WikiDer > Nisbatan taqsimlash

A nisbati taqsimoti (a nomi bilan ham tanilgan taqsimot) a ehtimollik taqsimoti ning taqsimoti sifatida qurilgan nisbat ning tasodifiy o'zgaruvchilar Ikkita ma'lum taqsimotga ega bo'lish, ikkitasini berish (odatda mustaqil) tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y, tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi Z bu nisbat sifatida hosil bo'ladi Z = X/Y a nisbati taqsimoti.

Bunga misol Koshi taqsimoti (deb ham nomlanadi normal nisbat taqsimoti),^{[iqtibos kerak]} bu ikkitaning nisbati sifatida keladi odatda taqsimlanadi O'rtacha nolga teng o'zgaruvchilar. Test-statistikada tez-tez ishlatiladigan boshqa ikkita taqsimot ham nisbatlar taqsimoti: t- tarqatish dan kelib chiqadi Gauss tasodifiy o'zgaruvchi mustaqil tomonidan bo'lingan taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi, esa F- tarqatish ikki mustaqil nisbatdan kelib chiqadi kvadratchalar taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar.Umumiy nisbatlar bo'yicha ko'proq taqsimotlar adabiyotda ko'rib chiqilgan.^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9]}

Ko'pincha nisbatlar taqsimoti og'ir dumli, va bunday taqsimotlar bilan ishlash va bog'liq bo'lgan narsalarni ishlab chiqish qiyin bo'lishi mumkin statistik test.Ga asoslangan usul o'rtacha "ish atrofida" taklif qilingan.^[10]

Tasodifiy o'zgaruvchilar algebrasi

Bu nisbati tasodifiy o'zgaruvchilar uchun algebra turlaridan biri: nisbati taqsimoti bilan bog'liq mahsulotni taqsimlash, sum taqsimoti va farq taqsimoti. Umuman olganda, summalar, farqlar, mahsulotlar va nisbatlar kombinatsiyasi haqida gapirish mumkin. Melvin D. Springer1979 yildagi kitob Tasodifiy o'zgaruvchilar algebrasi.^[8]

Oddiy sonlar bilan ma'lum bo'lgan algebraik qoidalar tasodifiy o'zgaruvchilar algebrasiga taalluqli emas, masalan, mahsulot C = AB va nisbati D = C / A ning taqsimlanishi degani emas D. va B bir xil. Darhaqiqat, uchun o'ziga xos effekt ko'rinadi Koshi taqsimoti: Ikki mustaqil Koshi taqsimotining mahsuloti va nisbati (bir xil shkala parametri va joylashish parametri nolga tenglashtirilgan) bir xil taqsimotni beradi.^[8]Bu Koshi taqsimotini o'zi kabi ikkita Gauss taqsimotining nolga teng nisbati taqsimoti haqida gap ketganda aniq bo'ladi: Ikki Koshi tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing, ${displaystyle C_ {1}}$ va ${displaystyle C_ {2}}$ har biri ikkita Gauss taqsimotidan qurilgan ${displaystyle C_ {1} = G_ {1} / G_ {2}}$ va ${displaystyle C_ {2} = G_ {3} / G_ {4}}$ keyin

${displaystyle {frac {C_ {1}} {C_ {2}}} = {frac {{G_ {1}} / {G_ {2}}} {{G_ {3}} / {G_ {4}}} } = {frac {G_ {1} G_ {4}} {G_ {2} G_ {3}}} = {frac {G_ {1}} {G_ {2}}} imes {frac {G_ {4}} {G_ {3}}} = C_ {1} imes C_ {3},}$

qayerda ${displaystyle C_ {3} = G_ {4} / G_ {3}}$. Birinchi had - bu Koshi taqsimotining nisbati, oxirgi davr esa shunday taqsimotning natijasi.

Hosil qilish

Ning nisbati taqsimotini chiqarish usuli ${displaystyle Z = X / Y}$ boshqa ikkita tasodifiy o'zgaruvchining qo'shma taqsimotidan X, Y , qo'shma pdf bilan ${displaystyle p_ {X, Y} (x, y)}$, quyidagi shaklni birlashtirish orqali amalga oshiriladi^[3]

${displaystyle p_ {Z} (z) = int _ {- infty} ^ {+ infty} | y |, p_ {X, Y} (zy, y), dy.}$

Agar ikkita o'zgaruvchi mustaqil bo'lsa ${displaystyle p_ {XY} (x, y) = p_ {X} (x) p_ {Y} (y)}$ va bu bo'ladi

${displaystyle p_ {Z} (z) = int _ {- infty} ^ {+ infty} | y |, p_ {X} (zy) p_ {Y} (y), dy.}$

Bu to'g'ri bo'lmasligi mumkin. Misol tariqasida ikkita standart Gauss namunalarining nisbati bo'yicha klassik muammoni ko'rib chiqing. Qo'shma pdf

${displaystyle p_ {X, Y} (x, y) = {frac {1} {2pi}} exp (- {frac {x ^ {2}} {2}}) exp (- {frac {y ^ {2 }} {2}})}$

Ta'riflash ${displaystyle Z = X / Y}$ bizda ... bor

${displaystyle p_ {Z} (z) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty}, | y |, exp (- {frac {(zy) ^ {2}} {2 }}), exp (- {frac {y ^ {2}} {2}}), dy}$

${displaystyle ;;;; = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty}, | y |, exp (- {frac {y ^ {2} (z ^ {2} +1) )} {2}}), dy}$

Ma'lum bo'lgan aniq integraldan foydalanish ${displaystyle int _ {0} ^ {infty}, x, exp (-cx ^ {2}) dx = {frac {1} {2c}}}$ biz olamiz

${displaystyle p_ {Z} (z) = {frac {1} {pi (z ^ {2} +1)}}}$

bu Koshi taqsimoti yoki Studentning taqsimoti t bilan tarqatish n = 1

The Mellin o'zgarishi nisbati taqsimotlarini chiqarish uchun ham taklif qilingan.^[8]

