazariyasi

Ushbu maqola umumiy ro'yxatini o'z ichiga oladi ma'lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo'lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering yaxshilash tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2012 yil iyun) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Adabiyotlar

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Katta og'ish texnikasi va ilovalari. Matematika qo'llanmalari (Nyu-York) 38 (Ikkinchi nashr). Nyu-York: Springer-Verlag. xvi + 396. ISBN 0-387-98406-2. JANOB1619036
• den Hollander, Frank (2000). Katta og'ishlar. Fields instituti Monografiyalar 14. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. p. x + 143. ISBN 0-8218-1989-5. JANOB1739680