Ijobiy mustaqil o'zgaruvchilar bo'lsa, quyidagicha harakat qiling. Diagrammada ajratiladigan ikki tomonlama taqsimot ko'rsatilgan ${displaystyle f_ {x, y} (x, y) = f_ {x} (x) f_ {y} (y)}$ ijobiy kvadrantda qo'llab-quvvatlanadigan ${displaystyle x, y> 0}$ va biz nisbatning pdf-ni topishni xohlaymiz ${displaystyle R = X / Y}$. Chiziq ustidagi chiqarilgan hajm ${displaystyle y = x / R}$ funktsiyalarning kumulyativ taqsimotini ifodalaydi ${displaystyle f_ {x, y} (x, y)}$ mantiqiy funktsiya bilan ko'paytirildi ${displaystyle X / Yleq R}$. Zichlik dastlab gorizontal chiziqlarga birlashtiriladi; balandlikda gorizontal chiziq y dan uzaytiriladi x = 0 dan x = Ry va o'sish ehtimoli bor ${displaystyle f_ {y} (y) dyint _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx}$.
Ikkinchidan, gorizontal chiziqlarni yuqoriga qarab birlashtirish y chiziqdan yuqori ehtimollik hajmini beradi

${displaystyle F_ {R} (R) = int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y) chap (int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dxight) dy}$

Nihoyat, farqlang ${displaystyle F_ {R} (R) {ext {wrt. }} R}$ pdf olish ${displaystyle f_ {R} (R)}$.

${displaystyle f_ {R} (R) = {frac {d} {dR}} left [int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y) left (int _ {0} ^ {Ry} f_ {) x} (x) dxight) dyight]}$

Differentsiatsiyani integral ichiga o'tkazing:

${displaystyle f_ {R} (R) = int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y) chap ({frac {d} {dR}} int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dxight) dy}$

va beri

${displaystyle {frac {d} {dR}} int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx = yf_ {x} (Ry)}$

keyin

${displaystyle f_ {R} (R) = int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y); f_ {x} (Ry); y; dy}$

Masalan, nisbatning pdf-ni toping R qachon

${displaystyle f_ {x} (x) = alfa e ^ {- alfa x}, ;;;; f_ {y} (y) = eta e ^ {- eta y}, ;;; x, ygeq 0}$

Nisbatning kumulyativ taqsimotini baholash

Bizda ... bor

${displaystyle int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx = -e ^ {- alfa x} vert _ {0} ^ {Ry} = 1-e ^ {- alfa Ry}}$

shunday qilib

${displaystyle {egin {aligned} F_ {R} (R) & = int _ {0} ^ {infty} f_ {y} (y) left (1-e ^ {- alfa Ry} ight) dy = int _ { 0} ^ {infty} eta e ^ {- eta y} chap (1-e ^ {- alfa Ry} ight) dy & = 1- {frac {alfa R} {eta + alfa R}} & = { frac {R} {{frac {eta} {alpha}} + R}} end {hizalanmış}}}$

Farqlash wrt. R pdf hosil qiladi R

${displaystyle f_ {R} (R) = {frac {d} {dR}} chap ({frac {R} {{frac {eta} {alfa}} + R}} ight) = {frac {frac {eta} {alfa}} {chap ({frac {eta} {alfa}} + o'ng) ^ {2}}}}$

Tasodifiy nisbatlar momentlari

Kimdan Mellin o'zgarishi nazariya, faqat ijobiy yarim chiziqda mavjud bo'lgan taqsimotlar uchun ${displaystyle xgeq 0}$, bizda mahsulot identifikatori mavjud ${displaystyle operator nomi {E} [(UV) ^ {p}] = operator nomi {E} [U ^ {p}] ;; operator nomi {E} [V ^ {p}]}$ taqdim etilgan ${displaystyle U,; V}$ mustaqil. Kabi namunalar nisbati uchun ${displaystyle operator nomi {E} [(X / Y) ^ {p}]}$, ushbu identifikatsiyadan foydalanish uchun teskari taqsimlanish momentlaridan foydalanish kerak. O'rnatish ${displaystyle 1 / Y = Z}$ shu kabi ${displaystyle operator nomi {E} [(XZ) ^ {p}] = operator nomi {E} [X ^ {p}]; operator nomi {E} [Y ^ {- p}]}$.Shunday qilib, agar ${displaystyle X ^ {p} {ext {and}} Y ^ {- p}}$ lahzalarini alohida belgilash mumkin, keyin ${displaystyle X / Y}$ topish mumkin. Lahzalari ${displaystyle Y ^ {- p}}$ ning teskari pdf-dan aniqlanadi ${displaystyle Y}$ , ko'pincha tortiladigan mashqlar. Eng sodda, ${displaystyle operator nomi {E} [Y ^ {- p}] = int _ {0} ^ {infty} y ^ {- p} f_ {y} (y), dy}$.

Tasdiqlash uchun, ruxsat bering ${displaystyle X}$ standart Gamma tarqatishidan namuna olish

${displaystyle x ^ {alfa -1} e ^ {- x} / Gamma (alfa) {ext {kimning}} p ^ {th}}$ lahza ${displaystyle Gamma (alfa + p) / Gamma (alfa)}$.

${displaystyle Z = Y ^ {- 1}}$parametr bilan teskari Gamma taqsimotidan namuna olinadi ${displaystyle eta}$ va pdf-ga ega ${displaystyle; Gamma ^ {- 1} (eta) z ^ {1+ eta} e ^ {- 1 / z}}$. Ushbu pdf lahzalari

${displaystyle operator nomi {E} [Z ^ {p}] = operator nomi {E} [Y ^ {- p}] = {frac {Gamma (eta -p)} {Gamma (eta)}} ,; p$

Tegishli momentlarni ko'paytirish beradi

${displaystyle operator nomi {E} [(X / Y) ^ {p}] = operator nomi {E} [X ^ {p}]; operator nomi {E} [Y ^ {- p}] = {frac {Gamma (alfa +) p)} {Gamma (alfa)}} {frac {Gamma (eta -p)} {Gamma (eta)}} ,; p$

Mustaqil ravishda, ikkita Gamma namunalarining nisbati ma'lum ${displaystyle R = X / Y}$ Beta Prime tarqatishidan so'ng:

${displaystyle f_ {eta ^ {'}} (r, alfa, eta) = B (alfa, eta) ^ {- 1} r ^ {alfa -1} (1 + r) ^ {- (alfa + eta)} }$ kimning lahzalari ${displaystyle operator nomi {E} [R ^ {p}] = {frac {mathrm {B} (alfa + p, eta -p)} {mathrm {B} (alfa, eta)}}}$

O'zgartirish ${displaystyle mathrm {B} (alfa, eta) = {frac {Gamma (alfa) Gamma (eta)} {Gamma (alfa + eta)}}}$ bizda ... bor${displaystyle operator nomi {E} [R ^ {p}] = {frac {Gamma (alfa + p) Gamma (eta -p)} {Gamma (alfa + eta)}} {Bigg /} {frac {Gamma (alfa) Gamma (eta)} {Gamma (alfa + eta)}} = {frac {Gamma (alfa + p) Gamma (eta -p)} {Gamma (alfa) Gamma (eta)}}}$bu yuqoridagi lahzalar mahsulotiga mos keladi.

Tasodifiy nisbatlarning vositalari va farqlari

In Mahsulot taqsimoti bo'lim va olingan Mellin o'zgarishi nazariyasi (yuqoridagi bo'limga qarang), mustaqil o'zgaruvchilar mahsulotining o'rtacha qiymati ularning vositalarining ko'paytmasiga teng ekanligi aniqlandi. Koeffitsientlar bo'yicha bizda mavjud

${displaystyle operator nomi {E} (X / Y) = operator nomi {E} (X) operator nomi {E} (1 / Y)}$

ehtimollik taqsimoti bo'yicha, unga teng

${displaystyle operator nomi {E} (X / Y) = int _ {- infty} ^ {infty} xf_ {x} (x), dx imes int _ {- infty} ^ {infty} y ^ {- 1} f_ { y} (y), dy}$

Yozib oling ${displaystyle operator nomi {E} (1 / Y) eq {frac {1} {operator nomi {E} (Y)}} {ext {ya'ni. }} int _ {- infty} ^ {infty} y ^ {- 1} f_ {y} (y), dyeq {frac {1} {int _ {- infty} ^ {infty} yf_ {y} (y) , dy}}}$

Mustaqil o'zgaruvchilar nisbati dispersiyasi quyidagicha

${displaystyle {egin {aligned} operator nomi {Var} (X / Y) & = operator nomi {E} ([X / Y] ^ {2}) - operator nomi {E ^ {2}} (X / Y) & = operator nomi {E} (X ^ {2}) operator nomi {E} (1 / Y ^ {2}) - operator nomi {E} ^ {2} (X) operator nomi {E} ^ {2} (1 / Y) oxiri {moslashtirilgan}}}$

Oddiy nisbat taqsimotlari

O'zaro bog'liq bo'lmagan markaziy normal nisbat

Qachon X va Y mustaqil va a Gauss taqsimoti nolinchi o'rtacha bilan ularning nisbati taqsimotining shakli a Koshi taqsimoti.Buni sozlash orqali olish mumkin ${displaystyle Z = X / Y = heta}$ keyin buni ko'rsatmoqda ${displaystyle heta}$ dumaloq simmetriyaga ega. Ikki tomonlama o'zaro bog'liq bo'lmagan Gauss taqsimoti uchun bizda mavjud

${displaystyle {egin {aligned} p (x, y) & = {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {1} {2}} x ^ {2}} imes {frac { 1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {1} {2}} y ^ {2}} & = {frac {1} {2pi}} e ^ {- {frac {1} { 2}} (x ^ {2} + y ^ {2})} & = {frac {1} {2pi}} e ^ {- {frac {1} {2}} r ^ {2}} {ext {with}} r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} end {hizalanmış}}}$

Agar ${displaystyle p (x, y)}$ faqat funktsiyasidir r keyin ${displaystyle heta}$ bir xil taqsimlanadi ${displaystyle [0,2pi] {ext {zichlik bilan}} 1/2pi}$ shuning uchun muammo ehtimollik taqsimotini topishga kamayadi Z xaritalash ostida

${displaystyle Z = X / Y = heta}$

Ehtimolni saqlab qolish orqali bizda mavjud

${displaystyle p_ {z} (z) | dz | = p_ {heta} (heta) | d heta |}$

va beri ${displaystyle dz / d heta = 1 / cos ^ {2} heta}$

${displaystyle p_ {z} (z) = {frac {p_ {heta} (heta)} {| dz / d heta |}} = {frac {1} {2pi}} {cos ^ {2} heta}}$

va sozlash ${displaystyle cos ^ {2} heta = {frac {1} {1+ (heta) ^ {2}}} = {frac {1} {1 + z ^ {2}}}}$ biz olamiz

${displaystyle p_ {z} (z) = {frac {1 / 2pi} {1 + z ^ {2}}}}$

Bu erda soxta omil 2 mavjud. Aslida, ning ikkita qiymati ${displaystyle heta {ext {interval by}} pi}$ xaritasini xuddi shu qiymatga qo'ying z, zichlik ikki baravar ko'payadi va yakuniy natija

${displaystyle p_ {z} (z) = {frac {1 / pi} {1 + z ^ {2}}}, ;; - infty$

Ammo, agar ikkita taqsimot nolga teng bo'lmagan qiymatga ega bo'lsa, unda nisbatni taqsimlash shakli ancha murakkablashadi. Quyida u tomonidan taqdim etilgan qisqacha shaklda berilgan Devid Xinkli.^[6]

O'zaro bog'liq bo'lmagan markazsiz normal nisbat

Korrelyatsiya bo'lmasa (cor (X,Y) = 0), the ehtimollik zichligi funktsiyasi ikki normal o'zgaruvchining X = N(m_X, σ_X²) va Y = N(m_Y, σ_Y²) nisbat Z = X/Y bir nechta manbalarda olingan quyidagi ifoda bilan aniq berilgan:^[6]

${displaystyle p_ {Z} (z) = {frac {b (z) cdot d (z)} {a ^ {3} (z)}} {frac {1} {{sqrt {2pi}} sigma _ {x } sigma _ {y}}} chap [Phi chap ({frac {b (z)} {a (z)}} ight) -Phi chap (- {frac {b (z)} {a (z)}} ight) ight] + {frac {1} {a ^ {2} (z) cdot pi sigma _ {x} sigma _ {y}}} e ^ {- {frac {c} {2}}}}$

qayerda

${displaystyle a (z) = {sqrt {{frac {1} {sigma _ {x} ^ {2}}} z ^ {2} + {frac {1} {sigma _ {y} ^ {2}}} }}}$

${displaystyle b (z) = {frac {mu _ {x}} {sigma _ {x} ^ {2}}} z + {frac {mu _ {y}} {sigma _ {y} ^ {2}}} }$

${displaystyle c = {frac {mu _ {x} ^ {2}} {sigma _ {x} ^ {2}}} + {frac {mu _ {y} ^ {2}} {sigma _ {y} ^ {2}}}}$

${displaystyle d (z) = e ^ {frac {b ^ {2} (z) -ca ^ {2} (z)} {2a ^ {2} (z)}}}$

va ${displaystyle Phi}$ bo'ladi normal kümülatif taqsimlash funktsiyasi:

${displaystyle Phi (t) = int _ {- infty} ^ {t}, {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {1} {2}} u ^ {2}} du }$.

Muayyan sharoitlarda, odatdagidek taxminiylik, farqlanish bilan mumkin:^[11]

${displaystyle sigma _ {z} ^ {2} = {frac {mu _ {x} ^ {2}} {mu _ {y} ^ {2}}} chap ({frac {sigma _ {x} ^ {2) }} {mu _ {x} ^ {2}}} + {frac {sigma _ {y} ^ {2}} {mu _ {y} ^ {2}}} ight)}$

O'zaro bog'liq markaziy normal nisbat

Yuqoridagi ifoda o'zgaruvchilar bo'lganda yanada murakkablashadi X va Y o'zaro bog'liq. Agar ${displaystyle mu _ {x} = mu _ {y} = 0 {ext {but}} sigma _ {X} eq sigma _ {Y}}$ va ${displaystyle ho eq 0}$ ko'proq umumiy Koshi taqsimoti olinadi

${displaystyle p_ {Z} (z) = {frac {1} {pi}} {frac {eta} {(z-alfa) ^ {2} + eta ^ {2}}},}$

bu erda r korrelyatsiya koeffitsienti o'rtasida X va Y va

${displaystyle alfa = ho {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}},}$

${displaystyle eta = {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}} {sqrt {1-ho ^ {2}}}.}$

Kompleks taqsimot Kummer bilan ham ifodalangan birlashuvchi gipergeometrik funktsiya yoki Germit funktsiyasi.^[9]

O'zaro bog'liq bo'lmagan markazsiz normal nisbat

O'zaro bog'liq bo'lmagan markazsiz normal nisbatga yaqinlashishlar

Katz (1978) tomonidan jurnal domeniga o'tish taklif qilingan (quyida binom bo'limiga qarang). Nisbati bo'lsin

${displaystyle Tsim {frac {mu _ {x} + mathbb {N} (0, sigma _ {x} ^ {2})} {mu _ {y} + mathbb {N} (0, sigma _ {y} ^ {2})}} = {frac {mu _ {x} + X} {mu _ {y} + Y}} = {frac {mu _ {x}} {mu _ {y}}} {frac {1 + {frac {X} {mu _ {x}}}} {1+ {frac {Y} {mu _ {y}}}}}}$.

Qabul qilish uchun jurnallarni oling

${displaystyle log _ {e} (T) = log _ {e} chap ({frac {mu _ {x}} {mu _ {y}}} ight) + log _ {e} chap (1+ {frac { X} {mu _ {x}}} ight) -log _ {e} chap (1+ {frac {Y} {mu _ {y}}} ight)}$.

Beri ${displaystyle log _ {e} (1 + delta) = delta - {frac {delta ^ {2}} {2}} + 2 frac {delta ^ {3}} {3}} + nuqta}$keyin asimptotik tarzda

${displaystyle log _ {e} (T) taxminan log _ {e} chap ({frac {mu _ {x}} {mu _ {y}}} ight) + {frac {X} {mu _ {x}} } - {frac {Y} {mu _ {y}}} sim log _ {e} chap ({frac {mu _ {x}} {mu _ {y}}} ight) + mathbb {N} chap (0 , {frac {sigma _ {x} ^ {2}} {mu _ {x} ^ {2}}} + {frac {sigma _ {y} ^ {2}} {mu _ {y} ^ {2} }} kechasi)}$.

Shu bilan bir qatorda, Geary (1930) buni taklif qildi

${displaystyle tapprox {frac {mu _ {y} T-mu _ {x}} {sqrt {sigma _ {y} ^ {2} T ^ {2} -2ho sigma _ {x} sigma _ {y} T + sigma _ {x} ^ {2}}}}}$

taxminan a ga ega standart Gauss taqsimoti:^[1]Ushbu o'zgarish "deb nomlangan Geary-Xinkli o'zgarishi;^[7] yaqinlashishi yaxshi bo'lsa Y salbiy qiymatlarni qabul qilishi ehtimoldan yiroq, asosan ${displaystyle mu _ {y}> 3sigma _ {y}}$.

Aniq o'zaro bog'liq bo'lmagan markaziy bo'lmagan normal nisbat

Ushbu bo'lim ehtimol o'z ichiga oladi materialning sintezi bunday emas ishonchli tarzda eslatib o'tamiz yoki aloqador asosiy mavzuga. Tegishli munozarani munozara sahifasi. (Noyabr 2019) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Geary o'zaro bog'liqlikning qanday ekanligini ko'rsatdi ${displaystyle z}$ gaussga yaqin shaklga o'tishi va uchun taxminiylikni ishlab chiqishi mumkin edi ${displaystyle t}$ manfiy denominator qiymatlari ehtimolligiga bog'liq ${displaystyle x + mu _ {x} <0}$ g'oyib bo'ladigan darajada kichkina. Keyinchalik Fiellerning o'zaro bog'liq nisbati tahlili aniq, ammo zamonaviy matematik to'plamlar bilan ishlashda ehtiyotkorlik zarur va shunga o'xshash muammolar Marsaglia tenglamalarida yuzaga kelishi mumkin. Fham-Giya ushbu usullarni to'liq muhokama qildi. Xinklining o'zaro bog'liq natijalari aniq, ammo quyida ko'rsatilgandek, korrelyatsiya qilingan nisbati shartini shunchaki o'zaro bog'liq bo'lmagan holatga o'tkazish mumkin, shuning uchun faqat to'liq nisbat nisbati versiyasi emas, faqat yuqoridagi soddalashtirilgan Xinkli tenglamalari talab qilinadi.

Nisbat quyidagicha bo'lsin:

${displaystyle z = {frac {x + mu _ {x}} {y + mu _ {y}}}}$

unda ${displaystyle x, y}$ dispersiyalar bilan o'rtacha nolga bog'liq bo'lgan normal o'zgaruvchilar ${displaystyle sigma _ {x} ^ {2}, sigma _ {y} ^ {2}}$ va ${displaystyle X, Y}$ vositalariga ega ${displaystyle mu _ {x}, mu _ {y}.}$Yozing ${displaystyle x '= x-ho ysigma _ {x} / sigma _ {y}}$ shu kabi ${displaystyle x ', y}$ o'zaro bog'liq bo'lmagan va ${displaystyle x '}$ standart og'ishga ega

${displaystyle sigma _ {x} '= sigma _ {x} {sqrt {1-ho ^ {2}}}.}$

Nisbat:

${displaystyle z = {frac {x '+ ho ysigma _ {x} / sigma _ {y} + mu _ {x}} {y + mu _ {y}}}}$

Ushbu o'zgarish ostida o'zgarmas va bir xil pdf-ni saqlaydi ${displaystyle y}$ numeratorda atama kengaytirilishi bilan ajratilishi mumkin:

${displaystyle {x '+ ho ysigma _ {x} / sigma _ {y} + mu _ {x}} = x' + mu _ {x} -ho mu _ {y} {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}} + ho (y + mu _ {y}) {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}}}$

olish uchun; olmoq

${displaystyle z = {frac {x '+ mu _ {x}'} {y + mu _ {y}}} + ho {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}}}$

unda ${extstyle mu '_ {x} = mu _ {x} -ho mu _ {y} {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}}}$ va z endi o'zaro bog'liq bo'lmagan markaziy bo'lmagan normal namunalarning o'zgarmas bilan nisbati bo'ldi z- ofset.

Nihoyat, aniq bo'lishi kerak, nisbati pdf ${displaystyle z}$ o'zaro bog'liq o'zgaruvchilar uchun o'zgartirilgan parametrlarni kiritish orqali topiladi ${displaystyle sigma _ {x} ', mu _ {x}', sigma _ {y}, mu _ {y}}$ va ${displaystyle ho '= 0}$ yuqoridagi Xinkli tenglamasida doimiy ofset bilan o'zaro bog'liqlik uchun pdf qiymatini qaytaradi ${displaystyle -ho {frac {sigma _ {x}} {sigma _ {y}}}}$ kuni ${displaystyle z}$.

O'zaro bog'liq ikki o'lchovli Gauss taqsimotining konturlari (o'lchov uchun emas) x / y

Gauss nisbati pdf z va uchun simulyatsiya (ball)
${displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {y} = 1, mu _ {x} = 0, mu _ {y} = 0.5, ho = 0.975}$

Yuqoridagi raqamlar bilan ijobiy o'zaro bog'liqlik namunasini ko'rsatadi ${displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {y} = 1, mu _ {x} = 0, mu _ {y} = 0.5, ho = 0.975}$ unda soyali takozlar berilgan nisbat bo'yicha tanlangan maydon o'sishini aks ettiradi ${displaystyle x / yin [r, r + delta]}$ Bu ularning taqsimlanishiga mos keladigan ehtimollikni to'playdi. Muhokama qilinayotgan tenglamalardan kelib chiqqan nazariy taqsimot Xinkli tenglamalari bilan birgalikda 5000 ta namuna yordamida simulyatsiya natijalariga juda mos keladi. Yuqori rasmda bu nisbati uchun osonlikcha tushuniladi ${displaystyle z = x / y = 1}$ xanjar tarqatish massasini deyarli chetlab o'tadi va bu nazariy pdf-da nolga yaqin mintaqaga to'g'ri keladi. Aksincha sifatida ${displaystyle x / y}$ nolga kamayadi, chiziq katta ehtimollikni to'playdi.

Ushbu o'zgarish Gearining (1932) uning qisman natijasi sifatida ishlatganligi bilan bir xil bo'ladi eqn viii ammo uning kelib chiqishi va cheklovlari deyarli tushuntirilmagan. Shunday qilib, Gearining oldingi qismdagi Gaussiyani taxminiy holatga o'tkazishning birinchi qismi aslida aniq va ijobiyligiga bog'liq emas. Y. Ofset natijasi birinchi bo'limda "Koshi" bilan o'zaro bog'liq nolinchi o'rtacha Gauss nisbati taqsimotiga ham mos keladi. Marsaglia xuddi shu natijani qo'llagan, ammo unga erishish uchun chiziqli bo'lmagan usulni qo'llagan.

Murakkab normal nisbat

O'zaro bog'liq nol-o'rtacha doiraviy nosimmetrik nisbati murakkab normal taqsimlangan o'zgaruvchilar Baxley va boshqalar tomonidan aniqlandi. al.^[12] Ning qo'shma taqsimoti x, y bu

${displaystyle f_ {x, y} (x, y) = {frac {1} {pi ^ {2} | Sigma |}} exp {Biggr (} - {egin {bmatrix} x yend {bmatrix}} ^ { H} Sigma ^ {- 1} {egin {bmatrix} x yend {bmatrix}} {Biggr)}}$

qayerda

${displaystyle Sigma = {egin {bmatrix} sigma _ {x} ^ {2} & ho sigma _ {x} sigma _ {y} ho ^ {*} sigma _ {x} sigma _ {y} & sigma _ {y} ^ {2} end {bmatrix}}, ;; x = x_ {r} + ix_ {i}, ;; y = y_ {r} + iy_ {i}}$

${displaystyle (.) ^ {H}}$ Ermitiy transpozitsiyasi va

${displaystyle ho = ho _ {r} + iho _ {i} = operator nomi {E} {igg (} {frac {xy ^ {*}} {sigma _ {x} sigma _ {y}}} {igg)} ;; in; left | mathbb {C} ight | leq 1}$

PDF-fayl ${displaystyle Z = X / Y}$ deb topildi

${displaystyle {egin {hizalangan} f_ {z} (z_ {r}, z_ {i}) & = {frac {1- | ho | ^ {2}} {pi sigma _ {x} ^ {2} sigma _ {y} ^ {2}}} {Biggr (} {frac {| z | ^ {2}} {sigma _ {x} ^ {2}}} + {frac {1} {sigma _ {y} ^ { 2}}} - 2 {frac {ho _ {r} z_ {r} -ho _ {i} z_ {i}} {sigma _ {x} sigma _ {y}}} {Biggr)} ^ {- 2 } & = {frac {1- | ho | ^ {2}} {pi sigma _ {x} ^ {2} sigma _ {y} ^ {2}}} {Biggr (} ;; {Biggr |} { frac {z} {sigma _ {x}}} - {frac {ho ^ {*}} {sigma _ {y}}} {Biggr |} ^ {2} + {frac {1- | ho | ^ {2 }} {sigma _ {y} ^ {2}}} {Biggr)} ^ {- 2} oxiri {hizalanmış}}}$

Odatiy holatda ${displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {y}}$ biz olamiz

${displaystyle f_ {z} (z_ {r}, z_ {i}) = {frac {1- | ho | ^ {2}} {pi left (;; | z-ho ^ {*} | ^ {2} + 1- | ho | ^ {2} ight) ^ {2}}}}$

CDF uchun yopiq shakldagi natijalar ham keltirilgan.

O'zaro bog'liq kompleks o'zgaruvchilarning nisbati taqsimoti, rho = 0.7 exp (i pi / 4).

Grafada korrelyatsiya koeffitsienti bo'lgan ikkita murakkab normal o'zgaruvchining nisbati pdf ko'rsatilgan ${displaystyle ho = 0.7exp (ipi / 4)}$. Pdf cho'qqisi taxminan kichraytirilgan kompleks konjugatda uchraydi ${displaystyle ho}$.

Bir xil nisbat taqsimoti

A dan so'ng ikkita mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bilan bir xil taqsimlashmasalan,

${displaystyle p_ {X} (x) = {egin {case} 1qquad 0$

nisbat taqsimoti bo'ladi

${displaystyle p_ {Z} (z) = {egin {case} 1/2qquad & 0$

Koshi nisbati taqsimoti

Agar ikkita mustaqil tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, X va Y har biri amal qiladi Koshi taqsimoti nolga teng bo'lgan median va shakl faktori bilan ${displaystyle a}$

${displaystyle p_ {X} (x | a) = {frac {a} {pi (a ^ {2} + x ^ {2})}}}$

keyin tasodifiy o'zgaruvchiga nisbati taqsimoti ${displaystyle Z = X / Y}$ bu^[13]

${displaystyle p_ {Z} (z | a) = {frac {1} {pi ^ {2} (z ^ {2} -1)}} ln (z ^ {2}).}$

Ushbu tarqatish bog'liq emas ${displaystyle a}$ va Springer tomonidan aytilgan natija^[8] (p158 Savol 4.6) to'g'ri emas, nisbati taqsimoti o'xshash, ammo o'xshash emas mahsulotni taqsimlash tasodifiy o'zgaruvchining ${displaystyle W = XY}$:

${displaystyle p_ {W} (w | a) = {frac {a ^ {2}} {pi ^ {2} (w ^ {2} -a ^ {4})}} ln chap ({frac {w ^) {2}} {a ^ {4}}} tun).}$^[8]

Umuman olganda, agar ikkita mustaqil tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X va Y har biri amal qiladi Koshi taqsimoti nolga teng bo'lgan median va shakl faktori bilan ${displaystyle a}$ va ${displaystyle b}$ navbati bilan, keyin:

1. Tasodifiy o'zgaruvchining nisbati taqsimoti ${displaystyle Z = X / Y}$ bu^[13]

${displaystyle p_ {Z} (z | a, b) = {frac {ab} {pi ^ {2} (b ^ {2} z ^ {2} -a ^ {2})}} ln chap ({frac {b ^ {2} z ^ {2}} {a ^ {2}}} kech).}$

2. The mahsulotni taqsimlash tasodifiy o'zgaruvchi uchun ${displaystyle W = XY}$ bu^[13]

${displaystyle p_ {W} (w | a, b) = {frac {ab} {pi ^ {2} (w ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2})}} ln chap ({frac {w ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} kech).}$

Nisbatni taqsimlash uchun natijani almashtirish orqali mahsulot taqsimotidan olish mumkin ${displaystyle b}$ bilan ${displaystyle {frac {1} {b}}.}$

Standart me'yordan standart forma nisbati

Agar X standart normal taqsimotga ega va Y standart bir xil taqsimotga ega, keyin Z = X / Y sifatida tanilgan taqsimotga ega qiyshiq taqsimot, ehtimollik zichligi funktsiyasi bilan

${displaystyle p_ {Z} (z) = {egin {case} left [varphi (0) -varphi (z) ight] / z ^ {2} quad & zeq 0 varphi (0) / 2quad & z = 0, end {holatlar}}}$

qaerda φ (z) standart normal taqsimotning ehtimollik zichligi funktsiyasi.^[14]

Kvadratchalar, Gamma, Beta tarqatish

Ruxsat bering X normal (0,1) taqsimot bo'lishi, Y va Z bo'lishi chi kvadrat taqsimotlari bilan m va n erkinlik darajasi navbati bilan, barchasi mustaqil, bilan ${displaystyle f_ {chi} (x, k) = {frac {x ^ {{frac {k} {2}} - 1} e ^ {- x / 2}} {2 ^ {k / 2} Gamma (k) / 2)}}}$. Keyin

${displaystyle {frac {X} {sqrt {Y / m}}} ​​sim t_ {m}}$ The Talabalarning tarqatilishi

${displaystyle {frac {Y / m} {Z / n}} = F_ {m, n}}$ ya'ni Fishernikidir F-testi tarqatish

${displaystyle {frac {Y} {Y + Z}} sim eta ({frac {m} {2}}, {frac {n} {2}})}$ The beta-tarqatish

${displaystyle ;; {frac {Y} {Z}} sim eta '({frac {m} {2}}, {frac {n} {2}})}$ The beta asosiy tarqatish

Agar ${displaystyle V_ {1} sim {chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} (lambda)}$, a markazsiz Chi-kvadrat taqsimotiva ${displaystyle V_ {2} sim {chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (0)}$ va ${displaystyle V_ {1}}$ dan mustaqildir ${displaystyle V_ {2}}$ keyin

${displaystyle {frac {V_ {1} / k_ {1}} {V_ {2} / k_ {2}}} sim F '_ {k_ {1}, k_ {2}} (lambda)}$, a markazdan tashqari F-taqsimot.

${displaystyle {frac {m} {n}} F '_ {m, n} = eta' ({frac {m} {2}}, {frac {n} {2}}) {ext {or}} F '_ {m, n} = eta' ({frac {m} {2}}, {frac {n} {2}}, 1, {frac {n} {m}})}$ belgilaydi ${displaystyle F '_ {m, n}}$, Fisherning F zichligi taqsimoti, ikkita Chi-kvadratning nisbati PDF m, n erkinlik darajasi.

Fisher zichligi CDF, topilgan F-jadvallar beta asosiy tarqatish maqola. Agar biz kiritsak F- bilan sinov jadvali m = 3, n = O'ng quyruqda 4 va 5% ehtimollik, kritik qiymat 6,59 ga teng. Bu integralga to'g'ri keladi

${displaystyle F_ {3,4} (6.59) = int _ {6.59} ^ {infty} eta '(x; {frac {m} {2}}, {frac {n} {2}}, 1, {frac {n} {m}}) dx = 0,05}$

Agar ${displaystyle Usim Gamma (alfa _ {1}, 1), Vsim Gamma (alfa _ {2}, 1)}$, qayerda ${displaystyle Gamma (x; alfa, 1) = {frac {x ^ {alfa -1} e ^ {- x}} {Gamma (alfa)}}}$, keyin

${displaystyle {frac {U} {U + V}} sim eta (alfa _ {1}, alfa _ {2}), qquad {ext {expectation}} = {frac {alfa _ {1}} {alfa _ { 1} + alfa _ {2}}}}$

${displaystyle {frac {U} {V}} sim eta '(alfa _ {1}, alfa _ {2}), qquad qquad {ext {expectation}} = {frac {alfa _ {1}} {alfa _ { 2} -1}} ,; alfa _ {2}> 1}$

${displaystyle {frac {V} {U}} sim eta '(alfa _ {2}, alfa _ {1}), qquad qquad {ext {expectation}} = {frac {alpha _ {2}} {alfa _ { 1} -1}} ,; alfa _ {1}> 1}$

Agar ${displaystyle Usim Gamma (x; alfa, 1)}$ keyin ${displaystyle heta Usim Gamma (x; alfa, heta) = {frac {x ^ {alfa -1} e ^ {- {frac {x} {heta}}}} {heta ^ {k} Gamma (alfa)}} }$

Agar ${displaystyle Usim Gamma (alfa _ {1}, heta _ {1}),; Vsim Gamma (alfa _ {2}, heta _ {2})}$, keyin o'chirish orqali ${displaystyle heta}$ birlikning parametri bizda

${displaystyle {frac {frac {U} {heta _ {1}}} {{frac {U} {heta _ {1}}} + {frac {V} {heta _ {2}}}}} = {frac {heta _ {2} U} {heta _ {2} U + heta _ {1} V}} sim eta (alfa _ {1}, alfa _ {2})}$

${displaystyle {frac {frac {U} {heta _ {1}}} {frac {V} {heta _ {2}}}} = {frac {heta _ {2}} {heta _ {1}}} { frac {U} {V}} sim eta '(alfa _ {1}, alfa _ {2})}$

shunday qilib ${displaystyle {frac {U} {V}} sim eta '(alfa _ {1}, alfa _ {2}, 1, {frac {heta _ {1}} {heta _ {2}}}) quad {ext {va}} operator nomi {E} chap [{frac {U} {V}} ight] = {frac {heta _ {1}} {heta _ {2}}} {frac {alfa _ {1}} {alfa _ {2} -1}}}$

ya'ni agar ${displaystyle Xsim eta '(alfa _ {1}, alfa _ {2}, 1,1)}$ keyin ${displaystyle heta Xsim eta '(alfa _ {1}, alfa _ {2}, 1, heta)}$

Keyinchalik aniqroq

${displaystyle eta '(x; alfa _ {1}, alfa _ {2}, 1, R) = {frac {1} {R}} eta' ({frac {x} {R}}; alfa _ {1 }, alfa _ {2})}$

agar ${displaystyle Usim Gamma (alfa _ {1}, heta _ {1}), Vsim Gamma (alfa _ {2}, heta _ {2})}$ keyin

${displaystyle {frac {U} {V}} sim {frac {1} {R}} eta '({frac {x} {R}}; alfa _ {1}, alfa _ {2}) = {frac { chap ({frac {x} {R}} ight) ^ {alfa _ {1} -1}} {chap (1+ {frac {x} {R}} ight) ^ {alfa _ {1} + alfa _ {2}}}} cdot {frac {1} {; R; B (alfa _ {1}, alfa _ {2})}}, ;; xgeq 0}$

qayerda

${displaystyle R = {frac {heta _ {1}} {heta _ {2}}}, ;;; B (alfa _ {1}, alfa _ {2}) = {frac {Gamma (alfa _ {1}) ) Gamma (alfa _ {2})} {Gamma (alfa _ {1} + alfa _ {2})}}}$

Rayleigh Distributions

Agar X, Y dan mustaqil namunalar Rayleigh taqsimoti ${displaystyle f_ {r} (r) = re ^ {- r ^ {2} / 2sigma ^ {2}}, ;; rgeq 0}$, nisbati Z = X / Y taqsimotga amal qiladi^[15]

${displaystyle f_ {z} (z) = {frac {2z} {(1 + z ^ {2}) ^ {2}}}, ;; zgeq 0}$

va CD-ga ega

${displaystyle F_ {z} (z) = 1- {frac {1} {1 + z ^ {2}}} = {frac {z ^ {2}} {1 + z ^ {2}}}, ;; ; zgeq 0}$

Rayleigh tarqatish faqat bitta parametr sifatida masshtabga ega. Ning taqsimlanishi ${displaystyle Z = alfa X / Y}$ quyidagilar

${displaystyle f_ {z} (z, alfa) = {frac {2alpha z} {(alfa + z ^ {2}) ^ {2}}}, ;; z> 0}$

va CD-ga ega

${displaystyle F_ {z} (z, alfa) = {frac {z ^ {2}} {alfa + z ^ {2}}}, ;;; zgeq 0}$

Fraksiyonel gamma taqsimotlari (chi, chi-kvadrat, eksponent, Rayleigh va Weibull)

The umumiy gamma tarqatish bu

${displaystyle f (x; a, d, r) = {frac {r} {Gamma (d / r) a ^ {d}}} x ^ {d-1} e ^ {- (x / a) ^ { r}}; xgeq 0 ;;; a,; d,; r> 0}$

fraksiyonel kuchlarni o'z ichiga olgan muntazam gamma, chi, xi kvadrat, eksponent, Rayleigh, Nakagami va Weibull taqsimotlarini o'z ichiga oladi.

Agar ${displaystyle Usim f (x; a_ {1}, d_ {1}, r), ;; Vsim f (x; a_ {2}, d_ {2}, r) {ext {mustaqil va}} W = U / V}$

keyin^[16] ${extstyle g (w) = {frac {rleft ({frac {a_ {1}} {a_ {2}}} ight) ^ {d_ {2}}} {Bleft ({frac {d_ {1}} {r }}, {frac {d_ {2}} {r}} ight)}} {frac {w ^ {- d_ {2} -1}} {chap (1 + chap ({frac {a_ {2}} {) a_ {1}}} ight) ^ {- r} w ^ {- r} ight) ^ {frac {d_ {1} + d_ {2}} {r}}}}, ;; w> 0}$

qayerda ${displaystyle B (u, v) = {frac {Gamma (u) Gamma (v)} {Gamma (u + v)}}}$

Har xil miqyosli omillar aralashmasini modellashtirish

Yuqoridagi nisbatlarda Gamma namunalari, U, V har xil namuna o'lchamlariga ega bo'lishi mumkin ${displaystyle alfa _ {1}, alfa _ {2}}$ lekin bir xil taqsimotdan olinishi kerak ${displaystyle {frac {x ^ {alfa -1} e ^ {- {frac {x} {heta}}}} {heta ^ {k} Gamma (alfa)}}}$ teng o'lchov bilan ${displaystyle heta}$.

Vaziyatlarda U va V Turli xil miqyosda, o'zgaruvchilarning o'zgarishi pdf-ning o'zgartirilgan tasodifiy nisbatini aniqlashga imkon beradi. Ruxsat bering ${displaystyle X = {frac {U} {U + V}} = {frac {1} {1 + B}}}$ qayerda ${displaystyle Usim Gamma (alfa _ {1}, heta), Vsim Gamma (alfa _ {2}, heta), heta}$ o'zboshimchalik bilan va yuqoridan, ${displaystyle Xsim Beta (alfa _ {1}, alfa _ {2}), B = V / Usim Beta '(alfa _ {2}, alfa _ {1})}$.

O'lchash V o'zboshimchalik bilan, aniqlovchi ${displaystyle Ysim {frac {U} {U + varphi V}} = {frac {1} {1 + varphi B}}, ;; 0leq varphi leq infty}$

Bizda ... bor ${displaystyle B = {frac {1-X} {X}}}$ va almashtirish Y beradi ${displaystyle Y = {frac {X} {varphi + (1-varphi) X}}, dY / dX = {frac {varphi} {(varphi + (1-varphi) X) ^ {2}}}}$

O'zgartirish X ga Y beradi ${displaystyle f_ {Y} (Y) = {frac {f_ {X} (X)} {| dY / dX |}} = {frac {eta (X, alfa _ {1}, alfa _ {2})} {varphi / [varphi + (1-varphi) X] ^ {2}}}}$